Integrale doppio tra circonferenza parabola e rette

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Integrale doppio tra circonferenza parabola e rette #86224

avt
cyp
Cerchio
Ciao, devo risolvere il seguente integrale doppio con dominio compreso tra circonferenza, parabola e due rette. Chiedo il vostro aiuto per capire se imposto correttamente gli estremi di integrazione e quindi lo svolgimento.

\iint_{D}^{ } x^3y^5dxdy

dove D è il dominio il cui bordo è formato da due segmenti appartenenti rispettivamente alle rette x=-1,\ y=-1, dalla semicirconferenza di equazione x^2+y^2-2x=0,\ x\geq 1 e da un arco di parabola y=x^2.

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Integrale doppio tra circonferenza parabola e rette #86248

avt
Omega
Amministratore
Eccomi. emt

Come al solito, prima di fare qualsiasi considerazione relativa al calcolo dell'integrale doppio dobbiamo analizzare l'insieme di integrazione.

In questo caso abbiamo:

- una parabola con vertice nell'origine e rivolta verso l'alto

y=x^2

- una circonferenza

x^2+y^2-2x=0

di centro (1,0) e raggio 1. Per capirlo basta completare i quadrati e scriverla nella forma

(x-1)^2+y^2=1

- due rette, di cui rispettivamente una verticale ed una orizzontale

x=-1,\ \ \ y=-1

integrale doppio con parabola e circonferenza

Ora dobbiamo decidere se scrivere l'insieme in forma normale rispetto all'asse x o rispetto all'asse y.

Quale che sia la nostra scelta, la circonferenza darà luogo ad un contributo sotto radice; poiché entrambi i fattori integrandi hanno una potenza dispari, a seguito dell'integrazione presenteranno una potenza pari.

Non ci sono quindi particolari motivi per prediligere una scelta o l'altra. Procedo con la forma normale rispetto all'asse x in modo da poter rappresentare l'arco di parabola nella forma y=x^2.

Prima di tutto calcoliamo le coordinate del punto di intersezione tra parabola e circonferenza

\begin{cases}y=x^2\\ x^2+y^2-2x=0\end{cases}\ \to\ (0,0),\ (1,1)

cosicché otteniamo la rappresentazione (x_{int}=0)

\\ -1\leq x\leq 1\ \wedge\ -1\leq y\leq x^2\\ \\ 1\leq x\leq 2\ \wedge\ -\sqrt{2x-x^2}\leq y\leq +\sqrt{2x-x^2}

dove ho espresso la semicirconferenza ad ordinate negative estraendo la radice da

y=\pm\sqrt{2x-x^2}

e scegliendo la soluzione con segno negativo, mentre per quella ad ordinate positive ho scelto il segno più.

A questo punto possiamo riscrivere l'integrale doppio come somma di due integrali

\int_{-1}^1\int_{-1}^{x^2}x^3y^5dydx+\int_{1}^2\int_{-\sqrt{2x-x^2}}^{+\sqrt{2x-x^2}}x^3y^5dydx

Dato che gli integrali coinvolti non sono complicati, procedo con il calcolo congiunto. Se preferisci puoi calcolarli separatamente.

\int_{-1}^1x^3\int_{-1}^{x^2}y^5dydx+\int_{0}^1x^3\int_{-\sqrt{2x-x^2}}^{+\sqrt{2x-x^2}}y^5dydx

Integrale di una potenza

\int_{-1}^1x^3\left[\frac{y^6}{6}\right]_{-1}^{x^2}dx+\int_{0}^1x^3\left[\frac{y^6}{6}\right]_{-\sqrt{2x-x^2}}^{+\sqrt{2x-x^2}}dx

Ora un po' di semplici calcoli

\int_{-1}^1x^3\left[\frac{x^{12}}{6}-\frac{1}{6}\right]dx+\int_{0}^1x^3\left[\frac{(2x-x^2)^3}{6}-\frac{(2x-x^2)^3}{6}\right]dx

Il secondo contributo è nullo. Integriamo termine a termine il primo

\left[\frac{x^{16}}{96}-\frac{x^4}{24}\right]_{-1}^1

e, con ulteriori semplici calcoli

\left[\frac{1}{96}-\frac{1}{24}-\frac{1}{96}+\frac{1}{24}\right]=0

Abbiamo concluso, ma ora arriva la parte più importante dell'esercizio...

