Problema di Cauchy del secondo ordine con metodo di analogia

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Problema di Cauchy del secondo ordine con metodo di analogia #87399

avt
FemtoGinny
Punto
Salve forum! Finora i vostri esercizi svolti sono stati un aiutone(oneone) per me, ma ora mi trovo in difficoltà seria e non so proprio come uscirne...

Avrei bisogno urgentemente che qualcuno mi spieghi come studiare questa equazione differenziale:

 u''+u'-6u=e^{-t}(23-6t)

e poi, una volta trovate le soluzioni dell'omogenea e della non omogenea, imporre le condizioni iniziali per

u(0)=0,\ \ u'(0)=1

Non so proprio come procedere: pensavo con il metodo di analogia, ma non capisco di che tipo è il termine noto.

Grazie mille di cuore, davvero!
 
 

Problema di Cauchy del secondo ordine con metodo di analogia #87412

avt
Galois
Coamministratore
Eccoci emt

Siamo di fronte ad un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti:

u''+u'-6u=e^{-t}(23-6t)

La prima cosa da fare è risolvere l'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti ad essa associata, ossia

u''+u'-6u=0

Per fa ciò troviamo gli zeri del polinomio caratteristico

P(\lambda)=\lambda^2+\lambda-6

Trovare le radici del polinomio P(\lambda) equivale a risolvere l'equazione di secondo grado nella variabile \lambda

\lambda^2+\lambda-6=0

Procedendo con la consueta formula risolutiva abbiamo le due soluzioni

\lambda_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2+24}}{2}=\frac{-1\pm 5}{2}

Cioè le radici del polinomio caratteristico sono \lambda_1=-3 \mbox{ e } \lambda_2=2. Possiamo così scrivere l'integrale generale (o famiglia di soluzioni) dell'edo omogenea:

u_O(t)=c_1e^{-3t}+c_2e^{2t}, \mbox{ con } c_1,c_2 \in \mathbb{R}

Fatto ciò troviamo una soluzione particolare (che indicherò con \overline{u}(t)) della non omogenea. Procederemo con il metodo di somiglianza - click!

Il termine noto dell'equazione differenziale data è

g(t)=e^{-t}(23-6t)

ossia si presenta nella forma e^{\lambda t} Q(t) con:

\lambda = -1 \mbox{ e } Q(t) polinomio di grado 1 nella variabile t.

Ora, dal momento che \lambda=-1 non è radice del polinomio caratteristico P(\lambda) poc'anzi scritto, la soluzione particolare sarà della forma

\overline{u}(t) = e^{\lambda t} \overline{Q}(t) con \lambda = -1 \mbox{ e } \overline{Q}(t) polinomio dello stesso grado di Q(t), ossia polinomio di grado 1. Per farla breve

\overline{u}(t)=e^{-t}(At+B)

Nell'articolo sul metodo di somiglianza che ti ho prima linkato trovi tutti i casi in cui è possibile applicare tale metodo con spiegato il relativo metodo di risoluzione. emt

Fatto ciò dobbiamo determinare il valore delle costanti A \mbox{ e } B e per farlo occorre derivare \overline{u}(t) fino all'ordine 2 e sostituire nell'equazione di partenza. Procediamo!

\overline{u}(t)=e^{-t}(At+B)

Applicando la regola di derivazione di un prodotto abbiamo che

\overline{u}'(t)=-e^{-t}(At+B)+e^{-t}(A) = e^{-t}(-At-B+A)

\overline{u}''(t)=-e^{-t}(-At-B+A)+e^{-t}(-A) = e^{-t}(At+B-2A)

Sostituendo nell'edo di partenza, ossia in

u''+u'-6u=e^{-t}(23-6t)

abbiamo

\underbrace{e^{-t}(At+B-2A)}_{u''} + \underbrace{e^{-t}(-At-B+A)}_{u'}-6\underbrace{e^{-t}(At+B)}_{u} = e^{-t}(23-6t)

Facciamo un raccoglimento totale del fattore e^{-t} a primo membro

e^{-t}(At+B-2A-At-B+A-6At-6B) = e^{-t}(23-6t)

e sommiamo i termini simili così da ricadere nella seguente uguaglianza

e^{-t}(-6At-A-6B) = e^{-t}(23-6t)

