Prodotto scalare indefinito con parametro

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Prodotto scalare indefinito con parametro #87614

avt
ketto
Punto
Potreste spiegarmi come risolvere questo esercizio che chiede di studiare il segno di un prodotto scalare parametrico e di evidenziare i valori del parametro per cui è indefinito?

Siano k un parametro reale e \langle \ , \ \rangle : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} il prodotto scalare definito da

\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = kx_1y_1+kx_2y_2+kx_3y_3+2x_1y_3-x_2y_3+2x_3y_1-x_3y_2

Studiarne il segno al variare di k \in \mathbb{R} evidenziando i valori di k per cui è indefinito.
 
 

Prodotto scalare indefinito con parametro #87630

avt
Omega
Amministratore
Abbiamo un prodotto scalare parametrico definito su \mathbb{R}^3

\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = kx_1y_1+kx_2y_2+kx_3y_3+2x_1y_3-x_2y_3+2x_3y_1-x_3y_2

e dobbiamo studiarne il segno al variare di k \in \mathbb{R}, mettendo in evidenza i valori di k per cui è indefinito.

Studiare il segno di un prodotto scalare parametrico vuol dire stabilire per quali valori del parametro è definito positivo, definito negativo, semidefinito (positivo o negativo) e indefinito.

A tal proposito è sufficiente:

- fissare una base \mathcal{B} di \mathbb{R}^3 e calcolare la matrice associata al prodotto scalare rispetto a \mathcal{B}, che sarà una matrice simmetrica e parametrica di ordine tre che indichiamo con A.

- Studiare la definitezza della matrice A al variare di k \in \mathbb{R}.

Indipendentemente dalla base scelta, il segno della matrice A coincide con il segno del prodotto scalare \langle \ , \ \rangle.

In caso di dubbi, ricordiamo che la definitezza di una matrice simmetrica dipende dal segno dei suoi autovalori; in particolare, A è:

- definita positiva se e solo se i suoi autovalori sono positivi;

- definita negativa se e solo se i suoi autovalori sono negativi;

- semidefinita positiva, ma non definita positiva, se e solo se ammette un autovalore nullo e i restanti sono non negativi;

- semidefinita negativa, ma non definita negativa, se e solo se ammette un autovalore nullo e i restanti sono non positivi;

- indefinita se e solo se esistono almeno un autovalore positivo e uno negativo.


Calcolo della matrice associata al prodotto scalare

Riprendiamo, allora, il prodotto scalare assegnato

\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = kx_1y_1+kx_2y_2+kx_3y_3+2x_1y_3-x_2y_3+2x_3y_1-x_3y_2

e fissiamo la base canonica di \mathbb{R}^3. La matrice A che rappresenta \langle \ , \ \rangle rispetto alla base canonica è una matrice simmetrica di ordine 3

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}

in cui l'elemento a_{ij} coincide con il coefficiente del termine x_iy_j dell'espressione che definisce \langle \ , \ \rangle, dunque

A=\begin{pmatrix}k & 0 & 2 \\ 0 & k & -1 \\ 2 & -1 & k\end{pmatrix}


Calcolo degli autovalori di A

Calcoliamo, poi, gli autovalori di A, che sono gli zeri del suo polinomio caratteristico.

p_A(\lambda)= \mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3) = \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}k-\lambda & 0 & 2 \\ 0 & k-\lambda & -1 \\ 2 & -1 & k-\lambda\end{pmatrix}=

sviluppiamo il determinante con Laplace, rispetto alla prima riga

\\ =(k-\lambda) \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}k-\lambda & -1 \\ -1 & k-\lambda\end{pmatrix} + 2 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}0 & k-\lambda \\ 2 & -1\end{pmatrix}= \\ \\ = (k-\lambda)[(k-\lambda)^2-1]+2 \cdot [0-2(k-\lambda)] = \\ \\ = (k-\lambda)[(k-\lambda)^2-1]-4(k-\lambda)=

raccogliamo (k-\lambda) a fattor comune

=(k-\lambda)[(k-\lambda)^2-1-4] = \\ \\ =(k-\lambda)[(k-\lambda)^2-5]=

Scomponiamo la differenza di quadrati nella coppia di parentesi quadre

=(k-\lambda)(k-\lambda-\sqrt{5})(k-\lambda+\sqrt{5})

In definitiva:

p_A(\lambda)=(k-\lambda)(k-\lambda-\sqrt{5})(k-\lambda+\sqrt{5})

I suoi zeri, nonché gli autovalori di A, sono:

\lambda_1=k \ \ ; \ \ \lambda_2=k-\sqrt{5} \ \ ; \ \ \lambda_3=k+\sqrt{5}


Studio del segno del prodotto scalare

Il segno o, meglio, la definitezza del prodotto scalare \langle \ , \ \rangle coincide con la definitezza della matrice A, che dipende dal segno dei suoi autovalori.

Iniziamo con l'analizzare i valori di k che li annullano.

1) Se k=0:

\lambda_1=0 \ \ ; \ \ \lambda_2=-\sqrt{5} \ \ ; \ \ \lambda_3=\sqrt{5}

dunque A è indefinita.


2) Se k=\sqrt{5}:

\lambda_1=\sqrt{5} \ \ ; \ \ \lambda_2=0 \ \ ; \ \ \lambda_3=2\sqrt{5}

pertanto A è semidefinita positiva, ma non definita positiva.


3) Se k=-\sqrt{5}:

\lambda_1=-\sqrt{5} \ \ ; \ \ \lambda_2=-2\sqrt{5} \ \ ; \ \ \lambda_3=0

di conseguenza A è semidefinita negativa, ma non definita negativa.


Proseguiamo con lo studio del segno analizzando i casi:

k<-\sqrt{5} \ \ ; \ \ -\sqrt{5}<k<0 \ \ ; \ \ 0<k<\sqrt{5} \ \ ; \ \ k>\sqrt{5}


4) Se k<-\sqrt{5}:

\lambda_1<0 \ \ ; \ \ \lambda_2<0 \ \ ; \ \ \lambda_3<0

per cui A è definita negativa.


5) Se -\sqrt{5}<k<0:

\lambda_1<0 \ \ ; \ \ \lambda_2<0 \ \ ; \ \ \lambda_3>0

cosicché A è indefinita.


6) Se 0<k<\sqrt{5}:

\lambda_1>0 \ \ ; \ \ \lambda_2<0 \ \ ; \ \ \lambda_3>0

pertanto A è indefinita.


7) Infine, se k>\sqrt{5}:

\lambda_1>0 \ \ ; \ \ \lambda_2>0 \ \ ; \ \ \lambda_3>0

dunque A è definita positiva.


Specchietto riepilogativo

In conclusione, il prodotto scalare \langle \ , \ \rangle è:

- definito negativo per k<-\sqrt{5};

- semidefinito negativo, ma non definito positivo per k=-\sqrt{5};

- semidefinito positivo, ma non definito positivo per k=\sqrt{5};

- semidefinito positivo per k>\sqrt{5};

- indefinito per -\sqrt{5} < k < \sqrt{5}.

È tutto!
Ringraziano: CarFaby, ketto
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Os