Equazione integrale con parametro

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Equazione integrale con parametro #87106

avt
samx
Punto
Mi aiutate a risolvere un'equazione integrale con un parametro e una funzione incognita?

Data la relazione

\int_{a}^{2x}f(t)dt= 6x^2+2x-4

trovare f(x),\ a.
 
 

Equazione integrale con parametro #87125

avt
Omega
Amministratore
Ciao Samx,

vogliamo trovare una funzione f ed i valori del parametro reale a\in\mathbb{R} per cui risulti

\int_{a}^{2x}f(t)dt= 6x^2+2x-4

Domandiamoci: dato che l'integrale dipende dalla variabile x, e dato che la primitiva consiste in un polinomio di secondo grado, che forma dovrà avere l'integranda?

Se ci ricordiamo un po' di integrali fondamentali e le principali proprietà degli integrali, si vede subito che l'integranda deve essere un polinomio di grado 1.

Nell'integrazione di una potenza infatti il grado della stessa aumenta di uno.

f(t)=bt+c

Ok, riscriviamo l'integrale

\int_{a}^{2x}(bt+c)dt=

e integriamo

=\left[(b\frac{t^2}{2}+ct)\right]_{a}^{2x}=

Valutiamo la primitiva agli estremi

=2bx^2+2cx-\frac{a^2b}{2}-ac

A questo punto imponiamo l'uguaglianza

2bx^2+2cx-\frac{a^2b}{2}-ac=6x^2+2x-4

e applichiamo il principio di identità dei polinomi: due polinomi coincidono se e solo se coincidono termine a termine.

Ricaviamo così un sistema non lineare di 3 equazioni in 3 incognite

\begin{cases}2b=6\\ 2c=2\\ -\frac{a^2b}{2}-ac=-4\end{cases}

da cui

\begin{cases}b=3\\ c=1\\ -\frac{a^2b}{2}-ac=-4\end{cases}

e, per sostituzione nella terza equazione

\begin{cases}b=3\\ c=1\\ +\frac{3a^2}{2}+a-4=0\end{cases}

Per determinare i valori di a dobbiamo risolvere l'equazione di secondo grado rimanente

a_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{3}=\begin{cases}-2\\ \frac{4}{3}\end{cases}

Abbiamo finito: l'identità proposta dall'esercizio è soddisfatta per f(t)=3t+1,\ a=-2\ \vee\ a=\frac{4}{3}.
Ringraziano: CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os