Superficie totale di un cubo con piramide sovrapposta

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Superficie totale di un cubo con piramide sovrapposta #87380

avt
Adrienne
Punto
Un solido è formato da un cubo sormontato da una piramide regolare quadrangolare con la base coincidente con una faccia del cubo. Sapendo che l'altezza della piramide e la diagonale del cubo misurano rispettivamente 66 cm e 171,468 cm, calcola l'area della superficie totale del solido.

[Risultato 65.340 cm]
 
 

Superficie totale di un cubo con piramide sovrapposta #87381

avt
Omega
Amministratore
Ciao Adrienne,

il tempo necessario per formulare e trascrivere una risposta, e sono da te. emt

Superficie totale di un cubo con piramide sovrapposta #87382

avt
Adrienne
Punto
Dio ti benedica <3
Ringraziano: Omega

Superficie totale di un cubo con piramide sovrapposta #87383

avt
Omega
Amministratore
Per impostare un problema di geometria solida conviene sempre partire dalla figura e dai dati.

La figura la lascio a te (basta disegnare un cubo sormontato da una piramide sulla faccia superiore), qui di seguito riporto i dati:

\begin{cases}h=66\ cm\\ d=171,468\ cm\\ S_{tot}=?\end{cases}

Per prima usiamo la relazione tra spigolo e diagonale del cubo (click per le formule) per ricavare la misura dello spigolo

\ell=\frac{d}{\sqrt{3}}

Dato che \sqrt{3} è un numero irrazionale, dobbiamo sceglierne un'approssimazione.

Il numeratore della formula è un numero alla terza cifra decimale (millesimi), quindi approssimiamo

\sqrt{3}\simeq 1,732

e dunque

\ell\simeq \frac{171,468}{1,732}=99\ cm

Avendo la misura dello spigolo possiamo calcolare facilmente l'area di una delle facce del cubo, usando la formula per l'area del quadrato

S_{faccia,\ cubo}=\ell^2=99^2=9801\ cm^2

Ora ci serve l'area della superficie laterale della piramide e per determinarla usiamo la formula

S_{lat,\ piramide}=\frac{2p\times a}{2}

dove 2p indica il perimetro di base e a l'apotema della piramide. Calcoliamone le misure a parte.

Il perimetro di base si ricava facilmente, è il perimetro di un quadrato

2p=4\times \ell=4\times 99=396\ cm

Per l'apotema, dato che abbiamo la misura dell'altezza della piramide, possiamo ricorrere al teorema di Pitagora considerando il triangolo rettangolo formato da altezza, apotema e metà lato di base

a=\sqrt{h^2+\left(\frac{\ell}{2}\right)^2}=\sqrt{66^2+(49,5)^2}=\sqrt{6806,25}=82,5\ cm

Ora possiamo finalmente calcolare l'area della superficie laterale della piramide

S_{lat,\ piramide}=\frac{2p\times a}{2}=\frac{396\times 82,5}{2}=16335\ cm^2

ed infine l'area della superficie totale del solido

S_{tot}=5S_{faccia,\ cubo}+S_{lat,\ piramide}=5\times 9801+16335=65340\ cm^2

Occhio alla soluzione che hai riportato: dato che parliamo di una superficie, l'unità di misura deve essere cm^2 e non cm. emt
Ringraziano: Galois, CarFaby, Adrienne

Superficie totale di un cubo con piramide sovrapposta #87410

avt
Adrienne
Punto
Ammirevole la velocità con cui l'hai eseguita, e io ci sono stata le ore! In realtà non avevo ancora ben capito cos'era un apotema e al teorema di Pitagora proprio non avevo pensato! Ti ringrazio!
Ringraziano: Omega

Superficie totale di un cubo con piramide sovrapposta #87411

avt
Omega
Amministratore
Figurati, grazie a te! emt
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Os