EDO non lineare del primo ordine con termine fratto

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EDO non lineare del primo ordine con termine fratto #87475

avt
cyp
Cerchio
Devo determinare l'integrale generale della seguente equazione differenziale non lineare del primo ordine

y'= (x^3+y^3)/(3xy^2)

Io applico il metodo per le EDO non lineari omogenee, ma se è corretto non riesco a risolvere l'integrale...

Grazie in anticipo.
 
 

EDO non lineare del primo ordine con termine fratto #87487

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione differenziale non lineare del primo ordine che hai proposto

y'= (x^3+y^3)/(3xy^2)

serve un piccolo trucco algebrico che ci permetta di riscriverla (qui è possibile) come equazione differenziale a variabili separabili.

Dividiamo termine a termine:

y'= (x^3)/(3xy^2)+(y^3)/(3xy^2)

e semplifichiamo

y'= (x^2)/(3y^2)+(y)/(3x)

Ora effettuiamo una sostituzione e poniamo z = (y)/(x), da cui

y = zx

e derivando entrambi i membri, grazie alla regola di derivazione del prodotto

y'= z'x+z

Otteniamo quindi

z'x+z = (1)/(3z^2)+(z)/(3)

da cui, con semplici calcoli

z'x+z = (1+z^3)/(3z^2) ; z'x = (1+z^3)/(3z^2)-z ; z'x = (1+z^3-3z^3)/(3z^2) ; z'= (1)/(x)·(1-2z^3)/(3z^2)

Ora è facile vedere che l'equazione differenziale in z è effettivamente a variabili separabili. Prima di separare le variabili cerchiamo le soluzioni stazionarie, ovvero le soluzioni che annullano il secondo membro (da ricercare quando l'edo a variabili separabili è scritta nella forma z'= ...)

1-2z^3 = 0 → z = [3]√((1)/(2))

Bene. Mettiamo in moto il procedimento per la risoluzione delle edo a variabili separabili

(3z^2)/(1-2z^3)z'= (1)/(x)

da cui passiamo a

(3z^2)/(1-2z^3)dz = (1)/(x)dx

e integriamo membro a membro

∫ (3z^2)/(1-2z^3)dz = ∫(1)/(x)dx

Entrambi gli integrali coinvolti sono banali. L'integrale a secondo membro è addirittura un integrale notevole, mentre per quello a primo membro basta osservare che il numeratore è "quasi" la derivata del denominatore, a meno di un piccolo riaggiustamento algebrico

-(1)/(2)∫ (-6z^2)/(1-2z^3)dz = ∫(1)/(x)dx

Otteniamo così

-(1)/(2)log|1-2z^3| = log|x|+c

Grazie alle proprietà dei logaritmi possiamo scrivere

log((1)/(√(|1-2z^3|))) = log|x|+c

Applichiamo l'esponenziale ad entrambi i membri

(1)/(√(|1-2z^3|)) = e^(log|x|+c)

Usiamo una semplice proprietà delle potenze

(1)/(√(|1-2z^3|)) = e^(c)|x|

e passiamo al reciproco per entrambi i membri

√(|1-2z^3|) = (1)/(e^(c)|x|)

Eleviamo al quadrato (in questo modo il valore assoluto diventa superfluo)

|1-2z^3| = (1)/(e^(2c)x^2)

A questo punto possiamo eliminare il modulo a patto di specificare il segno dell'argomento:


- se 1-2z^3 > 0, ossia z < [3]√((1)/(2)), allora

1-2z^3 = +(1)/(e^(2c)x^2) ;-2z^3 = +(1)/(e^(2c)x^2)-1 ; z^3 = (1)/(2)(1-(1)/(e^(2c)x^2)) ; z = [3]√((1)/(2)(1-(1)/(e^(2c)x^2)))

ed infine passiamo alla soluzione in y

(y)/(x) = [3]√((1)/(2)(1-(1)/(e^(2c)x^2))) ; y = x[3]√((1)/(2)(1-(1)/(e^(2c)x^2)))

Per brevità puoi chiamare la costante e^(2c) = :k

y = x[3]√((1)/(2)(1-(1)/(kx^2))) (•)


- se 1-2z^3 < 0, ossia z > [3]√((1)/(2)), conti analoghi ai precedenti ci conducono alla famiglia di soluzioni

y = x[3]√((1)/(2)(1+(1)/(kx^2))) (•)(•)


Se vogliamo, possiamo anche scrivere le soluzioni (•), (•)(•) in un'unica espressione (non è sempre possibile). Per riuscirci basta scaricare il segno meno della differenza del radicando sulla costante arbitraria k

y = x[3]√((1)/(2)(1+(1)/(tildekx^2)))


Naturalmente, avendo solo un'equazione differenziale e non un problema di Cauchy, non possiamo individuare una specifica soluzione e dobbiamo limitarci ad indicare la famiglia di tutte le possibili soluzioni dell'equazione differenziale.
Ringraziano: CarFaby, cyp

Re: EDO non lineare del primo ordine con termine fratto #87510

avt
cyp
Cerchio
Ciao Omega, per prima cosa grazie! è tutto molto chiaro, ho solo un paio di domande da porti:

Dividiamo termine a termine:

y'= (x^3)/(3xy^2)+(y^3)/(3xy^2)

e semplifichiamo

y'= (x^2)/(3y^2)+(y)/(3x)

in questo caso tu operi un passaggio semplicissimo, chiaro. io, che mi complico la vita, ho diviso tutti i termini per x^3, secondo il metodo delle EDO non lineari omogenee (numeratore e denominatore hanno entrambi grado 3), faccio 1-2 passaggi in più ma dopo aver sostituito nella variabile z, giungo al tuo stesso risultato... è comunque un errore o potrebbe andare bene lo stesso nel caso in cui avessi il prosciutto negli occhi e non mi accorgessi che sarebbe molto più immediato dividere termine a termine e semplificare come hai fatto tu??

Applichiamo l'esponenziale ad entrambi i membri

(1)/(√(|1-2z^3|)) = e^(log|x|+c)

puoi ricordarmi per favore, la regola che mi permette di effettuare questo passaggio?? non riesco a trovarla nei link...

per il resto è tutto chiarissimo (compresa la parte sul valore assoluto che di solito mi crea non pochi dubbi)! Grazie sempre!

Re: EDO non lineare del primo ordine con termine fratto #87513

avt
Omega
Amministratore
Ehilà emt

Nell'ordine:

- dividere per x^3 va benissimo, è un approccio del tutto equivalente al mio;

- dato che hai a che fare con un'equazione, puoi effettuare qualsiasi operazione purché la applichi su entrambi i membri e purché sia lecita in termini di condizioni di esistenza.

Nel nostro caso ho applicato l'esponenziale su entrambi i membri e ho usato l'identità log-exp:

y = e^(log(y)) valida per y > 0
Ringraziano: cyp
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Os