Applicazione composta da Z a Z

Salve, avrei bisogno d'aiuto per un esercizio su un'applicazione composta da Z a Z:



Le richieste sono le seguenti:

- Stabilire se è iniettiva e suriettiva.

- Determinare la composta

- Determinare se è iniettiva o meno.

Ho particolare difficoltà con l'applicazione composta.
Grazie anticipatamente!

Eccoci qua.

Abbiamo la funzione definita a tratti



Procediamo con ordine.

1) Stabilire se è iniettiva e suriettiva.

Sebbene nei libri di testo la definizione di funzione iniettiva è data per funzioni reali di variabile reale, la possiamo adattare al nostro caso, ossia per una funzione definita nell'insieme dei numeri interi relativi.

Per stabilire se una funzione è iniettiva usiamo la definizione, ossia una funzione è iniettiva se e solo se per ogni



Siano quindi .

Dal momento che la funzione data è definita a tratti dobbiamo distinguere 3 casi:

1)

Per com'è definita :



e, poiché sarà, necessariamente,

3)

Per com'è definita :



e, anche in questo casp, poiché sarà, necessariamente,

3)

Sempre per com'è definita :



Ora,



Ad esempio, se prendiamo allora, per



Sebbene si ha che



Possiamo così concludere che non è iniettiva.

Studiamo ora la suriettività. Per stabilire se una funzione è suriettiva dobbiamo verificare se per ogni esiste tale che .

Sia quindi generico e chiediamoci: siamo sicuri dell'esistenza di un tale che ?

La risposta è affermativa, e quindi la funzione è suriettiva. Infatti, preso un qualsiasi basta considerare il triplo del numero, ossia basta prendere x=3y. Tale numero, per come costruito, apparterrà a e, per com'è definita :



L'unico numero che fa eccezione è , il cui triplo continua ad essere . Qui però entra in gioco il secondo ramo della funzione f. Infatti è quel numero tale che . Infatti, poiché , si ha



-----------

2) Determinare la composta

Non facciamoci spaventare dal fatto che la funzione data è definita a tratti. Dobbiamo solo prestare attenzione e distinguere vari casi.

Innanzitutto, la funzione composta



Per non lasciare nulla al caso procediamo con ordine.

1) Se allora



e qui dobbiamo prestare attenzione. Infatti se

1a) allora



1b) allora



Chiediamoci: sapendo che , quando ?

Poiché è un multiplo di , continuerà ad essere un multiplo di solo se è un multiplo di 9, ossia solo se .

Alla luce di ciò possiamo quindi dire che se allora



Ragioniamo allo stesso modo nell'altro caso, ossia supponiamo che

2)



Ora, se

2a) allora



2b) allora



Pertanto chiediamoci: sapendo che , quando ?

La risposta è semplice. Infatti

Pertanto se allora



Scrivendo il tutto per benino abbiamo che la funzione composta è data da:




3) Determinare se è iniettiva o meno.

Il caso 1) dovrebbe esserci d'aiuto. Inutile infatti star qui a ripetere lo stesso discorso fatto prima. Se riusciamo a trovare due interi per cui possiamo concludere che non è iniettiva.

Prendendo, ad esempio, abbiamo che



in quanto

E, allo stesso modo



in quanto

Possiamo così concludere che non è iniettiva. È tutto