Prodotto scalare indefinito con parametro

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#87614
avt
ketto
Punto
Potreste spiegarmi come risolvere questo esercizio che chiede di studiare il segno di un prodotto scalare parametrico e di evidenziare i valori del parametro per cui è indefinito?

Siano k un parametro reale e langle , rangle : R^3×R^3 → R il prodotto scalare definito da

langle x , y rangle = kx_1y_1+kx_2y_2+kx_3y_3+2x_1y_3-x_2y_3+2x_3y_1-x_3y_2

Studiarne il segno al variare di k ∈ R evidenziando i valori di k per cui è indefinito.
#87630
avt
Omega
Amministratore
Abbiamo un prodotto scalare parametrico definito su R^3

langle x , y rangle = kx_1y_1+kx_2y_2+kx_3y_3+2x_1y_3-x_2y_3+2x_3y_1-x_3y_2

e dobbiamo studiarne il segno al variare di k ∈ R, mettendo in evidenza i valori di k per cui è indefinito.

Studiare il segno di un prodotto scalare parametrico vuol dire stabilire per quali valori del parametro è definito positivo, definito negativo, semidefinito (positivo o negativo) e indefinito.

A tal proposito è sufficiente:

- fissare una base mathcalB di R^3 e calcolare la matrice associata al prodotto scalare rispetto a mathcalB, che sarà una matrice simmetrica e parametrica di ordine tre che indichiamo con A.

- Studiare la definitezza della matrice A al variare di k ∈ R.

Indipendentemente dalla base scelta, il segno della matrice A coincide con il segno del prodotto scalare langle , rangle.

In caso di dubbi, ricordiamo che la definitezza di una matrice simmetrica dipende dal segno dei suoi autovalori; in particolare, A è:

- definita positiva se e solo se i suoi autovalori sono positivi;

- definita negativa se e solo se i suoi autovalori sono negativi;

- semidefinita positiva, ma non definita positiva, se e solo se ammette un autovalore nullo e i restanti sono non negativi;

- semidefinita negativa, ma non definita negativa, se e solo se ammette un autovalore nullo e i restanti sono non positivi;

- indefinita se e solo se esistono almeno un autovalore positivo e uno negativo.


Calcolo della matrice associata al prodotto scalare

Riprendiamo, allora, il prodotto scalare assegnato

langle x , y rangle = kx_1y_1+kx_2y_2+kx_3y_3+2x_1y_3-x_2y_3+2x_3y_1-x_3y_2

e fissiamo la base canonica di R^3. La matrice A che rappresenta langle , rangle rispetto alla base canonica è una matrice simmetrica di ordine 3

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)]

in cui l'elemento a_(ij) coincide con il coefficiente del termine x_iy_j dell'espressione che definisce langle , rangle, dunque

A = [k 0 2 ; 0 k -1 ; 2 -1 k]


Calcolo degli autovalori di A

Calcoliamo, poi, gli autovalori di A, che sono gli zeri del suo polinomio caratteristico.

p_A(λ) = det(A-λ Id_3) = det[k-λ 0 2 ; 0 k-λ -1 ; 2 -1 k-λ] =

sviluppiamo il determinante con Laplace, rispetto alla prima riga

 = (k-λ)·det[k-λ -1 ;-1 k-λ]+2·det[0 k-λ ; 2 -1] = (k-λ)[(k-λ)^2-1]+2·[0-2(k-λ)] = (k-λ)[(k-λ)^2-1]-4(k-λ) =

raccogliamo (k-λ) a fattor comune

= (k-λ)[(k-λ)^2-1-4] = (k-λ)[(k-λ)^2-5] =

Scomponiamo la differenza di quadrati nella coppia di parentesi quadre

= (k-λ)(k-λ-√(5))(k-λ+√(5))

In definitiva:

p_A(λ) = (k-λ)(k-λ-√(5))(k-λ+√(5))

I suoi zeri, nonché gli autovalori di A, sono:

λ_1 = k ; λ_2 = k-√(5) ; λ_3 = k+√(5)


Studio del segno del prodotto scalare

Il segno o, meglio, la definitezza del prodotto scalare langle , rangle coincide con la definitezza della matrice A, che dipende dal segno dei suoi autovalori.

Iniziamo con l'analizzare i valori di k che li annullano.

1) Se k = 0:

λ_1 = 0 ; λ_2 = -√(5) ; λ_3 = √(5)

dunque A è indefinita.


2) Se k = √(5):

λ_1 = √(5) ; λ_2 = 0 ; λ_3 = 2√(5)

pertanto A è semidefinita positiva, ma non definita positiva.


3) Se k = -√(5):

λ_1 = -√(5) ; λ_2 = -2√(5) ; λ_3 = 0

di conseguenza A è semidefinita negativa, ma non definita negativa.


Proseguiamo con lo studio del segno analizzando i casi:

k < -√(5) ; -√(5) < k < 0 ; 0 < k < √(5) ; k > √(5)


4) Se k < -√(5):

λ_1 < 0 ; λ_2 < 0 ; λ_3 < 0

per cui A è definita negativa.


5) Se -√(5) < k < 0:

λ_1 < 0 ; λ_2 < 0 ; λ_3 > 0

cosicché A è indefinita.


6) Se 0 < k < √(5):

λ_1 > 0 ; λ_2 < 0 ; λ_3 > 0

pertanto A è indefinita.


7) Infine, se k > √(5):

λ_1 > 0 ; λ_2 > 0 ; λ_3 > 0

dunque A è definita positiva.


Specchietto riepilogativo

In conclusione, il prodotto scalare langle , rangle è:

- definito negativo per k < -√(5);

- semidefinito negativo, ma non definito positivo per k = -√(5);

- semidefinito positivo, ma non definito positivo per k = √(5);

- semidefinito positivo per k > √(5);

- indefinito per -√(5) < k < √(5).

È tutto!
Ringraziano: CarFaby, ketto
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