Prodotto scalare indefinito con parametro

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Prodotto scalare indefinito con parametro #87614

avt
ketto
Punto
Come posso risolvere questo esercizio con un prodotto scalare parametrico in modo che sia indefinito positivo?

Traccia: esistono valori del parametro k\in\mathbb{R} tali che il prodotto scalare \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} dato da

<x,y>=3x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+(k+6)x_2y_2+8x_2y_3+8x_3y_2+x_3y_3

sia indefinito?
 
 

Prodotto scalare indefinito con parametro #87630

avt
Omega
Amministratore
Avendo ben presenti le definizioni e le nozioni teoriche necessarie, l'esercizio non risulta eccessivamente complicato, pur nascondendo un'insidia non indifferente. emt

Abbiamo un prodotto scalare definito su \mathbb{R}^3

<x,y>=3x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+(k+6)x_2y_2+8x_2y_3+8x_3y_2+x_3y_3

e vogliamo sapere per quali valori del parametro reale k è un prodotto scalare indefinito.

Per rispondere alla richiesta dell'esercizio ci serve la segnatura di una qualsiasi matrice associata al prodotto scalare. Infatti, un prodotto scalare è indefinito se una sua qualsiasi matrice rappresentativa presenta autovalori di segni diversi.

Per procedere ci serve quindi la matrice associata al prodotto scalare rispetto ad una base \}v_1,v_2,v_3\}; ti ricordo che la matrice associata A si determina mediante le relazioni

A=\left[\begin{matrix}<v_1,v_1> & <v_1,v_2> & <v_1,v_3> \\ <v_2,v_1> & <v_2,v_2> & <v_2,v_3> \\ <v_3,v_1> & <v_3,v_2> & <v_3,v_2>\end{matrix}\right]

Ovviamente la precedente matrice deve essere una matrice simmetrica, il che discende proprio dalla definizione di prodotto scalare.

Per comodità conviene scegliere la base canonica, la quale ci consente di evitare noiosi calcoli

A=\left[\begin{matrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & (k+6) & 8 \\ 0 & 8 & 1\end{matrix}\right]

Ora possiamo calcolare gli autovalori della matrice e vedere come varia la segnatura al variare del parametro reale k.

Consideriamo il polinomio caratteristico

det(A-\lambda I)=0

ossia

det\left[\begin{matrix} 3-\lambda & 2 & 0 \\ 2 & (k+6)-\lambda & 8 \\ 0 & 8 & 1-\lambda\end{matrix}\right]=0

Dato che abbiamo a che fare con una matrice 3x3 conviene calcolarne il determinante con la regola di Sarrus

(3-\lambda)(k+6-\lambda)(1-\lambda)+0+0-0-(2)(2)(1-\lambda)-(8)(8)(3-\lambda)=0

da cui, con semplici calcoli

-\lambda^3+(k+10)\lambda^2+(41-4k)\lambda+(3k-178)=0

Ok. Ora, se proviamo a risolvere l'equazione, ci troviamo di fronte a calcoli improponibili (e anche Ruffini non è di grande aiuto); l'unica possibilità consiste nel ricorrere alla regola di Cartesio, la quale ci permette di conoscere i segni delle radici di un polinomio a coefficienti reali di grado n senza conoscerne i valori esatti.

(Attenzione: nella lezione viene enunciata nel caso dei polinomi di secondo grado. Provvederemo ad estenderla al più presto, ma nel frattempo puoi trovarne la spiegazione nella lezione sulla segnatura di una matrice)

Richiamiamola: dato un polinomio a coefficienti reali e non tutti nulli

P(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0

scritto in modo ordinato per potenze decrescenti, allora risulta che il massimo numero di radici reali positive è al più uguale al numero di variazioni di segno tra coefficienti consecutivi; inoltre, il numero effettivo di radici reali positive può essere uguale al massimo numero di radici reali positive meno un numero pari.

Consideriamo i coefficienti del polinomio caratteristico

P(\lambda)=-\lambda^3+(k+10)\lambda^2+(41-4k)\lambda+(3k-178)=0\\ \\ -1\ \ \ (10+k)\ \ \ (41-4k)\ \ \ (3k-178)

e studiamone i segni

\\ 10+k>0\ \to\ k>-10\\ \\ 41-4k>0\ \to\ k<\frac{41}{4}\\ \\ 3k-178>0\ \to\ k>\frac{178}{3}

Ora ti consiglio di tracciare l'asse reale, appuntare i precedenti valori e dividere il diagramma in 4 parti, in modo da considerare tutti i possibili segni degli autovalori.
Ad ogni riga corrisponde ordinatamente il segno di un coefficiente sull'asse reale, dal grado 3 al grado 0

\\ . \ \ \ \ \ \ \ -10\ \ \ \ \ \ \ \frac{41}{4}\ \ \ \ \ \ \ \frac{178}{3}\\ \\ . \ \  -\  \ \ \  \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ \ \ -\\ \\ . \ \  -\  \ \ \  \ \ \ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\\ \\ . \ \  +\  \ \ \  \ \ \ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ \ \ -\\ \\ . \ \  -\  \ \ \  \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ \ \ +

Il grafico va letto verticalmente per desumere le possibili variazioni di segno.

