Applicazione composta di Q in Q, iniettività e suriettività

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Applicazione composta di Q in Q, iniettività e suriettività #86644

avt
luca82
Punto
Salve, ho dei problemi con questo esercizio su un'applicazione composta da Q a Q, con particolare riferimento a iniettività e suriettività.

Le mie due applicazioni sono le seguenti:

 f:n ∈ Q longmapsto (1)/(n) ∈ Q ; g:x ∈ Q longmapsto x+(1)/(2) ∈ Q

1) Stabilire se f è iniettiva
2) Stabilire se g è suriettiva
3) Determinare la controimmagine g^(-1) (Z)
4) Determinare l'applicazione composta g o f
5)Stabilire se l'applicazione composta è iniettiva o suriettiva.
 
 

Applicazione composta di Q in Q, iniettività e suriettività #86669

avt
Galois
Amministratore
Ciao luca82. emt

Abbiamo due funzioni definite da Q (insieme dei numeri razionali) in Q di cui dobbiamo studiare iniettività, suriettività, trovare la funzione composta e anche di quest'ultima studiare iniettività e suriettività. Come sempre procediamo con ordine.

1) Stabilire se f è iniettiva.

f:Q → Q, n ↦ (1)/(n)

Per stabilire se la funzione è iniettiva procediamo utilizzando la definizione, ossia una funzione è iniettiva se per ogni n_1, n_2 nel dominio di f, la condizione f(n_1) = f(n_2) implica n_1 = n_2.

Il dominio della funzione f è:

Dom(f) = Q-0.

Siano quindi n_1, n_2 ∈ Q, n_1,n_2 ≠ 0 tali che f(n_1) = f(n_2).

Ne segue allora che (1)/(n_1) = (1)/(n_2), da cui, ovviamente, n_1 = n_2.

Possiamo così concludere che f è una funzione iniettiva.


2) Stabilire se g è suriettiva.

g:Q → Q, x ↦ x+(1)/(2)

Per controllare se la funzione è suriettiva, sempre ricorrendo alla definizione, dobbiamo verificare se per ogni q appartenente al codominio di g esiste x appartenente al dominio di g tale che y = g(x).

Sia quindi q∈ Q. Osserviamo che q-(1)/(2) è ancora un numero razionale, in quanto ottenuto dalla differenza di due numeri razionali. Pertanto, posto

x: = q-(1)/(2)

abbiamo che

f(x) = f(q-(1)/(2)) = q-(1)/(2)+(1)/(2) = q

Ossia, per ogni q (generico), avendo un trovato un x per cui g(x) = q, possiamo concludere che la funzione g è suriettiva.


3) Determinare la controimmagine g^(-1)(Z)

Innanzitutto osserviamo che l'insieme Z dei numeri interi relativi è un sottoinsieme dell'insieme Q dei numeri razionali che definisce il codominio della funzione g.
Osservato ciò, la controimmagine dell'insieme Z tramite la funzione g è formata dall'insieme degli elementi del dominio di g (che coincide con tutto Q) la cui immagine appartiene a Z.

In parole povere, per stabilire gli elementi della controimmagine di Z tramite la funzione g dobbiamo chiederci: quali sono quegli x ∈ Q = Dom(g) tali che g(x)∈ Z?

Per rispondere a questa domanda basta vedere che, per com'è definita la funzione g

g(x) = x+(1)/(2)

che appartiene a Z, ossia è un numero intero, se e solo se x è un numero razionale avente come denominatore 2 e come numeratore un numero dispari. Ossia

x+(1)/(2) ∈ Z ⇔ x = ±(2k+1)/(2), con k ∈ Z

infatti

(2k+1)/(2)+(1)/(2) = (2k+1+1)/(2) = (2k+2)/(2) = (2(k+1))/(2) = k+1 ∈ Z

Ossia la controimmagine

g^(-1)(Z) = x = (q_1)/(q_2)∈ Q tali che q_1 = 2k+1, k∈ Z e q_2 = 2


4) Determinare l'applicazione composta g circ f

Per definizione di funzione composta abbiamo che

g circ f:Q → Q

x∈ Q ↦ (1)/(x)+(1)/(2).

Infatti, molto semplicemente:

g(f(x)) = g((1)/(x)) = (1)/(x)+(1)/(2)

Ciò è dovuto al fatto che la funzione f associa al generico elemento x ∈ Q il suo reciproco mentre la funzione g aggiunge al suo argomento (1)/(2).


5) Stabilire se l'applicazione composta è iniettiva o suerittiva.

Per comodità poniamo g circ f : = h. Allora

h:Q → Q

x∈ Q ↦ (1)/(x)+(1)/(2)

Osserviamo che il dominio di tale funzione è Q-0. Ora, h è, senza ombra di dubbio, iniettiva. Infatti per ogni x_1, x_2 ∈ Q-0 tali che h(x_1) = h(x_2) abbiamo che

(1)/(x_1)+(1)/(2) = (1)/(x_2)+(1)/(2) ⇔ (1)/(x_1) = (1)/(x_2) ⇔ x_1 = x_2

La funzione h non è, però, suriettiva. Ricordiamo infatti, ancora una volta, che una funzione si dice suriettiva se per ogni y appartenente al codominio esiste almeno un punto x nel dominio tale che h(x) = y.

Se prendiamo y = (1)/(2) possiamo vedere, a colpo d'occhio, che non esiste alcun x∈ Q-0 = Dom(h) tale che

h(x) = y = (1)/(2).

Infatti h(x) = (1)/(2) ⇔ (1)/(x)+(1)/(2) = (1)/(2) ⇔ (1)/(x) = 0

che è, ovviamente, un'uguaglianza mai verificata.

È tutto! emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, luca82
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Os