Equazione differenziale del secondo ordine con metodo di somiglianza

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Equazione differenziale del secondo ordine con metodo di somiglianza #87473

avt
cyp
Cerchio
Ecco un'equazione differenziale del secondo ordine da risolvere con il metodo di somiglianza:

y''+y'-2y=(x+2)e^x

con le condizioni iniziali y(0)=1,\ y'(0)=-1.

Dopo avere capito che con Lagrange mi perdevo di casa, ho provato con il metodo di somiglianza ma mi sono resa conto di non avere capito bene come applicarlo.

Trovo due radici reali e distinte e applico le formule, ma non capisco come procedere...
 
 

Equazione differenziale del secondo ordine con metodo di somiglianza #87488

avt
Galois
Amministratore
Ciao cyp. emt

Dobbiamo risolvere la seguente equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti:

y''+y'-2y=(x+2)e^{x}

Iniziamo risolvendo l'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti ad essa associata, cioè

y''+y'-2y=0

Come spiegato nella lezione dell'ultimo link, per fa ciò troviamo gli zeri del polinomio caratteristico

P(\lambda)=\lambda^2+\lambda-2

Per trovare le radici del polinomio P(\lambda) basta risolvere l'equazione di secondo grado

\lambda^2+\lambda-2=0

che ha come soluzioni

\lambda_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2+8}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}

ossia le radici del polinomio caratteristico sono

\lambda_1=-2 \mbox{ e } \lambda_2=1. Possiamo così scrivere l'integrale generale (o famiglia di soluzioni) dell'edo omogenea:

y_O(t)=c_1e^{-2x}+c_2e^{x}, \mbox{ con } c_1,c_2 \in \mathbb{R}


Fatto ciò troviamo una soluzione particolare (che indicherò con \overline{y}(t)) della non omogenea e, per farlo, procediamo con il metodo di somiglianza - click!

Il termine noto dell'equazione differenziale data è

g(x)=e^{x}(x+2)

cioè si presenta nella forma e^{\lambda x} Q(x) con:

\lambda = 1 \mbox{ e } Q(x) polinomio di grado 1 nella variabile x.

Attenzione ora! Dal momento che \lambda=1 è radice del polinomio caratteristico P(\lambda) poc'anzi scritto, la soluzione particolare sarà della forma

\overline{y}(t) = x e^{\lambda x} \overline{Q}(x) con \lambda = 1 \mbox{ e } \overline{Q}(x) polinomio dello stesso grado di Q(x), ossia polinomio di grado 1. Per farla breve

\overline{y}(x)=xe^{x}(Ax+B)

Nell'articolo sul metodo di somiglianza che ti ho prima linkato trovi tutti i casi in cui è possibile applicare tale metodo con spiegato il relativo metodo di risoluzione. Quindi ti invito a leggerla, o meglio a studiarla con molta attenzione. emt

Non ci rimane altro da fare se non determinare il valore delle costanti A \mbox{ e } B e per farlo occorre derivare \overline{y}(x) fino all'ordine 2 e sostituire nell'equazione di partenza. Procediamo!

Per facilitare i conti scriviamoci \overline{y}(x) come

\overline{y}(x)=e^{x}(Ax^2+Bx)

(ho moltiplicato x per Ax+B)

In questo modo \overline{y}(x) si presenta come il prodotto di due funzioni

f(x)=e^x \mbox{ e } g(x)=Ax^2+Bx

e, ovviamente:

f'(x)=e^x \mbox{ e } g'(x)=2Ax+B

Ricordando come si calcola la derivata di un prodotto si ha quindi che

\overline{y}'(x)=\underbrace{e^{x}}_{f'(x)}\underbrace{(Ax^2+Bx)}_{g(x)} + \underbrace{e^x}_{f(x)}\underbrace{(2Ax+B)}_{g'(x)}=

(effettuando un raccoglimento totale del termine e^x

e^{x}(Ax^2+Bx+2Ax+B)

Ossia

\overline{y}'(x)=e^{x}(Ax^2+Bx+2Ax+B)

Procedendo allo stesso modo si ha

\begin{align*}\overline{y}''(x)= & \\ & e^{x}(Ax^2+Bx+2Ax+B)+e^x(2Ax+B+2A)= \\ & e^x(Ax^2+Bx+2Ax+B+2Ax+B+2A)= \\ & e^x(Ax^2+Bx+4Ax+2B+2A)\end{align*}

Sostituendo nell'edo di partenza, ossia in

y''+y'-2y=e^{x}(x+2)

si ottiene

\begin{align*}\underbrace{e^x(Ax^2+Bx+4Ax+2B+2A)}_{y''} + \underbrace{e^{x}(Ax^2+Bx+2Ax+B)}_{y'}-2\underbrace{e^{x}(Ax^2+Bx)}_{y} = & \\  & =e^{x}(x+2)\end{align*}

Facciamo, a primo membro, un raccoglimento totale del fattore e^x così da avere

\begin{align*}e^x(Ax^2+Bx+4Ax+2B+2A+Ax^2+Bx+2Ax+B-2Ax^2-2Bx) = & \\ & =e^{x}(x+2)\end{align*}

