Integrale doppio con circonferenza e valore assoluto

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Integrale doppio con circonferenza e valore assoluto #85996

avt
Toctoc
Punto
Ciao! Sono parecchio in difficoltà con un integrale doppio con dominio definito da una circonferenza e un valore assoluto:

\\ \int\int_D(x^2+2y)dxdy\\ \\ \\ D=\{(x,y\in\mathbb{R}^2\ :\ x^2+y^2\leq 16,\ y\leq 2|x|\}

Mi potete spiegare come calcolarlo?
 
 

Integrale doppio con circonferenza e valore assoluto #86016

avt
Omega
Amministratore
Ci sono diversi modi per risolvere l'integrale doppio.

Si può certamente procedere direttamente in coordinate cartesiane e riscrivere il dominio in forma normale rispetto ad uno dei due assi, ma è una gran rottura a mio parere.

Un modo molto più furbo consiste nel passare in coordinate polari.

Consideriamo l'integrale doppio e l'insieme di integrazione

\\ \int\int_D(x^2+2y)dxdy\\ \\ \\ D=\{(x,y\in\mathbb{R}^2\ :\ x^2+y^2\leq 16,\ y\leq 2|x|\}

e vediamo di riscrivere il dominio in un riferimento polare. La prima disequazione individua la regione interna alla circonferenza di centro l'origine e raggio 4, mentre la seconda condizione individua la regione piana sottostante al grafico di y=2|x|. Per disegnarlo puoi aiutarti tenendo presente il grafico del valore assoluto.

Ecco cosa risulta dall'intersezione delle due regioni

insieme di integrazione circonferenza e rette

In particolare, se hai difficoltà con la rappresentazione delle soluzioni di una disequazioni a due incognite, ti rimando alla lettura della lezione del link.

La riscrittura di tale insieme in coordinate polari è semplice. La condizione sul raggio è ovvia, mentre per ricavare gli angoli dobbiamo fare riferimento ad una nota formula delle rette:

- la retta y=x forma con l'asse delle ascisse un angolo \theta=\arctan(2) (angolo acuto);

- per la retta y=x la formula ci restituirebbe il valore \theta=-\arctan(2), che però si riferisce all'angolo acuto. Per l'angolo ottuso (quello che interessa a noi) dobbiamo considerare il complementare orientato positivamente, cioè \pi-\arctan(2)

Ora possiamo impostare l'integrale tenendo a mente che lo Jacobiano del cambiamento di coordinate è

dxdy\ \to\ \rho d\rho d\theta

e che l'intervallo di variabilità di \rho in coordinate polari è 0\leq \rho<2\pi (occhio all'ordinamento!).

\\ \int\int_D(\rho^2\cos^2(\theta)+2\rho\sin(\theta))\rho d\theta d\rho\\ \\ \\ D=\{(\rho,\theta\in\mathbb{R}^+\times [0,2\pi)\ :\ \\ \\ 0\leq\rho\leq 4,\ 0\leq \theta\leq\arctan(2)\ \vee\ \pi-\arctan(2)\leq \theta< 2\pi\}

Alla luce della condizione sull'angolo scriveremo l'integrale doppio sfruttando una delle sue proprietà

\int_0^4\int_0^{\arctan(2)}(\rho^3\cos^2(\theta)+2\rho^2\sin(\theta))d\theta d\rho+\int_0^4\int_{\pi-\arctan(2)}^{2\pi}(\rho^3\cos^2(\theta)+2\rho^2\sin(\theta))d\theta d\rho

Qui conviene calcolare gli integrali separatamente.


