Integrale doppio tra y=x^2 e x=y^2

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Integrale doppio tra y=x^2 e x=y^2 #88073

avt
desperados
Punto
Buongiorno, potreste aiutarmi con un integrale doppio con dominio compreso tra y=x^2 e x=y^2?

\iint_D\frac{dxdy}{x+1}

dove D è per l'appunto l'insieme compreso tra le due parabole.

Il mio dubbio riguarda l'individuazione del dominio di integrazione: facendo il disegno ho trovato l'area compresa tra le due parabole.

x è compresa tra 0 e 1, mentre y è compresa tra x^2 e radice di x? Ho fortissimi dubbi a riguardo!

Grazie dell'aiuto
 
 

Integrale doppio tra y=x^2 e x=y^2 #88078

avt
Omega
Amministratore
Ciao Desperados,

vogliamo calcolare l'integrale doppio

\iint_D\frac{dxdy}{x+1}

dove D è il dominio di integrazione compreso tra le parabole di equazioni

y=x^2,\ \ \ x=y^2

Per cominciare conviene partire da una rappresentazione dei luoghi geometrici coinvolti nella definizione di D

integrale doppio con parabole

E qui veniamo al succo dei tuoi dubbi: come conviene riscrivere l'insieme di integrazione?

In primo luogo dobbiamo calcolare le coordinate dei punti di intersezione delle due parabole. Per farlo è sufficiente risolvere il sistema

\begin{cases}y=x^2\\ x=y^2\end{cases}

Procediamo per sostituzione (su x o y, è indifferente)

\begin{cases}y=x^2\\ x=x^4\end{cases}

La seconda equazione è un'equazione di quarto grado scomponibile

x=x^4\ \to\ x(x^3-1)=0

che si risolve facilmente applicando in sequenza un raccoglimento totale e la legge di annullamento del prodotto. Così facendo otteniamo le soluzioni

x=0,\ \ \ x=1

e quindi le soluzioni del sistema: (0,0),\ (1,1).

Ora domandiamoci: conviene riscrivere l'insieme di integrazione in forma normale rispetto all'asse x oppure rispetto all'asse y?

Poiché l'integranda presenta un'espressione analitica piuttosto semplice e non dipende da y, conviene scrivere il dominio in forma normale rispetto all'asse x, dunque nella forma

...\leq x\leq ...\ \ \mbox{ e }\ \ g(x)\leq y\leq h(x)

in questo modo potremo integrare subito rispetto a y e "scaricare la patata bollente" sulla x, nell'integrale più esterno.

Per ricavare le "strisce verticali" per l'integrazione rispetto a y dobbiamo individuare le espressioni analitiche per g(x),h(x) che limitano la y ad ascissa fissata.

L'estremo di integrazione inferiore è chiaramente

g(x)=x^2

e l'estremo di integrazione superiore? Poiché il grafico superiore è individuato da

x=y^2

proviamo ad invertirla in favore di y, ottenendo

y=\pm\sqrt{x}

Poiché il ramo di parabola che dobbiamo considerare si trova nel primo quadrante del piano cartesiano, sceglieremo

h(x)=+\sqrt{x}

e ci siamo: abbiamo riscritto l'insieme di integrazione in forma normale rispetto all'asse x

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 0\leq x\leq 1,\ x^2\leq y\leq \sqrt{x}\}

da cui l'integrale doppio

\int_0^1\int_{x^2}^{\sqrt{x}}\frac{1}{1+x}dydx=(\bullet)

L'integrazione rispetto alla variabile y è immediata (l'integranda è costante in y)

\\ (\bullet)=\int_0^1\left[\frac{y}{1+x}\right]_{x^2}^{\sqrt{x}}dx=\\ \\ \\ =\int_0^1\frac{\sqrt{x}-x^2}{1+x}dx=(\bullet)

Per l'integrale rimanente conviene integrare per sostituzione ponendo

\\ z=\sqrt{x}\\ \\ x=0\ \to\ z=0\\ \\ x=1\ \to\ z=1\\ \\ \to\ x=z^2\ \to\ dx=2zdz

da cui

\\ (\bullet)=\int_0^1\frac{z-z^4}{1+z^2}2zdz=\\ \\ \\ =2\int_0^1\frac{z^2-z^5}{1+z^2}dz=(\bullet)

Questo integrale è piuttosto banale da calcolare: poiché il numeratore ha un grado superiore rispetto al denominatore, non possiamo applicare direttamente il metodo dei fratti semplici.

Prima di tutto dobbiamo ricorrere alla divisione tra polinomi

(z^2-z^5)=(-z^3+z+1)(1+z^2)+(-z-1)

quindi

\frac{z^2-z^5}{1+z^2}=(-z^3+z+1)+\frac{-z-1}{1+z^2}

A questo punto riscriviamo l'integrale nella forma

(\bullet)=2\left[\int_0^1(-z^3+z+1)dz-\int_0^1\frac{z+1}{1+z^2}dz\right]=(\bullet)

Il primo integrale è banale

\\ 2\int_0^1(-z^3+z+1)dz=2\left[-\frac{z^4}{4}+\frac{z^2}{2}+z\right]_0^1=\\ \\ \\ =-\frac{1}{2}+1+2=\frac{5}{2}

Per il secondo puoi applicare i fratti semplici

\\ 2\int_0^1\frac{z+1}{1+z^2}dz=2\left[\frac{1}{2}\log(z^2+1)+\arctan(z)\right]^1_0=\\ \\ \\ =\log(2)+2\arctan(1)

Considera la differenza dei due integrali e ottieni il risultato cercato (ricordando anche come funziona l'arcotangente)

(\bullet)=\frac{5}{2}-\log(2)-\frac{\pi}{2}
Ringraziano: Galois, CarFaby, desperados
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Os