Integrale doppio tra ellisse circonferenza e retta

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Integrale doppio tra ellisse circonferenza e retta #86515

avt
cyp
Cerchio
Ciao! Ho questo integrale doppio da calcolare tra un'ellisse, una circonferenza e una retta, nel primo quadrante

\iint_{D}(x-2y)dxdy

dove D è il dominio contenuto nel primo quadrante delimitato dall'ellisse \frac{x^2}{16} +\frac{y^2}{9}=1, dalla circonferenza x^2+y^2=4 e dalla retta x=2.

Ricavo le equazioni delle curve, imposto il grafico, quindi la x come variabile indipendente, e la y dipendente. Poi mi perdo fra i calcoli e ciò mi porta a credere di commettere qualche errore.

Devo forse effettuare un cambio di variabili? E se si come devo procedere? Come faccio a capirlo?

Grazie sempre in anticipo
 
 

Integrale doppio tra ellisse circonferenza e retta #86516

avt
Omega
Amministratore
Ciao Cyp,

direi che dopo aver impostato l'integrale doppio, l'integrazione è abbastanza agevole al netto di eventuali errori di calcolo. Non sono infatti richieste particolari strategie. emt

Come hai correttamente osservato conviene riscrivere il dominio di integrazione in forma normale rispetto all'asse x. Abbiamo:

- un'ellisse \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 con centro nell'origine degli assi;

- una circonferenza x^2+y^2=4 con centro nell'origine e raggio 2;

- una retta verticale x=2;

insieme di integrazione doppio ellisse circonferenza

Il tutto va limitato nel primo quadrante: x>0,\ y>0. A questo punto ci servono le espressioni esplicite che descrivono i due rami di circonferenza ed ellisse, e ricavarlo esplicitiamo y=y(x) dalle equazioni scegliendo il segno +

\\ y=+\sqrt{4-x^2}\\ \\ y=+\sqrt{9-\frac{9}{16}x^2}

e da qui possiamo scrivere agevolmente il dominio di integrazione in forma normale rispetto ad x:

0\leq x\leq 2,\ \ +\sqrt{4-x^2}\leq y\leq +\sqrt{9-\frac{9}{16}x^2}

per cui l'integrale doppio con estremi in forma esplicita è dato da

\int_0^2\int_{+\sqrt{4-x^2}}^{+\sqrt{9-\frac{9}{16}x^2}}(x-2y)dydx=

L'integrazione rispetto a y è semplicissima, basta ricordare la formula per l'integrale di una potenza

=\int_0^2[xy-y^2]_{\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{9-\frac{9}{16}x^2}}dx=

Passiamo alle valutazioni agli estremi

=\int_0^2\left[x\sqrt{9-\frac{9}{16}x^2}-\left(9-\frac{9}{16}x^2\right)-x\sqrt{4-x^2}+(4-x^2)\right]dx=

Facciamo un paio di calcoli

=\int_0^2\left[-\frac{7}{16}x^2+x\sqrt{9-\frac{9}{16}x^2}-x\sqrt{4-x^2}-5\right]dx=

Ora integriamo rispetto a x, ma prima prepariamo la strada scrivendo le radici tramite la definizione di radicale

=\int_0^2\left[-\frac{7}{16}x^2+\left(9-\frac{9}{16}x^2\right)^{\frac{1}{2}}x-(4-x^2)^{\frac{1}{2}}x-5\right]dx=

Gli integrali delle radici sono semplici, a patto di sistemare i coefficienti in modo da scrivere la derivata dell'argomento della radice in accordo con il teorema di derivazione della funzione composta

=\int_0^2\left[-\frac{7}{16}x^2+\left(9-\frac{9}{16}x^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(-\frac{9}{16}\cdot 2x\right)\left(-\frac{16}{9\cdot 2}\right)-(4-x^2)^{\frac{1}{2}}(-2x)\left(-\frac{1}{2}\right)-5\right]dx=

Procediamo

=\left[-\frac{7}{48}x^3+\frac{\left(9-\frac{9}{16}x^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\left(-\frac{16}{9\cdot 2}\right)-\frac{(4-x^2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right)-5x\right]_0^2=

Mancano solo le valutazioni agli estremi

=\overbrace{\left(-\frac{67}{6}-6\sqrt{3}\right)}^{\mbox{in }x=2}-\overbrace{\left(-\frac{40}{3}\right)}^{\mbox{in }x=0}=\frac{13}{6}-6\sqrt{3}
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby, cyp

Re: Integrale doppio tra ellisse circonferenza e retta #86517

avt
cyp
Cerchio
Grazie Omega...e anche per la disponibilità in questo orario non proprio "normale"! Comunque avevo impostato tutto correttamente e questa era la cosa che più mi preoccupava! Per il resto devo solo fare più pratica con i calcoli che troppo spesso mi confondono le idee! Grazie mille sempre
Ringraziano: Omega

Re: Integrale doppio tra ellisse circonferenza e retta #86518

avt
Omega
Amministratore
Prego! emt

Se per un motivo o per l'altro ci troviamo a poter rispondere in un fuori orario "bizzarro", lo facciamo ben volentieri. emt
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Os