Equazione differenziale lineare del terzo ordine

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Equazione differenziale lineare del terzo ordine #87559

avt
cyp
Cerchio
Ciao, devo risolvere la seguente equazione differenziale lineare del terzo ordine:

y'''-3y''=x-1

Ho studiato a lezione relativa alle equazioni di ordine superiore al secondo, ma mi sfugge il metodo di risoluzione.

Grazie in anticipo
 
 

Equazione differenziale lineare del terzo ordine #87565

avt
Galois
Coamministratore
Ciao cyp,

dobbiamo risolvere la seguente equazione differenziale lineare del terzo ordine non omogenea a coefficienti costanti:

y'''-3y''=x-1

Come di consueto, iniziamo risolvendo l'equazione differenziale lineare di ordine superiore a due omogenea a coefficienti costanti ad essa associata, cioè

y'''-3y''=0

Per far ciò occorre trovare gli zeri del polinomio caratteristico

P(\lambda)=\lambda^3-\lambda^2

ossia trovare le radici del polinomio P(\lambda) risolvendo l'equazione scomponibile di grado superiore a due

\lambda^3-3\lambda^2=0

Effettuando un raccoglimento totale del termine \lambda^2 abbiamo

\lambda^2(\lambda-3)=0

da cui le soluzioni:

\lambda_{0}=0 con molteplicità 2 e \lambda_{1}=3 con molteplicità 1.

che, come già detto, coincidono con le radici del polinomio caratteristico.

Abbiamo tutto quello che ci occorre per scrivere l'integrale generale (o famiglia di soluzioni) dell'edo omogenea.


Poiché  \lambda_0 = 0 è radice del polinomio caratteristico con molteplicità 2, allora:

e^{\lambda_0 x} = e^{0 \cdot x} = 1

e

xe^{\lambda_0 x}=xe^{0\cdot x} = x\cdot 1 = x

sono le due soluzioni dell'edo omogenea associate a  \lambda_0 = 0 , mentre, essendo \lambda_1=3 radice di P(\lambda) con molteplicità 1, allora

e^{\lambda_1 x}=e^{3x}

è la soluzione dell'edo omogenea associata a \lambda_1=3


Possiamo così concludere che l'integrale generale dell'omogenea è:

y_O(x)=c_1\cdot 1 +c_2 x + c_3e^{3x}, \mbox{ con } c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R}



Fatto ciò troviamo una soluzione particolare (che indicherò con \overline{y}(x)) della non omogenea procedendo con il metodo di somiglianza.

Il termine noto dell'equazione differenziale data è

g(x)=x+1

che si presenta nella forma e^{\lambda x} Q(x) con:

\lambda = 0 \mbox{ e } Q(x) polinomio di grado 1 nella variabile x.

Dal momento che \lambda=0 è radice con molteplicità due del polinomio caratteristico P(\lambda) poc'anzi scritto, la soluzione particolare sarà della forma

\overline{y}(x) = x^2 e^{\lambda x} \overline{Q}(x) con \lambda = 0 \mbox{ e } \overline{Q}(x) polinomio dello stesso grado di Q(x).

Cioè

\overline{y}(x)=x^2e^{0\cdot x}(Ax+B) = x^2(Ax+B)=Ax^3+B


Non ci rimane altro da fare se non determinare il valore delle costanti A \mbox{ e } B derivando \overline{y}(x) fino all'ordine 3 e sostituendo nell'equazione di partenza.

\overline{y}'(x)=3Ax^2+2Bx

\overline{y}''(x)=6Ax+2B

\overline{y}'''(x)=6A


Sostituendo nell'edo di partenza, ossia in

y'''-3y''=x-1

si ottiene

\underbrace{6A}_{y'''} -3 \underbrace{(6Ax+2B)}_{y''} = x-1

ossia

6A-3(6Ax+2B)=x-1

da cui

6A-18Ax-6B=x-1

-18Ax+6A-6B=x-1

Per il principio di identità dei polinomi deve essere

\begin{cases}-18A=1 \\ \\ 6A-6B=-1\end{cases}

Abbiamo cioè uguagliato i termini dello stesso grado: nel primo polinomio il termine di grado 1 è -18Ax il cui coefficiente è -18A, mentre nel secondo polinomio il termine di grado uno è x il cui coefficiente è 1. Ragion per cui deve essere -18A=1; allo stesso modo deve essere 6A-6B=-1 in quanto sono i termini di grado zero nei due polinomi.

Ci siamo così ricondotti ad un sistema lineare che ha per soluzione

\begin{cases}A=-\frac{1}{18} \\ B=\frac{-1-6A}{-6}=\frac{1+6A}{6}=\frac{1-\frac{1}{3}}{6}=\frac{1}{9}\end{cases}

Sostituendo in \overline{y}(x)=Ax^3+Bx^2 otteniamo la soluzione particolare cercata che è data da

\overline{y}(x)=-\frac{1}{18}x^3+\frac{1}{9}x^2

L'integrale generale dell'equazione differenziale di partenza è, quindi

y(x)=y_{O}(x)+\overline{y}(x)=c_1+c_2 x + c_3e^{3x}-\frac{1}{18}x^3+\frac{1}{9}x^2.

That's all!
Ringraziano: Omega, CarFaby, Iusbe, cyp
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Os