Integrale doppio tra parabola e retta con logaritmo e valore assoluto

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Integrale doppio tra parabola e retta con logaritmo e valore assoluto #86038

avt
cyp
Cerchio
Ciao! In questo topic vi chiedo aiuto per un integrale doppio con logaritmo e valore assoluto, e insieme definito da una parabola e da due rette.

Continuo ad avere dubbi circa la risoluzione degli integrali doppi non riesco a capire se imposto in maniera corretta gli estremi di integrazione e mi ritrovo con dei dubbi durante lo svolgimento.

\\ \\ \int\int_D|\ln(xy)|dydx\\ \\ \\ D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\  x^2\leq y\leq 2\ ;\ x\geq \frac{1}{2}\}
 
 

Re: Integrale doppio tra parabola e retta con logaritmo e valore assoluto #86047

avt
Omega
Amministratore
Per calcolare l'integrale doppio ci serve innanzitutto una rappresentazione analitica idonea per la riscrittura dell'integrale.

\\ \int\int_D|\ln(xy)|dydx\\ \\ \\ D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\  x^2\leq y\leq 2\ ;\ x\geq \frac{1}{2}\}

Consideriamo gli elementi coinvolti nella definizione dell'insieme. Abbiamo due rette e una parabola:

- la retta verticale x=\frac{1}{2};

- la retta orizzontale y=2;

- la parabola y=x^2

In accordo con il metodo per rappresentare le soluzioni di una disequazione nel piano, dobbiamo considerare:

y\geq x^2\ \to\mbox{ } la regione interna alla parabola;

y\leq 2\ \to\mbox{ } il semipiano al di sotto della retta orizzontale;

x\geq \frac{1}{2}\ \to\mbox{ } il semipiano a destra della retta verticale.

L'intersezione delle regioni coinvolte equivale al triangolo mistilineo rappresentato in figura

integrale doppio parabola retta

Ora dobbiamo trovarne una comoda scrittura in forma normale rispetto a un asse in modo da agevolare il calcolo. Nel nostro caso l'integrale doppio presenta un'integranda che non pone alcuna differenza tra x e y, quindi sceglieremo nel modo più ovvio

\frac{1}{2}\leq x\leq \sqrt{2}

come variabile indipendente, in riferimento al lato superiore, e

x^2\leq y\leq 2

in riferimento al possibile intervallo di variabilità lungo i fili verticali.

Abbiamo così

\\ D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\  x^2\leq y\leq 2\ ;\ \frac{1}{2}\leq x\leq \sqrt{2}\right\}\\ \\ \\ \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}\int_{x^2}^{2}|\ln(xy)|dydx

Un'altra importante osservazione che ci risparmierà una valanga di calcoli. La funzione logaritmica w=\log(z) assume valori non negativi per z\geq 1, ed è facile vedere che nell'insieme di integrazione il prodotto xy non è mai minore di 1.

Di conseguenza il valore assoluto è del tutto superfluo e possiamo equivalentemente calcolare

\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}\int_{x^2}^{2}\ln(xy)dydx

Ora possiamo cominciare! emt

Il primo passo prevede di ricorrere all'integrazione per parti rispetto a y. Occhio perché x è da considerarsi come una costante

\\ \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}\int_{x^2}^{2}\frac{1}{x}\cdot x\cdot \ln(xy)dydx\\ \\ \\ \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}\frac{1}{x}\int_{x^2}^{2}x\cdot \ln(xy)dydx

per cui la derivata da considerare è x e la primitiva \ln(xy)

\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}\frac{1}{x}\left[\left[xy\ln(xy)\right]_{x^2}^{2}-\int_{x^2}^{2}xy\cdot \frac{1}{xy}\cdot x\ dy\right]dx

Una piccola semplificazione dopodiché possiamo procedere con le valutazioni agli estremi e con il calcolo

\\ \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}\frac{1}{x}\left[\left[xy\ln(xy)\right]_{x^2}^{2}-\int_{x^2}^{2}xdy\right]dx\\ \\ \\ \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}\frac{1}{x}\left[\left[xy\ln(xy)\right]_{x^2}^{2}-\left[xy\right]_{x^2}^{2}\right]dx=\\ \\ \\ \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}\frac{1}{x}\left[\left[2x\ln(2x)-x^3\ln(x^3)\right]-\left[2x-x^3\right]\right]dx

Eliminiamo le parentesi e moltiplichiamo il tutto per 1/x

\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}\left[2\ln(2x)-x^2\ln(x^3)-2+x^2\right]dx

Ora il calcolo è semplice: sfruttiamo le proprietà degli integrali e riscriviamo il tutto come una somma di integrali

2\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}\ln(2x)dx-\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}} x^2\ln(x^3)dx-\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}} 2dx+\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}} x^2dx=(\bullet)

A questo punto conviene calcolare i vari contributi separatamente.

Per il primo termine basta ricordare come si calcola l'integrale del logaritmo. Eventualmente, se il fattore 2 dovesse darci noia, nulla ci vieterebbe di ricorrere alle proprietà dei logaritmi

\\ 2\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}\ln(2x)dx=\\ \\ \\ 2\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}[\ln(2)+\log(x)]dx=2[x\log(2)+x\log(x)-x]_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}=\\ \\ \\ = 1-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}\log(2)

Per il secondo integrale si procede ancora una volta per parti. La logica del calcolo è del tutto analoga rispetto all'integrale del logaritmo

\\ \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}} x^2\ln(x^3)dx=\left[\frac{x^3}{3}\log(x^3)-\frac{x^3}{3}\right]_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}=\\ \\ \\ =\frac{1}{24}+\sqrt{2}\log(2)-\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{8}\log(2)

Per il terzo contributo non ci sono problemi (integrali fondamentali)

\\ \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}} 2 dx=[2x]_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}=\\ \\ \\ =2\sqrt{2}-1

come pure per il quarto

\\ \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}} x^2 dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}=\\ \\ \\ =\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{24}

Ora torniamo a (\bullet) e rimettiamo tutto insieme facendo attenzione ai segni e con qualche semplice calcolo otteniamo

\\ (\bullet)=[1-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}\log(2)]-\left[\frac{1}{24}+\sqrt{2}\log(2)-\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{8}\log(2)\right]-[2\sqrt{2}-1]+\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{24}=\\ \\ \\ =\frac{23}{12}-\frac{8\sqrt{2}}{3}-\frac{\log(2)}{8}+2\sqrt{2}\log(2)
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby, cyp
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Os