Possiamo ora dividere ambo i membri per e^x (quantità sicuramente non nulla)

Ax^2+Bx+4Ax+2B+2A+Ax^2+Bx+2Ax+B-2Ax^2-2Bx = x+2

e sommare, a primo membro, i termini simili:

6Ax+3B+2A = x+2

Per il principio di identità dei polinomi deve essere

\begin{cases}6A=1 \\ 3B+2A=2\end{cases}

Abbiamo cioè uguagliato i termini dello stesso grado: nel primo polinomio il termine di grado 1 è 6Ax il cui coefficiente è 6A, mentre nel secondo polinomio il termine di grado uno è x il cui coefficiente è 1. Ragion per cui deve essere 6A=1; allo stesso modo deve essere 3B+2A=2 in quanto sono i termini di grado zero nei due polinomi.

Ad ogni modo ci siamo ricondotti ad un semplicissimo sistema lineare che ha per soluzione

\begin{cases}A=\frac{1}{6} \\ B=\frac{5}{9}\end{cases}

Sostituendo in \overline{y}(x)=e^x(Ax^2+Bx) otteniamo la soluzione particolare cercata che è data da

\overline{y}(x)=e^{x}\left(\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{9}x\right) = \frac{e^x x^2}{6}+\frac{5 e^x x }{9}

L'integrale generale dell'equazione differenziale di partenza è, quindi

y(x)=y_{O}(x)+\overline{y}(x)=c_1e^{-2x}+c_2e^{x}+\frac{e^x x^2}{6}+\frac{5 e^x x }{9}

È tutto. emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, cyp

Re: Equazione differenziale del secondo ordine con metodo di somiglianza #87515

avt
cyp
Cerchio
Ciao Galois e grazie... sei stato fin troppo chiaro in tutti i passaggi! Volevo chiederti una cosa per chiarirmi le idee in generale: quando si parla di

e \overline{Q}(x) polinomio dello stesso grado di Q(x)

cosa si intende esattamente? In questo caso sembra semplice, e magari lo è sempre, ma vorrei capirlo per poterlo applicare in generale...

Per quanto riguarda l'imposizione delle condizioni iniziali, volevo mostrarti come ho operato per avere una conferma:

Impongo la prima condizione all'integrale generale della mia equazione:

y(0)=1: 1=c_{1}+c_{2}

Calcolo la derivata prima dell'integrale generale:

y'=-2c_{1}e^{-2x} +c_{2}e^{x}+\frac{e^{x}x^2}{6}+\frac{2e^{x}x}{6}+\frac{5e^{x}x}{9}+\frac{5e^x}{9}

Impongo la seconda condizione:

-1=-2c_{1}+c_{2}+\frac{5}{9}

Imposto il sistema:

\begin{cases}1=c_{1}+c_{2} \\ -1=-2c_{1}+c_{2}+\frac{5}{9}\end{cases}

Da cui:

\begin{cases}c_{1}= \frac{23}{27} \\ c_{2}=\frac{4}{27}\end{cases}

Infine sostituisco nell'integrale generale:

y(x)=c_1e^{-2x}+c_2e^{x}+\frac{e^x x^2}{6}+\frac{5 e^x x }{9}=\frac{23}{27}e^{-2x}+\frac{4}{27}e^{x}+\frac{e^x x^2}{6}+\frac{5 e^x x }{9}

Grazie in anticipo
Ringraziano: Galois, CarFaby

Re: Equazione differenziale del secondo ordine con metodo di somiglianza #87521

avt
Galois
Amministratore
Rieccoci.

Se siamo in uno dei casi in cui è possibile applicare il metodo di somiglianza (tutti i casi possibili li trovi elencati nell'omonima lezione) uno tra i fattori del termine noto g(x) dell'equazione differenziale di partenza sarà un polinomio, che chiamo Q(x).

Ora, se Q(x) è di grado zero, ossia se si riduce ad una costante (eventualmente anche uguale ad 1) allora nella soluzione particolare dovrà comparire un polinomio di grado zero, ossia una sola costante; per intenderci, dovrai imporre \overline{Q}(x)=A

Per chiarire ancor più le idee se, ad esempio, il termine noto dell'equazione differenziale di partenza è g(x)=e^{x} \mbox{ oppure } g(x)=25e^x allora nella soluzione particolare imporrai \overline{Q}(x)=A in quanto in entrambi i casi g(x) è della forma e^{\lambda x}Q(x) con Q(x) polinomio di grado zero che nel primo esempio, anche se non si vede, vale Q(x)=1 mentre nel secondo caso Q(x)=25.

Poi, se Q(x), come nel caso in esame, è di grado 1, allora \overline{Q}(x)=Ax+B.

Ancora, se Q(x) è di grado 2, allora \overline{Q}(x)=Ax^2+Bx+C.

.. e così via.. emt

Per quanto riguarda i conti che hai fatto per sostituire le condizioni iniziali: semplicemente perfetti! emt
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Equazione differenziale del secondo ordine con metodo di somiglianza #87522

avt
cyp
Cerchio
Perfetto! Chiarissimo! Grazie mille come sempre
Ringraziano: Galois
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Os