Il polinomio non ha autovalori nulli, quindi abbiamo solamente autovalori positivi o negativi. Inoltre:

- nella prima colonna abbiamo 2 variazioni, quindi abbiamo al massimo 2 autovalori positivi o eventualmente 0 autovalori positivi;

- nella seconda colonna abbiamo 2 variazioni, come sopra;

- nella terza colonna abbiamo 2 variazioni, come sopra;

- nella quarta colonna abbiamo 3 variazioni, quindi al massimo 3 autovalori positivi o 1.

Ora applichiamo la regola di Cartesio al polinomio P(-\lambda), le cui radici sono opposte rispetto a P(\lambda), quindi in questo caso le variazioni daranno informazioni in merito alle radici negative di P(\lambda).

\\ P(\lambda)=+\lambda^3+(10+k)\lambda^2-(41-4k)\lambda+(3k-178)=0\\ \\ +1\ \ \ (10+k)\ \ \ (4k-41)\ \ \ (3k-178)

e studiamone i segni

\\ 10+k>0\ \to\ k>-10\\ \\ 4k-41>0\ \to\ k>\frac{41}{4}\\ \\ 3k-178>0\ \to\ k>\frac{178}{3}

come prima

\\ . \ \ \ \ \ \ \ -10\ \ \ \ \ \ \ \frac{41}{4}\ \ \ \ \ \ \ \frac{178}{3}\\ \\ . \ \  +\  \ \ \  \ \ \ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\\ \\ . \ \  -\  \ \ \  \ \ \ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\\ \\ . \ \  -\  \ \ \  \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\\ \\ . \ \  -\  \ \ \  \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ \ \ +

Qui abbiamo:

- nella prima colonna 1 sola variazione, quindi una radice negativa;

- stesso discorso nella seconda colonna;

- idem nella terza;

- nella quarta colonna nessuna variazione, quindi zero radici negative.

In conclusione, ne deduciamo che il prodotto scalare assegnato ha matrice associata con autovalori di segni diversi per

k<\frac{178}{3},\ k\neq-10,\ k\neq \frac{41}{4},\ k\neq \frac{178}{3}

ed è quindi indefinita, mentre è definita positiva per k>\frac{178}{3}.

Ti faccio notare che i valori specifici (i separatori) richiedono un'analisi a parte, che lascio a te. emt
Ringraziano: CarFaby, ketto

Re: Prodotto scalare indefinito con parametro #87639

avt
ketto
Punto
Grazie, il metodo è chiaro, però ho due dubbi; ripeti il procedimento per P (-\lambda) perché l'equazione è di terzo grado?

Poi se mi puoi rispiegare come scegli i valori finali di k.

Re: Prodotto scalare indefinito con parametro #87643

avt
Omega
Amministratore
Prego emt

Nell'ordine:

- in parte sì, ho ripetuto il procedimento per P(-\lambda) perché le informazioni relative a P(\lambda) non erano risolutive. Infatti avevamo diverse possibilità nell'analisi delle colonne per P(\lambda).

Ho scritto "in parte sì" perché se avessimo avuto un'equazione di secondo grado la regola di Cartesio ci avrebbe dato maggiori certezze sin da subito.

- I valori saltano fuori dallo studio del segno dei coefficienti. emt
Ringraziano: ketto

Re: Prodotto scalare indefinito con parametro #87645

avt
ketto
Punto
scusa, mi sono spiegato male. Comunque riguardandolo ho dedotto che dopo aver fatto i grafici hai visto per quali valori di k (ottenuti dallo studio dei coefficienti) gli autovalori avessero segni diversi. (nel nostro caso tutti i k trovati) giusto????

Re: Prodotto scalare indefinito con parametro #87657

avt
Omega
Amministratore
Esattamente.

Nei diagrammi sono riportati i segni dei coefficienti e, sulla base delle variazioni di segno, si deducono i segni degli autovalori.
Ringraziano: ketto
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Os