Integrale doppio tra y=x^2 e x=y^2

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Integrale doppio tra y=x^2 e x=y^2 #88073

desperados

Punto

Buongiorno, potreste aiutarmi con un integrale doppio con dominio compreso tra y=x^2 e x=y^2?

dove D è per l'appunto l'insieme compreso tra le due parabole.

Il mio dubbio riguarda l'individuazione del dominio di integrazione: facendo il disegno ho trovato l'area compresa tra le due parabole.

x è compresa tra 0 e 1, mentre y è compresa tra x^2 e radice di x? Ho fortissimi dubbi a riguardo!

Grazie dell'aiuto

Integrale doppio tra y=x^2 e x=y^2 #88078

Omega

Amministratore

Ciao Desperados,

vogliamo calcolare l'integrale doppio

dove

è il dominio di integrazione compreso tra le parabole di equazioni

Per cominciare conviene partire da una rappresentazione dei luoghi geometrici coinvolti nella definizione di

E qui veniamo al succo dei tuoi dubbi: come conviene riscrivere l'insieme di integrazione?

In primo luogo dobbiamo calcolare le coordinate dei punti di intersezione delle due parabole. Per farlo è sufficiente risolvere il sistema

y = x^2 ; x = y^2

Procediamo per sostituzione (su x o y, è indifferente)

y = x^2 ; x = x^4

La seconda equazione è un'equazione di quarto grado scomponibile

che si risolve facilmente applicando in sequenza un raccoglimento totale e la legge di annullamento del prodotto. Così facendo otteniamo le soluzioni

e quindi le soluzioni del sistema:

.

Ora domandiamoci: conviene riscrivere l'insieme di integrazione in forma normale rispetto all'asse x oppure rispetto all'asse y?

Poiché l'integranda presenta un'espressione analitica piuttosto semplice e non dipende da y, conviene scrivere il dominio in forma normale rispetto all'asse x, dunque nella forma

in questo modo potremo integrare subito rispetto a y e "scaricare la patata bollente" sulla x, nell'integrale più esterno.

Per ricavare le "strisce verticali" per l'integrazione rispetto a y dobbiamo individuare le espressioni analitiche per

che limitano la y ad ascissa fissata.

L'estremo di integrazione inferiore è chiaramente

e l'estremo di integrazione superiore? Poiché il grafico superiore è individuato da

proviamo ad invertirla in favore di y, ottenendo

Poiché il ramo di parabola che dobbiamo considerare si trova nel primo quadrante del piano cartesiano, sceglieremo

e ci siamo: abbiamo riscritto l'insieme di integrazione in forma normale rispetto all'asse x

da cui l'integrale doppio

L'integrazione rispetto alla variabile y è immediata (l'integranda è costante in y)

(•) = ∫_0^1[(y)/(1+x)]_(x^2)^(√(x))dx = ∫_0^1(√(x)-x^2)/(1+x)dx = (•)

Per l'integrale rimanente conviene integrare per sostituzione ponendo

z = √(x) ; x = 0 → z = 0 ; x = 1 → z = 1 ; → x = z^2 → dx = 2zdz

da cui

(•) = ∫_0^1(z-z^4)/(1+z^2)2zdz = 2∫_0^1(z^2-z^5)/(1+z^2)dz = (•)

Questo integrale è piuttosto banale da calcolare: poiché il numeratore ha un grado superiore rispetto al denominatore, non possiamo applicare direttamente il metodo dei fratti semplici.

Prima di tutto dobbiamo ricorrere alla divisione tra polinomi

quindi

A questo punto riscriviamo l'integrale nella forma

Il primo integrale è banale

2∫_0^1(-z^3+z+1)dz = 2[-(z^4)/(4)+(z^2)/(2)+z]_0^1 = -(1)/(2)+1+2 = (5)/(2)

Per il secondo puoi applicare i fratti semplici

2∫_0^1(z+1)/(1+z^2)dz = 2[(1)/(2)log(z^2+1)+arctan(z)]^1_0 = log(2)+2arctan(1)

Considera la differenza dei due integrali e ottieni il risultato cercato (ricordando anche come funziona l'arcotangente)

Ringraziano: Galois, CarFaby, desperados

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