Somma di una serie fratta

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Somma di una serie fratta #87300

avt
paimezzi
Cerchio
Ciao, il mio dubbio riguarda la somma cui converge una serie fratta.

Sono in grado di stabilire se una serie converge o meno ma non riesco (le poche volte in cui è possibile) a determinare il valore di convergenza.

Esempio 1 (che ho risolto correttemente):

"Cercare un'espressione conveniente per esprimere le somme parziali, quindi usare questa espressione per trovare la somma della serie"

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(4n+1)(4n-3)}

Risoluzione:

\frac{1}{(4n+1)(4n-3)}=\frac{A}{4n+1}+\frac{B}{4n-3}

Risolvo l'equazione e trovo A=-1/4 e B=1/4. Li sostituisco e trovo l'espressione per esprimere le somme parziali.
Sostituendo i primi valori di n (n=1,2,3...) vedo che la serie converge a 1/4.

Esempio 2 (che non riesco a risolvere):

"Cercare un'espressione conveniente per esprimere le somme parziali, quindi usare questa espressione per trovare la somma della serie"

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+3n+1}{(n^{2}+n)^{2}}

Nonostante l'esercizio si pressoché identico al precedente, non riesco a risolverlo.
 
 

Somma di una serie fratta #87308

avt
Galois
Coamministratore
Ciao paimezzi emt

Veniamo subito all'esercizio che non riesci a risolvere, ossia al calcolo della somma della serie numerica:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+3n+1}{(n^2+n)^2}

Innanzitutto osserviamo che la serie data è una serie convergente in quanto

\frac{n^2+3n+1}{(n^2+n)^2} \sim_{n\to +\infty} \frac{n^2}{n^4} = \frac{1}{n^2}

ossia il termine generale della serie proposta è asintoticamente equivalente a \frac{1}{n^2} e quindi per il criterio del confronto asintotico la serie di partenza ha lo stesso carattere della serie

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

che è una serie convergente; vedi serie armonica generalizzata.


Chiarito ciò procediamo. Con un raccoglimento totale possiamo scrivere il denominatore come

(n^2+n)^2=[n(n+1)]^2 = n^2(n+1)^2

e quindi il termine generale della serie di partenza:

\frac{n^2+3n+1}{(n^2+n)^2}=\frac{n^2+3n+1}{n^2(n+1)^2}

Scomponiamo tale termine utilizzando il metodo dei fratti semplici. Siamo di fronte al caso in cui il numeratore ha grado inferiore rispetto al denominatore (che è un polinomio di grado 4 che abbiamo già provveduto a fattorizzare). Ragion per cui:

- a n^2 associamo \frac{A}{n}+\frac{B}{n^2}

- a (n+1)^2 associamo \frac{C}{n+1}+\frac{D}{(n+1)^2}

Dobbiamo così determinare le costanti A, \ B, \ C \mbox{ e } D tali per cui

\frac{n^2+3n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n^2}+\frac{C}{n+1}+\frac{D}{(n+1)^2}

Ora, svolgendo qualche conticino a secondo membro abbiamo

\frac{A}{n}+\frac{B}{n^2}+\frac{C}{n+1}+\frac{D}{(n+1)^2}=

=\frac{An(n+1)^2+B(n+1)^2+Cn^2(n+1)+Dn^2}{n^2(n+1)^2}=

=\frac{An^3+2An^2+An+Bn^2+2Bn+B+Cn^3+Cn^2+Dn^2}{n^2(n+1)^2}=

=\frac{(A+C)n^3+(2A+B+C+D)n^2+(A+2B)n+B}{n^2(n+1)^2}

Siamo così giunti ad avere la seguente uguaglianza

\frac{n^2+3n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{(A+C)n^3+(2A+B+C+D)n^2+(A+2B)n+B}{n^2(n+1)^2}

Per il principio di identità tra polinomi le costanti A, \ B, \ C \mbox{ e } D devono essere tali che

\begin{cases}A+C=0 \\ 2A+B+C+D=1 \\ A+2B=3 \\ B=1\end{cases}

Ci siamo così ricondotti ad un semplicissimo sistema lineare di 4 equazioni in 4 incognite. Procedendo per sostituzione abbiamo che

\begin{cases}B=1 \\ A=3-2B=3-2=1 \\ C=-A=-1 \\ D=1-2A-B-C=1-2-1+1=-1\end{cases}

Morale della favola:

\frac{n^2+3n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n^2}+\frac{C}{n+1}+\frac{D}{(n+1)^2}=

=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^2}

Ossia la serie data la possiamo riscrivere come

\sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^2}\right]

Abbiamo già osservato che la serie converge. Possiamo quindi riordinare i termini come

\sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right]

e scrivere la serie come somma di due serie convergenti:

\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right] + \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right]

Le due serie così ricavate sono due serie telescopiche (leggimi) e possiamo così calcolare agevolmente la somma. Infatti

\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right]

è una serie telescopica con

a_n=\frac{1}{n} \mbox{ e } a_{n+k} = a_{n+1}=\frac{1}{n+1}

e, come tale, ha per somma a_1=\frac{1}{1}=1, ossia

\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right]=1

Allo stesso modo

\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right]

è una serie telescopica con

a_n=\frac{1}{n^2} \mbox{ e } a_{n+k} = a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^2}

Tale serie ha allora per somma a_1=\frac{1}{1^2}=1 e quindi

\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right]=1

Possiamo ora concludere. Ricapitolando:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+3n+1}{(n^2+n)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+3n+1}{n^2(n+1)^2}=

=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right] + \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right]=1+1=2

È tutto! emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, paimezzi

Somma di una serie fratta #87318

avt
paimezzi
Cerchio
Grazie Galois, tutto chiarissimo.
Quello che mi bloccava era la mia scarsissima conoscienza del metodo dei fratti semplici.

Domanda: questo metodo si applica a tutte le serie o solo a casi specifici? Ovviamente stiamo parlando sempre di serie dove è possibile calcolare il termine a cui la serie converge.
Ringraziano: Galois

Somma di una serie fratta #87320

avt
Galois
Coamministratore
Questo metodo si applica ogni qualvolta si può applicare il metodo dei fratti semplici, ossia alle serie in cui il termine generale si presenta sotto forma di funzione razionale fratta.

Ovviamente non c'è una regola fissa ed ha senso applicare questo metodo quando ci si può ricondurre ad una serie telescopica.

Per farla breve, se il testo dell'esercizio ti chiede di calcolare la somma della serie e il termine generale della serie proposta è una funzione razionale fratta allora il metodo dei fratti semplici è la strada da seguire per ricondursi ad una o più serie telescopiche. emt
Ringraziano: CarFaby, paimezzi

Somma di una serie fratta #87321

avt
paimezzi
Cerchio
Galois ha scritto:
Per farla breve, se il testo dell'esercizio ti chiede di calcolare la somma della serie e il termine generale della serie proposta è una funzione razionale fratta allora il metodo dei fratti semplici è la strada da seguire per ricondursi ad una o più serie telescopiche.


Ecco l'illuminazione di cui avevo bisogno!

Grazie emt
Ringraziano: Galois
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Os