Per il principio di identità dei polinomi deve essere

\begin{cases}-6A=-6 \\ -A-6B=23\end{cases}

Ci siamo così ricondotti ad un semplicissimo sistema lineare che ha per soluzione

\begin{cases}A=1 \\ B=-4\end{cases}

Sostituendo in \overline{u}(t)=e^{-t}(At+B) otteniamo la soluzione particolare cercata

\overline{u}(t)=e^{-t}(t-4)=te^{-t}-4e^{-t}

L'integrale generale dell'equazione differenziale di partenza è

u(t)=u_{O}(t)+\overline{u}(t)=c_1e^{-3t}+c_2e^{2t}+te^{-t}-4e^{-t}


Infine, per imporre le condizioni iniziali

u(0)=0 \mbox{ e } u'(0)=1

occorre derivare la soluzione ottenuta

u(t)=c_1e^{-3t}+c_2e^{2t}+te^{-t}-4e^{-t}

u'(t)=-3c_1e^{-3t}+2c_2e^{2t}+e^{-t}-te^{-t}+4e^{-t}

Mettere poi a sistema quest'ultime due equazioni

\begin{cases}u(t)=c_1e^{-3t}+c_2e^{2t}+te^{-t}-4e^{-t} \\ u'(t)=-3c_1e^{-3t}+2c_2e^{2t}+e^{-t}-te^{-t}+4e^{-t}\end{cases}

e imporre le condizioni iniziali. Dal momento che deve essere u(0)=0 nella prima equazione sostituiremo 0 al posto di t e quindi 0 al posto di u(0). Mentre, dovendo essere u'(0)=1, nella seconda equazione sostituiremo 0 al posto di t ed 1 al posto di u'(0); cioè avremo

\begin{cases}u(0)=c_1e^{-3\cdot 0}+c_2e^{2 \cdot 0}+0\cdot e^{0}-4e^{0} \\ u'(0)=-3c_1e^{-3\cdot 0}+2c_2e^{2\cdot 0}+e^{0}-0 \cdot e^{0}+4e^{0}\end{cases}

ossia essendo e^{0}=1

\begin{cases}0=c_1+c_2-4 \\ 1=-3c_1+2c_2+1+4\end{cases}

da cui

\begin{cases}c_1+c_2=4 \\ -3c_1+2c_2=-4\end{cases}

Procedendo con il metodo di sostituzione per i sistemi lineari otteniamo

\begin{cases}c_1=\frac{12}{5} \\ c_2=\frac{8}{5}\end{cases}

Pertanto la soluzione del Problema di Cauchy

\begin{cases}u''+u'-6u=e^{-t}(23-6t) \\ u(0)=0 \\ u'(0)=1\end{cases}

è

u(t)=\frac{12}{5}e^{-3t}+\frac{8}{5}e^{2t}+te^{-t}-4e^{-t}

ottenuta sostituendo al posto di c_1 \mbox{ e } c_2 i valori appena trovati.

È tutto. emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, FemtoGinny

Problema di Cauchy del secondo ordine con metodo di analogia #87416

avt
FemtoGinny
Punto
Ti ringrazierei millemila volte Galois, non sai quanto tempo speso su questa equazione senza riuscire a cavare un ragno dal buco!

C'è solo un punto del quale non sono sicura: quando poni

 u(t)=e^{-t}(At +B)

significa che At rappresenta il -6t della funzione e rispettivamente B il suo 23?

Spero di essermi spiegata, ma non ne sono del tutto certa..

Ti ringrazio ^^
Ringraziano: Galois

Problema di Cauchy del secondo ordine con metodo di analogia #87418

avt
Galois
Coamministratore
Come ho già avuto modo di scrivere nella mia precedente risposta occorre guardare il grado del polinomio Q(t) che compare nel termine noto della edo di partenza:

- se è un polinomio di grado zero, ossia Q(t) si riduce ad una sola costante, allora nella soluzione particolare comparirà un polinomio di grado zero, cioè \overline{Q}(t)=A

- se è un polinomio di grado 1, come nel caso in esame, allora nella soluzione particolare scriveremo un polinomio di grado 1, cioè \overline{Q}(t)=At+B

..e così via..
Ringraziano: CarFaby

Problema di Cauchy del secondo ordine con metodo di analogia #87424

avt
FemtoGinny
Punto
Grazie ancora emt
Ringraziano: Galois
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Os