Funzione integrale invertibile e derivata dell'inversa

In questo esercizio devo dimostrare che una funzione integrale è invertibile e calcolare la derivata dell'inversa in un punto.

Provare che la seguente funzione è invertibile:



e calcolare .

Ciao Samx,

prima di procedere con la risoluzione, vediamo di capire quali sono gli argomenti trattati dall'esercizio e come affrontarne la risoluzione:

1) studio dell'invertibilità di una funzione;

2) applicazione del teorema per la derivata della funzione inversa.

Occhio: di norma sappiamo che, per stabilire se una funzione sia invertibile o meno, dobbiamo studiarne l'iniettività e la suriettività. Qui però la funzione ha un'espressione che non è semplicissima da gestire e dobbiamo trovare un'altra strada rispetto ai classici metodi grafici o analitici.

Non c'è problema. La prima alternativa da utilizzare in generale è un teorema relativo al legame tra la monotonia e l'invertibilità di una funzione: una funzione continua su un intervallo è ivi invertibile se e solo se è strettamente monotona.

Dato che l'argomento potrebbe generare alcuni dubbi, ti invito nel caso ad approfondire il discorso leggendo:

- sulla relazione tra monotonia e invertibilità

- funzione monotona ma non invertibile?

- funzione invertibile ma non monotona.

Ora procediamo:



la funzione integrale in questione è definita su ed è facile capirlo. L'integranda è infatti definita e continua su tutto .

Inoltre, la funzione integrale è continua in ogni punto del proprio insieme di definizione perché l'integranda è limitata e integrabile.

Di conseguenza, se riusciamo a dimostrare che la funzione integrale è strettamente monotona, allora dal teorema menzionato in precedenza sapremo automaticamente che essa è invertibile.

Per studiare la monotonia calcoliamo la derivata di



e ci serviamo del teorema fondamentale del calcolo integrale, il quale garantisce la derivabilità della funzione integrale (perché l'integranda è continua) e ci permette di calcolare



Da qui, in accordo con il solito teorema per i massimi e minimi di una funzione, si vede subito che la derivata prima è positiva



infatti abbiamo un rapporto tra un numero positivo e il quadrato di un numero positivo. Ne deduciamo che la funzione integrale è strettamente crescente sul proprio dominio.

In sintesi, è definita su un intervallo, è continua ed è strettamente monotona, dunque è invertibile.


Per la seconda parte del problema dobbiamo ricorrere al teorema per la derivata della funzione inversa, il quale ci permette di calcolare la derivata della funzione inversa in un punto senza conoscere l'espressione della funzione inversa.

A noi interessa .

Il teorema ci dice che



Quali sono i valori Ovviamente , mentre per determinare dobbiamo semplicemente ricavare la preimmagine di mediante



ossia



da cui



Dato che abbiamo a che fare con una funzione integrale invertibile su , ed in particolare iniettiva, ad una immagine può corrispondere un'unica preimmagine. Le proprietà degli integrali non ci lasciano scampo:



A questo punto non ci resta che applicare il teorema per la derivata della funzione inversa



e abbiamo finito.