Integrale con estremo variabile

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Integrale con estremo variabile #86672

ladymagnolia Punto	Ciao, ho un integrale con estremo variabile e non riesco a capire il procedimento pratico e il significato teorico (legato alla variabilità della t) di questo esercizio $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$ dove $f(t)=\begin{cases}(2t)^3-1\ \mbox{ se }\ t\geq 1 \\ (3t)^{2}+1\ \mbox{ se }\ t< 1 \end{cases}$ Grazie!

Integrale con estremo variabile #86675

Omega

Amministratore

Ciao LadyMagnolia,

avevo un piccolo dubbio su cosa potesse servirti in termini di spiegazione. Sono giunto ad una conclusione di cui sono convinto e dunque procedo alla risposta.

L'esercizio ci fornisce una funzione definita mediante un integrale

$F(x)=\int_0^x f(t)dt$

in cui la funzione integranda è data da una funzione definita a tratti

$f(t)=\begin{cases}(2t)^3-1\ \mbox{ se }\ t\geq 1 \\ (3t)^{2}+1\ \mbox{ se }\ t< 1 \end{cases}$

In parole povere ci troviamo di fronte ad una funzione integrale. La variabilità dell'estremo di integrazione superiore, proprio quella che hai menzionato nel titolo del topic, fa sì che il valore dell'integrale dipenda dal valore assunto da tale estremo. O meglio, da tale variabile. In questo senso abbiamo a che fare con quella che a tutti gli effetti è una funzione.

Quale che sia la richiesta dell'esercizio, il nostro scopo prevede di determinare un'espressione esplicita della funzione

. Ti faccio notare sin da subito che non è sempre possibile esprimere una funzione integrale esplicitamente, ma su questo punto avrò modo di tornare al termine della mia risposta(***).

Vediamo di capire come comportarci. Il fatto che l'integranda sia definita a tratti non deve spaventarci, perché sappiamo che vale una bellissima proprietà degli integrali

$\int_{a}^{b}f(t)dt= \int_{a}^{c}f(t)dt+\int_{c}^{b}f(t)dt\mbox{ con }c\in [a, b]$

Consideriamo l'integrale

$F(x)=\int_0^x f(t)dt$

Se $x\in (0,1)$ , non abbiamo problemi:

$F(x)=\int_0^x f(t)dt=\int_0^x (9t^2+1)dt=$

si tratta di un integrale banale in cui possiamo integrare separatamente i singoli addendi (integrale di una potenza)

$=\left[9\frac{t^3}{3}+t\right]_0^x=$

Men che meno dobbiamo farci spaventare dall'estremo in x, perché abbiamo calcolato un integrale definito e dobbiamo effettuare una pura e semplice valutazione letterale

Ok. Se $x\geq 1$ , cosa succede? Usiamo la proprietà espressa precedentemente

$F(x)=\int_0^x f(t)dt=\int_0^1 f(t)dt+\int_1^x f(t)dt=$

In questo modo possiamo specificare i rami che definiscono l'integranda

$\\ =\int_0^1 (9t^2+1)dt+\int_1^x (8t^3-1)dt=\\ \\ \\ \quad =[3t^3+t]_0^1+\left[8\frac{t^4}{4}-t\right]_1^x=\\ \\ \\ =3+1-0-0+2x^4-x-2+1=2x^4-x+3$

Abbiamo finito. La definizione per tratti dell'integranda ci ha dettato la linea da seguire nel calcolo dell'integrale, e questo a sua volta ci ha condotto ad un'espressione della funzione integrale come funzione definita a tratti:

$F(x)=\begin{cases}3x^3+x\ \mbox{ se }\ 0\leq x <1\\ 2x^4-x+3\ \mbox{ se }\ x\geq 1\end{cases}$

Ehi, un momento: noi non abbiamo considerato il caso $x<0\ !$

Qui ci serve un'ulteriore proprietà degli integrali secondo Riemann, quella per cui

$\int_{a}^{b}f(t)dt=-\int_{b}^{a}f(t)dt$

Quindi, consideriamo

$\int_0^x f(t)dt\ \mbox{ con }x<0$

e applichiamo la proprietà in modo da avere gli estremi di integrazione ordinati

$\int_0^x f(t)dt=\ -\int_x^0 f(t)dt=\ \mbox{ con }x<0$

Ora procediamo come in precedenza

$\\ =-\int_x^0 (9t^2+1)dt=\\ \\ =-[3t^3+t]_x^0=-0+3x^3+x$

In definitiva

$F(x)=\begin{cases}3x^3+x\ \mbox{ se }\ x <1\\ 2x^4-x+3\ \mbox{ se }\ x\geq 1\end{cases}$

(***)Come ho anticipato, non tutte le funzioni integrali ammettono un'espressione esplicita in termini di funzioni elementari. Ciò è dovuto al fatto che non tutte le funzioni integrabili ammettono primitive esprimibili in termini di funzioni elementari.

Quello che abbiamo affrontato è chiaramente un esercizio preparatorio; nel prosieguo dei tuoi studi avrai probabilmente modo di affrontare funzioni integrali più avanzate, da studiare senza disporre di una primitiva elementare. A tal proposito se vuoi curiosare un pochetto puoi dare uno sguardo agli esercizi sullo studio di funzioni integrali.

Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby

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