Abbiamo un
prodotto scalare parametrico definito su
e dobbiamo studiarne il segno al variare di

, mettendo in evidenza i valori di

per cui è indefinito.
Studiare il
segno di un prodotto scalare parametrico vuol dire stabilire per quali valori del parametro è definito positivo, definito negativo, semidefinito (positivo o negativo) e indefinito.
A tal proposito è sufficiente:
- fissare una
base 
di

e calcolare la
matrice associata al prodotto scalare rispetto a

, che sarà una
matrice simmetrica e parametrica di ordine tre che indichiamo con

.
- Studiare la
definitezza della matrice 
al variare di

.
Indipendentemente dalla base scelta, il segno della matrice

coincide con il segno del prodotto scalare

.
In caso di dubbi, ricordiamo che la definitezza di una matrice simmetrica dipende dal segno dei suoi
autovalori; in particolare,

è:
- definita positiva se e solo se i suoi autovalori sono positivi;
- definita negativa se e solo se i suoi autovalori sono negativi;
- semidefinita positiva, ma non definita positiva, se e solo se ammette un autovalore nullo e i restanti sono non negativi;
- semidefinita negativa, ma non definita negativa, se e solo se ammette un autovalore nullo e i restanti sono non positivi;
- indefinita se e solo se esistono almeno un autovalore positivo e uno negativo.
Calcolo della matrice associata al prodotto scalare Riprendiamo, allora, il prodotto scalare assegnato
e fissiamo la base canonica di

. La matrice

che rappresenta

rispetto alla base canonica è una matrice simmetrica di ordine 3
in cui l'elemento

coincide con il coefficiente del termine

dell'espressione che definisce

, dunque
Calcolo degli autovalori di
Calcoliamo, poi, gli autovalori di

, che sono gli zeri del suo
polinomio caratteristico.
sviluppiamo il
determinante con Laplace, rispetto alla prima riga
raccogliamo

a fattor comune
Scomponiamo la
differenza di quadrati nella coppia di parentesi quadre
In definitiva:
I suoi zeri, nonché gli autovalori di

, sono:
Studio del segno del prodotto scalare Il segno o, meglio, la definitezza del prodotto scalare

coincide con la definitezza della matrice

, che dipende dal segno dei suoi autovalori.
Iniziamo con l'analizzare i valori di

che li annullano.
1) Se

:
dunque

è indefinita.
2) Se

:
pertanto

è semidefinita positiva, ma non definita positiva.
3) Se

:
di conseguenza

è semidefinita negativa, ma non definita negativa.
Proseguiamo con lo studio del segno analizzando i casi:
4) Se

:
per cui

è definita negativa.
5) Se

:
cosicché

è indefinita.
6) Se

:
pertanto

è indefinita.
7) Infine, se

:
dunque

è definita positiva.
Specchietto riepilogativo In conclusione, il prodotto scalare

è:
- definito negativo per

;
- semidefinito negativo, ma non definito positivo per

;
- semidefinito positivo, ma non definito positivo per

;
- semidefinito positivo per

;
- indefinito per

.
È tutto!