] Primo integrale

\int_0^4\int_0^{\arctan(2)}(\rho^3\cos^2(\theta)+2\rho^2\sin(\theta))d\theta d\rho

Sfruttiamo una nota proprietà degli integrali per scrivere l'integrale interno come somma

\int_0^4\left[\int_0^{\arctan(2)}\rho^3\cos^2(\theta)d\theta+\int_0^{\arctan(2)}2\rho^2\sin(\theta)d\theta \right]d\rho

e quindi come

\int_0^4\left[\rho^3\int_0^{\arctan(2)}\cos^2(\theta)d\theta+2\rho^2\int_0^{\arctan(2)}\sin(\theta)d\theta \right]d\rho

Il primo addendo prevede di calcolare l'integrale del coseno al quadrato, il secondo è immediato (tabella degli integrali fondamentali)

\int_0^4\left[\rho^3\left[\frac{1}{2}\sin(x)\cos(x)+\frac{x}{2}\right]_0^{\arctan(2)}+2\rho^2\left[-\cos(\theta)\right]_0^{\arctan(2)} \right]d\rho

Effettuiamo le valutazioni agli estremi

\int_0^4\left[\frac{\rho^3}{2}\sin(\arctan(2))\cos(\arctan(2))+\frac{\rho^3\arctan(2)}{2}-2\rho^2\cos(\arctan(2))+2\rho^2\right]d\rho

Ora non facciamoci spaventare dai termini trigonometrici: sono costanti! Non ci resta che chiudere l'integrazione con

\left[\frac{\rho^4}{8}\sin(\arctan(2))\cos(\arctan(2))+\frac{\rho^4\arctan(2)}{8}-\frac{2\rho^3\cos(\arctan(2))}{3}+\frac{2\rho^3}{3}\right]_0^4

da cui

\frac{256}{8}\sin(\arctan(2))\cos(\arctan(2))+\frac{256\arctan(2)}{8}-\frac{128\cos(\arctan(2))}{3}+\frac{128}{3}


Secondo integrale

Ci si comporta in maniera del tutto analoga, e lascio a te l'onere dei calcoli... emt


... Anche perché non vorrei sottrarre tempo e spazio ad altre due importanti osservazioni:

1) se le costanti \sin(\arctan(2)),\ \cos(\arctan(2)) ti disturbano, puoi ricordare facoltativamente le formule per il seno dell'arcotangente e per il coseno dell'arcotangente

\\ \cos(\arctan(x))= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\quad\forall x\in \mathbb{R}\\ \\ \\ \sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\quad\forall x\in \mathbb{R}


2) Un altro modo di risolvere l'integrale, sia che tu decida di procedere in un sistema cartesiano o sia esso polare, consiste nell'osservare che la funzione integranda

f(x,y)=x^2+2y

ha grafico simmetrico rispetto al piano Oyz, il che permette di sfruttare anche la simmetria del dominio rispetto all'asse y. Infatti

f(-x,y)=(-x)^2+y=x^2+y=f(x,y)


Come puoi vedere hai molte possibilità a tua disposizione. emt
Ringraziano: CarFaby, Toctoc

Re: Integrale doppio con circonferenza e valore assoluto #86091

avt
Toctoc
Punto
Grazie, ora tutto inizia ad essere più chiaro.

Volevo chiederti se così scritto l'integrale poteva essere corretto, dove ho considerato due volte la sezione della circonferenza nel primo quadrante, essendo simmetrico rispetto all'asse y, sommato poi al semicerchio del terzo e quarto quadrante.

2\left[\int_{0}^{4}\int_{0}^{arctan2}\left ( \rho ^{3}cos^{2}\left ( \theta   \right )+2\rho ^{2}sin\left ( \theta   \right )\right )d\theta d\rho +\int_{0}^{4}\int_{\pi }^{2\pi}\left ( \rho ^{3}cos^{2}\left ( \theta  \right )+2\rho ^{2} sin\left ( \theta  \right )\right )d\theta d\rho\right]

Grazie ancora.
Ringraziano: CarFaby

Re: Integrale doppio con circonferenza e valore assoluto #86116

avt
Omega
Amministratore
Molto bene! emt
Ringraziano: Toctoc
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Os