Prodotto scalare indefinito con parametro

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Prodotto scalare indefinito con parametro #87614

ketto

Punto

Potreste spiegarmi come risolvere questo esercizio che chiede di studiare il segno di un prodotto scalare parametrico e di evidenziare i valori del parametro per cui è indefinito?

Siano

un parametro reale e $\langle \ , \ \rangle : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ il prodotto scalare definito da

$\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = kx_1y_1+kx_2y_2+kx_3y_3+2x_1y_3-x_2y_3+2x_3y_1-x_3y_2$

Studiarne il segno al variare di $k \in \mathbb{R}$ evidenziando i valori di

per cui è indefinito.

Prodotto scalare indefinito con parametro #87630

Omega

Amministratore

Abbiamo un prodotto scalare parametrico definito su $\mathbb{R}^3$

$\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = kx_1y_1+kx_2y_2+kx_3y_3+2x_1y_3-x_2y_3+2x_3y_1-x_3y_2$

e dobbiamo studiarne il segno al variare di $k \in \mathbb{R}$ , mettendo in evidenza i valori di

per cui è indefinito.

Studiare il segno di un prodotto scalare parametrico vuol dire stabilire per quali valori del parametro è definito positivo, definito negativo, semidefinito (positivo o negativo) e indefinito.

A tal proposito è sufficiente:

- fissare una base $\mathcal{B}$ di $\mathbb{R}^3$ e calcolare la matrice associata al prodotto scalare rispetto a $\mathcal{B}$ , che sarà una matrice simmetrica e parametrica di ordine tre che indichiamo con

.

- Studiare la definitezza della matrice

al variare di $k \in \mathbb{R}$ .

Indipendentemente dalla base scelta, il segno della matrice

coincide con il segno del prodotto scalare $\langle \ , \ \rangle$ .

In caso di dubbi, ricordiamo che la definitezza di una matrice simmetrica dipende dal segno dei suoi autovalori; in particolare,

è:

- definita positiva se e solo se i suoi autovalori sono positivi;

- definita negativa se e solo se i suoi autovalori sono negativi;

- semidefinita positiva, ma non definita positiva, se e solo se ammette un autovalore nullo e i restanti sono non negativi;

- semidefinita negativa, ma non definita negativa, se e solo se ammette un autovalore nullo e i restanti sono non positivi;

- indefinita se e solo se esistono almeno un autovalore positivo e uno negativo.

Calcolo della matrice associata al prodotto scalare

Riprendiamo, allora, il prodotto scalare assegnato

$\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = kx_1y_1+kx_2y_2+kx_3y_3+2x_1y_3-x_2y_3+2x_3y_1-x_3y_2$

e fissiamo la base canonica di $\mathbb{R}^3$ . La matrice

che rappresenta $\langle \ , \ \rangle$ rispetto alla base canonica è una matrice simmetrica di ordine 3

$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}$

in cui l'elemento $a_{ij}$ coincide con il coefficiente del termine

dell'espressione che definisce $\langle \ , \ \rangle$ , dunque

$A=\begin{pmatrix}k & 0 & 2 \\ 0 & k & -1 \\ 2 & -1 & k\end{pmatrix}$

Calcolo degli autovalori di

Calcoliamo, poi, gli autovalori di

, che sono gli zeri del suo polinomio caratteristico.

$p_A(\lambda)= \mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3) = \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}k-\lambda & 0 & 2 \\ 0 & k-\lambda & -1 \\ 2 & -1 & k-\lambda\end{pmatrix}=$

sviluppiamo il determinante con Laplace, rispetto alla prima riga

$\\ =(k-\lambda) \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}k-\lambda & -1 \\ -1 & k-\lambda\end{pmatrix} + 2 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}0 & k-\lambda \\ 2 & -1\end{pmatrix}= \\ \\ = (k-\lambda)[(k-\lambda)^2-1]+2 \cdot [0-2(k-\lambda)] = \\ \\ = (k-\lambda)[(k-\lambda)^2-1]-4(k-\lambda)=$

raccogliamo $(k-\lambda)$ a fattor comune

$=(k-\lambda)[(k-\lambda)^2-1-4] = \\ \\ =(k-\lambda)[(k-\lambda)^2-5]=$

Scomponiamo la differenza di quadrati nella coppia di parentesi quadre

$=(k-\lambda)(k-\lambda-\sqrt{5})(k-\lambda+\sqrt{5})$

In definitiva:

$p_A(\lambda)=(k-\lambda)(k-\lambda-\sqrt{5})(k-\lambda+\sqrt{5})$

I suoi zeri, nonché gli autovalori di

, sono:

$\lambda_1=k \ \ ; \ \ \lambda_2=k-\sqrt{5} \ \ ; \ \ \lambda_3=k+\sqrt{5}$

Studio del segno del prodotto scalare

Il segno o, meglio, la definitezza del prodotto scalare $\langle \ , \ \rangle$ coincide con la definitezza della matrice

, che dipende dal segno dei suoi autovalori.

Iniziamo con l'analizzare i valori di

che li annullano.

1) Se

:

$\lambda_1=0 \ \ ; \ \ \lambda_2=-\sqrt{5} \ \ ; \ \ \lambda_3=\sqrt{5}$

dunque

è indefinita.

2) Se $k=\sqrt{5}$ :

$\lambda_1=\sqrt{5} \ \ ; \ \ \lambda_2=0 \ \ ; \ \ \lambda_3=2\sqrt{5}$

pertanto

è semidefinita positiva, ma non definita positiva.

3) Se $k=-\sqrt{5}$ :

$\lambda_1=-\sqrt{5} \ \ ; \ \ \lambda_2=-2\sqrt{5} \ \ ; \ \ \lambda_3=0$

di conseguenza

è semidefinita negativa, ma non definita negativa.

Proseguiamo con lo studio del segno analizzando i casi:

$k<-\sqrt{5} \ \ ; \ \ -\sqrt{5}<k<0 \ \ ; \ \ 0<k<\sqrt{5} \ \ ; \ \ k>\sqrt{5}$

4) Se $k<-\sqrt{5}$ :

$\lambda_1<0 \ \ ; \ \ \lambda_2<0 \ \ ; \ \ \lambda_3<0$

per cui

è definita negativa.

5) Se $-\sqrt{5}<k<0$ :

$\lambda_1<0 \ \ ; \ \ \lambda_2<0 \ \ ; \ \ \lambda_3>0$

cosicché

è indefinita.

6) Se $0<k<\sqrt{5}$ :

$\lambda_1>0 \ \ ; \ \ \lambda_2<0 \ \ ; \ \ \lambda_3>0$

pertanto

è indefinita.

7) Infine, se $k>\sqrt{5}$ :

$\lambda_1>0 \ \ ; \ \ \lambda_2>0 \ \ ; \ \ \lambda_3>0$

dunque

è definita positiva.

Specchietto riepilogativo

In conclusione, il prodotto scalare $\langle \ , \ \rangle$ è:

- definito negativo per $k<-\sqrt{5}$ ;

- semidefinito negativo, ma non definito positivo per $k=-\sqrt{5}$ ;

- semidefinito positivo, ma non definito positivo per $k=\sqrt{5}$ ;

- semidefinito positivo per $k>\sqrt{5}$ ;

- indefinito per $-\sqrt{5} < k < \sqrt{5}$ .

È tutto!

Ringraziano: CarFaby, ketto

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