Continuità e differenziabilità di una funzione in 2 variabili in (0,0)

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Continuità e differenziabilità di una funzione in 2 variabili in (0,0) #87936

avt
giota85
Punto
Mi dareste una mano a studiare la continuità e la differenziabilità per questa funzione di due variabili in (0,0)?

f(x,y)=\begin{cases}0 & \mbox{se }y=0\\ \frac{\sin(xy)}{y} &\mbox{se }y\neq 0\end{cases}

a) studiare la continuità in (0,0);
b) studiare la differenziabilità in (0,0).

Grazie mille
 
 

Continuità e differenziabilità di una funzione in 2 variabili in (0,0) #87944

avt
Omega
Amministratore
Ciao Giota85,

la funzione proposta è

f(x,y)=\begin{cases}0 & \mbox{se }y=0\\ \frac{\sin(xy)}{y} &\mbox{se }y\neq 0\end{cases}

Partiamo dallo studio della continuità in 2 variabili nel punto (0,0).

A tal proposito dobbiamo verificare che esista finito il limite

\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)

Dato che f(x,y)=0 se y=0, sappiamo già che lungo la direzione y=0 il limite vale zero.

In buona sostanza dobbiamo controllare se esiste finito e se vale zero il seguente limite:

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{y}

Per calcolare tale limite in due variabili conviene ricorrere al passaggio in coordinate polari

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(\rho^2\sin(\theta)\cos(\theta))}{\rho\sin(\theta)}

Teniamo presente che qui, per noi, è \theta\neq 0,\ \theta\neq \pi perché stiamo ragionando nel caso y\neq 0.

Poiché l'argomento del seno tende a zero, grazie all'equivalenza asintotica del limite notevole del seno possiamo passare al limite equivalente

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\rho^2\sin(\theta)\cos(\theta)}{\rho\sin(\theta)}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\rho\cos(\theta)=0

dove abbiamo scritto immediatamente il risultato perché facile vedere che esso non dipende dalla direzione considerata, vale a dire non dipende dall'angolo \theta.

La funzione di conseguenza è continua in (0,0).


Passiamo alla differenziabilità in due variabili.

Dato che l'espressione analitica della funzione è abbastanza semplice conviene ricorrere alla definizione e dunque controllare se il "limitone" della condizione necessaria e sufficiente per la differenziabilità è nullo o meno:

\lim_{(h, k)\to (0,0)}\frac{f(x_0+h, y_0+k)-f(x_0, y_0)- f_{x}(x_0, y_0)h- f_{y}(x_0, y_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}= 0

dove (x_0,y_0)=(0,0).

Prima però dobbiamo stabilire se le derivate parziali coinvolte nel limite esistono, e per farlo dobbiamo ricorrere alla definizione di derivata parziale

\\ f_{x}(x_0, y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}=\\ \\ \\ =\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=

in accordo con la definizione di f(x,y)

=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0

Nota che il limite è nullo e che non abbiamo a che fare con una forma indeterminata [0/0] perché il numeratore non tende a zero: è esattamente zero!

\\ f_{y}(x_0, y_0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}=\\ \\ \\ =\lim_{h\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{h}=

in accordo con la definizione di f(x,y)

=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{\sin(0)}{k}-0}{h}=0

come sopra.

Dato che entrambe le derivate parziali esistono, e conoscendone i valori, possiamo procedere con il calcolo del "limitone"

\\ \lim_{(h, k)\to (0,0)}\frac{f(x_0+h, y_0+k)-f(x_0, y_0)- f_{x}(x_0, y_0)h- f_{y}(x_0, y_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=\\ \\ \\ =\lim_{(h, k)\to (0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)- f_{x}(0,0)h-f_{y}(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=\\ \\ \\ =\lim_{(h, k)\to (0,0)}\frac{\frac{\sin(hk)}{k}-0-0-0}{\sqrt{h^2+k^2}}=

ossia

=\lim_{(h, k)\to (0,0)}\frac{\sin(hk)}{k\sqrt{h^2+k^2}}

Per studiare l'esistenza di tale limite possiamo ragionare preliminarmente su una specifica direzione, come ad esempio h=k (bisettrice del primo-terzo quadrante)

\lim_{k\to 0}\frac{\sin(k^2)}{k\sqrt{2k^2}}=\lim_{k\to 0}\frac{\sin(k^2)}{k|k|\sqrt{2}}

già da qui si vede che esiste una direzione lungo la quale il "limitone" non vale zero, dunque concludiamo che la funzione proposta non è differenziabile in (0,0).
Ringraziano: CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os