Sistema lineare ad equazioni complesse con parametri

Ecco un sistema lineare con due parametri e tre equazioni complesse per il quale mi servirebbe una mano.

Al variare di studia il seguente sistema lineare e, quando possibile, determinare le soluzioni.

Nel testo del primo messaggio avevi proposto una bozza di risoluzione che si basava sull'eliminazione gaussiana (e che ho eliminato per la presenza di diversi problemi nella scrittura delle formule).

Quando abbiamo a che fare con un sistema lineare con uno o più parametri, nel 99% dei casi non conviene (leggi non si deve) partire con l'eliminazione gaussiana, perché così facendo si crea una selva di casi e sotto-casi che diventa difficile da gestire. Non a caso, quando si procede con Gauss si effettuano divisioni per determinare i moltiplicatori di riduzione; se i denominatori coinvolgono un parametro, bisogna necessariamente considerare a parte i valori del parametro che annullano il denominatore del coefficiente di riduzione... E si finisce per diventare pazzi.

La strategia prevede innanzitutto di fare ricorso al teorema di Rouché-Capelli e solo alla fine applicare la risoluzione alla Gauss nei casi un cui la compatibilità (risolubilità) del sistema è garantita.

Premetto anche che non mi dilungherò troppo nei calcoli: in primo luogo perché, per quanto noiosi, sono banali; in secondo luogo perché in caso contrario dovrei rigettare il topic per l'eccessivo tempo richiesto.

Consideriamo la matrice incompleta del sistema lineare



e studiamone il rango con il criterio dei minori.

Se calcoliamo il determinante (click!) con la regola di Sarrus, otteniamo



Il determinante si annulla per i seguenti valori del parametro



per i quali dunque il rango non è massimo ed è quindi . In particolare



Ti faccio notare che in entrambi i casi non serve una mole esagerata di calcoli.
Nel primo il rango lo si desume a occhio confrontando la prima e la terza colonna, si vede al volo che sono linearmente indipendenti.
Nel secondo caso ti basta ragionare sui minori di ordine 2, come ad esempio



In pratica dovremmo considerare tutti i minori di ordine 2, e nel caso ne trovassimo uno con determinante diverso da zero sapremmo subito che la matrice ha rango 2.
Qui ho scelto il minore che avrebbe richiesto il minor numero di calcoli ed ho incrociato le dita.

In entrambi i casi, sostituendo i rispettivi valori nella matrice incompleta, troviamo



Se invece



allora la matrice incompleta ha rango (una matrice quadrata ha rango massimo se e solo se il suo determinante è non nullo).


Ora passiamo a considerare la matrice completa associata al sistema



Nel caso



la matrice completa ha necessariamente rango 3, perché tale è il rango della matrice incompleta (che ne individua il primo blocco). Il rango di una matrice può essere infatti al più uguale al minimo tra il numero di righe ed il numero di colonne di una matrice.

In tale eventualità il sistema è compatibile ed ammette una ed una sola soluzione, e si può procedere per eliminazione gaussiana per determinarne le soluzioni.


Se la matrice incompleta si riduce a



e considerando il minore formato dalla prima, dalla terza e dalla quarta colonna si trova che esso ha determinante non nullo per



per cui in tale eventualità e il sistema è incompatibile.

Se invece



allora . Qui conviene prendere come primo minore di ordine 2



che ha determinante diverso da zero, per cui la suddetta scelta per ci conduce a . In questo caso il sistema è compatibile ed ammette soluzioni.


Infine se



la matrice incompleta ha rango 2 mentre si trova che la matrice completa



ha . In tal caso il sistema è incompatibile.


Un piccolo riepilogo:



Gli unici casi da prendere in considerazione sono quelli per:



ed è qui che puoi procedere applicando l'eliminazione gaussiana "a cuor leggero".
Riguardo alla domanda che proponevi nella tua risoluzione, in cui hai applicato Gauss riducendo il sistema ad un sistema triangolare, alla fine devi solo procedere per sostituzione ricavando , da cui , da cui .

Il metodo è chiaro, grazie 1000!

Un'ultima domanda come chiarimento: una volta definiti i valori di ed vado a fare la stessa eliminazione di Gauss che ho eseguito io nel messaggio iniziale, per essere più chiaro, non assegno nessun valore di ed trovati, giusto?

Esatto: nel caso



procedi con Gauss lasciando i parametri indicati come .

Nel caso



puoi procedere sostituendo i valori e via di nuovo con l'eliminazione gaussiana.