Equazione di terzo grado in C

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Equazione di terzo grado in C #88429

avt
Slapp
Punto
Buongiorno, non riesco a capire come si risolve la seguente equazione di terzo grado nel campo complesso C:

z^3=(2+3i)^3

Mi è chiaro che una delle tre soluzioni deve essere 2+3i e che le altre due, essendo radici, devono distare dalla prima \frac{2}{3}\pi, ma non so come procedere.

Grazie!
 
 

Equazione di terzo grado in C #88435

avt
Omega
Amministratore
Quando si tratta di risolvere un'equazione complessa disponiamo di svariati metodi standard, ma sappiamo che eventuali casi particolari possono indurci a cercare una strada alternativa - vuoi perché sia più veloce, vuoi perché la teoria finisca per scontrarsi con calcoli non agevolissimi.

L'equazione che hai proposto rientra tra questi casi particolari.

Cosa ci suggerirebbe la teoria in un caso del genere?

z^3=(2+3i)^3

Beh, prima di tutto di considerare il numero complesso (2+3i) e di:

- scriverlo in forma trigonometrica;

- in questo modo potremmo applicare la formula di De Moivre per calcolare (2+3i)^3;

- infine, applicare la formula per le radici di un numero complesso ed ottenere così le tre soluzioni z_1,z_2,z_3.

In alternativa, potremmo considerare il numero complesso (2+3i) e:

- calcolare (2+3i)^3 con la formula per il cubo di un binomio, tenendo a mente i valori delle potenze dell'unità immaginaria;

- prendere il risultato appena ottenuto e passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica;

- applicare la formula per le radici di un numero complesso ed ottenere così le tre soluzioni z_1,z_2,z_3.


Da notare che la tua osservazione sull'argomento, che è corretta, si basa proprio sulla formula per le radici complesse.


Come conviene comportarsi, nel nostro caso?

Il problema nasce dal fatto che il numero complesso (2+3i) ha modulo e argomento che non sono proprio bellissimi:

\\ |2+3i|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\\ \\ Arg(2+3i)=\arctan\left(\frac{3}{2}\right)

Di conseguenza ci troveremmo a lavorare con dei valori che sono pur sempre numeri, ma che non sono facili da gestire. In generale non ci sarebbe nulla di strano, ma l'insidia di questi esercizi consiste proprio nella possibilità di trovare una strada più elegante che consenta di giungere ad un risultato lindo e pinto.

Qui abbiamo una possibilità. Dobbiamo sporcarci un po' le mani con la cara e vecchia Algebra!

z^3=(2+3i)^3

Riscriviamo l'equazione nella forma

z^3-(2+3i)^3=0

e applichiamo la regola per la differenza di cubi

[z-(2+3i)][z^2+z(2+3i)+(2+3i)^2]=0

Ora possiamo applicare la legge di annullamento del prodotto, che ci conduce a

\\ z-(2+3i)=0\\ \\ z^2+z(2+3i)+(2+3i)^2=0

La prima equazione fornisce la prima soluzione

z_1=2+3i

la seconda invece può essere risolta con la formula per le equazioni di secondo grado

\\ z^2+z(2+3i)+(2+3i)^2=0\\ \\ \\ z_{2,3}=\frac{-(2+3i)\pm\sqrt{(2+3i)^2-4(2+3i)^2}}{2}\\ \\ \\ z_{2,3}=\frac{-(2+3i)\pm\sqrt{-3(2+3i)^2}}{2}

Ricordando che \sqrt{-1}=i possiamo riscrivere il rapporto nella forma

z_{2,3}=\frac{-(2+3i)\pm i\sqrt{3}(2+3i)}{2}

e, con un opportuno raccoglimento totale

z_{2,3}=\frac{(-1\pm i\sqrt{3})(2+3i)}{2}

Con un paio di semplici calcoli puoi giungere ad una forma più elegante per entrambe le soluzioni:

z_{2,3}=\begin{cases}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}-1\right)+i\left(-\frac{3}{2}-\sqrt{3}\right)\\ \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}-1\right)+i\left(-\frac{3}{2}+\sqrt{3}\right)\end{cases}

e abbiamo finito.
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby, Slapp

Re: Equazione di terzo grado in C #88445

avt
Slapp
Punto
Tutto chiarissimo, grazie mille! Avevo provato a prendere la strada del De Moivre, ma venivano davvero dei numeri scomodi. Alla differenza di cubi proprio non avevo pensato: semplice ed efficace. Grazie anche per i brevissimi tempi di risposta! =)
Ringraziano: Omega
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Os