Volendo avremmo potuto evitare qualsiasi calcolo dopo aver rappresentato il dominio di integrazione. La funzione integranda

f(x,y)=x^3y^5

è infatti dispari rispetto all'asse x e rispetto all'asse y:

\\ f(-x,y)=-f(x,y)\\ \\ f(x,-y)=-f(x,y)

Con questa osservazione, basta ragionare sulle componenti normali dell'insieme di integrazione e notare che:

- il primo contributo va calcolato su

-1\leq x\leq 1\ \wedge\ -1\leq y\leq x^2

che è simmetrico rispetto all'asse delle y;

- il secondo contributo va calcolato su

1\leq x\leq 2\ \wedge\ -\sqrt{2x-x^2}\leq y\leq +\sqrt{2x-x^2}

che è simmetrico rispetto all'asse delle x.

Dal canto mio, ho preferito espandere comunque il calcolo perché ritengo che potesse essere utile per te vedere un ulteriore esempio di riscrittura del dominio in forma normale. emt

Ti lascio a una lettura che potrebbe interessarti parecchio: simmetrie negli integrali doppi e tripli.
Ringraziano: Galois, CarFaby, cyp

Re: Integrale doppio tra circonferenza parabola e rette #86317

avt
cyp
Cerchio
Ciao Omega, ti ringrazio e ti espongo i miei dubbi:

ll testo dell'esercizio dice:

dove D è il dominio il cui bordo è formato da due segmenti appartenenti rispettivamente alle rette x=-1,\ y=-1, dalla semicirconferenza di equazione x^2+y^2-2x=0,\ x\geq 1 e da un arco di parabola y=x^2.

ciò che io deduco è che D è l'area chiusa compresa fra le rette, la circonferenza e la parabola di equazioni suddette (per intenderci la parte in basso a sinistra). Non mi spiego dunque la condizione x\geq 1 e di conseguenza gli estremi di integrazione da te impostati, in particolare:

cosicché otteniamo la rappresentazione (x_{int}=0)

1\leq x\leq 2\ \wedge\ -\sqrt{2x-x^2}\leq y\leq +\sqrt{2x-x^2}

Vorrei capire dove sbaglio o più che altro cosa mi sfugge, forse non riesco ad interpretare in maniera corretta il testo o la rappresentazione grafica.

Sono molto confusa e scoraggiata...

Re: Integrale doppio tra circonferenza parabola e rette #86321

avt
Galois
Amministratore
Ciao cyp,

intervengo io perché Omega è momentaneamente occupato. emt

Veniamo al tuo dubbio. Il testo dell'esercizio dice che il dominio di integrazione è la parte di piano delimitata da:

- due segmenti appartenenti alle rette x=-1 \mbox{ e } y=-1;

- arco di parabola y=x^2

- semicirconferenza di equazione x^2+y^2-2x=0 \mbox{ e } x\ge 1

Quello che ti consiglio di fare è di rappresentare, inizialmente, le due rette, la parabola e la circonferenza, proprio come ha fatto Omega e come ho fatto io nella seguente immagine di sinistra:

integrale doppio con semicirconferenza.parabola e segmenti

A questo punto imponiamo le restrizioni e, in particolare, consideriamo solo la parte di circonferenza indicata dal testo, ossia la semicirconferenza individuata dalla condizione x \ge 1, che ho disegnato nell'immagine di destra. infatti la circonferenza ha centro nel punto (1,0).

A questo punto, seguendo la rappresentazione grafica del dominio, dovrebbe essere semplice capire la suddivisione fatta da Omega.
Ringraziano: CarFaby, cyp

Re: Integrale doppio tra circonferenza parabola e rette #86324

avt
cyp
Cerchio
Perfetto, ora è tutto chiaro!

Non riuscivo ad interpretare il grafico in maniera corretta! E in ogni caso non sapevo come comportarmi in casi del genere... In pratica si spezza il dominio ottenendo la somma di due integrali...

Grazie ragazzi siete sempre di aiuto!
Ringraziano: Galois

Re: Integrale doppio tra circonferenza parabola e rette #86325

avt
Galois
Amministratore
Perfetto! E grazie a te per le parole di apprezzamento. emt
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Os