Applicazione composta di Q in Q, iniettività e suriettività

Salve, ho dei problemi con questo esercizio su un'applicazione composta da Q a Q, con particolare riferimento a iniettività e suriettività.

Le mie due applicazioni sono le seguenti:



1) Stabilire se f è iniettiva
2) Stabilire se g è suriettiva
3) Determinare la controimmagine
4) Determinare l'applicazione composta
5)Stabilire se l'applicazione composta è iniettiva o suriettiva.

Ciao luca82.

Abbiamo due funzioni definite da (insieme dei numeri razionali) in di cui dobbiamo studiare iniettività, suriettività, trovare la funzione composta e anche di quest'ultima studiare iniettività e suriettività. Come sempre procediamo con ordine.

1) Stabilire se è iniettiva.



Per stabilire se la funzione è iniettiva procediamo utilizzando la definizione, ossia una funzione è iniettiva se per ogni nel dominio di , la condizione implica .

Il dominio della funzione è:

.

Siano quindi tali che .

Ne segue allora che , da cui, ovviamente, .

Possiamo così concludere che è una funzione iniettiva.


2) Stabilire se è suriettiva.



Per controllare se la funzione è suriettiva, sempre ricorrendo alla definizione, dobbiamo verificare se per ogni q appartenente al codominio di esiste appartenente al dominio di tale che .

Sia quindi . Osserviamo che è ancora un numero razionale, in quanto ottenuto dalla differenza di due numeri razionali. Pertanto, posto



abbiamo che



Ossia, per ogni (generico), avendo un trovato un per cui , possiamo concludere che la funzione è suriettiva.


3) Determinare la controimmagine

Innanzitutto osserviamo che l'insieme dei numeri interi relativi è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri razionali che definisce il codominio della funzione .
Osservato ciò, la controimmagine dell'insieme tramite la funzione è formata dall'insieme degli elementi del dominio di (che coincide con tutto ) la cui immagine appartiene a .

In parole povere, per stabilire gli elementi della controimmagine di tramite la funzione dobbiamo chiederci: quali sono quegli tali che ?

Per rispondere a questa domanda basta vedere che, per com'è definita la funzione



che appartiene a , ossia è un numero intero, se e solo se è un numero razionale avente come denominatore e come numeratore un numero dispari. Ossia



infatti



Ossia la controimmagine




4) Determinare l'applicazione composta

Per definizione di funzione composta abbiamo che



.

Infatti, molto semplicemente:



Ciò è dovuto al fatto che la funzione associa al generico elemento il suo reciproco mentre la funzione aggiunge al suo argomento .


5) Stabilire se l'applicazione composta è iniettiva o suerittiva.

Per comodità poniamo . Allora





Osserviamo che il dominio di tale funzione è . Ora, è, senza ombra di dubbio, iniettiva. Infatti per ogni tali che abbiamo che



La funzione non è, però, suriettiva. Ricordiamo infatti, ancora una volta, che una funzione si dice suriettiva se per ogni appartenente al codominio esiste almeno un punto nel dominio tale che .

Se prendiamo possiamo vedere, a colpo d'occhio, che non esiste alcun tale che

.

Infatti

che è, ovviamente, un'uguaglianza mai verificata.

È tutto!