Disequazioni goniometriche - problema di metodo

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Disequazioni goniometriche - problema di metodo #85883

avt
alexmarino1991
Punto
Buongiorno, ho un dubbio che mi assale spesso quando risolvo disequazioni trigonometriche scomponibili. Mi spiego postando un esempio.

(2\sin^2(x)+\sin(x)\right)(\tan^2(x)-1)\leq 0

Risolvo separatamente le due parentesi ponendole \geqslant 0 .

Per la prima ottengo

0\leq x< \pi\mbox{ e }\frac{7}{6}\pi<x<\frac{11}{6}\pi

I problemi arrivano con la seconda parentesi che, a me, risulta essere scomponibile in

\tan(x)\leq -1\mbox{ e }\tan(x)\geq 1

Così ottengo:

\frac{1}{2}\pi<x\leq  \frac{3}{4}\pi\mbox{ e }\frac{3}{2}\pi<x\leq  \frac{7}{4}\pi per la prima

 \frac{1}{4}\pi\leq x< \frac{1}{2}\pi\mbox{ e }\frac{5}{4}\pi\leq x< \frac{3}{2}\pi per la seconda.

Domanda: io prendo questi due risultati della seconda parentesi e studio i segni negli intervalli, prendendo come validi i "+". Giusto? Così facendo otterrei gli intervalli soluzione

0<  x< \frac{1}{4}\pi\ ;\ \frac{3}{4}\pi<  x< \frac{5}{4}\pi \mbox{ e }\frac{7}{4}\pi<  x< 2\pi

Arrivato a questo punto unisco i risultati delle due parentesi e prendo gli intervalli in cui ottengo il segno "+", il problema è che il risultato del libro è opposto al mio. In pratica vi sono gli intervalli in cui io ottengo proprio un segno "-".

Sono davvero confuso.
Grazie anticipatamente
 
 

Re: Disequazioni goniometriche - problema di metodo #85889

avt
Omega
Amministratore
Vediamo di risolvere tutti i tuoi dubbi. emt

Prima di procedere nella risoluzione della disequazione goniometrica ci tengo a fare una premessa molto importante.

Al di là della presenza delle funzioni goniometriche, la disequazione si presenta nella forma

A(x)B(x)\leq 0\ \ \ (\bullet)

Questa è una cosiddetta disequazione scomponibile, nel senso che il primo membro è scritto come prodotto di due termini.

Per risolverla dobbiamo studiare separatamente il segno dei due termini ponendoli singolarmente \geq 0 a prescindere dal simbolo di disequazione presente in (\bullet).

Poi, alla fine, si confrontano i segni in un apposito grafico cercando le soluzioni in accordo con la richiesta di (\bullet). Nel nostro caso le soluzioni che rendono il prodotto A(x)B(x) negativo o nullo.

In effetti si tratta di un aspetto della risoluzione delle disequazioni scomponibili che trae in inganno a tutti i livelli...

Ad esempio, se volessimo risolvere

(x+1)(x-2)\leq 0

dovremmo studiare i segni dei due fattori separatamente, ponendoli maggiori o uguale a zero

\\ x+1\geq 0\ \to\ x\geq -1\\ x-2\geq 0\ \to\ x\geq 2

e poi nel confronto tra i segni dei due fattori dovremmo considerare le soluzioni che rendono il prodotto negativo o nullo (ossia non positivo), ottenendo

-1\leq x\leq 2


Veniamo alla disequazione che hai proposto.

(2\sin^2(x)+\sin(x)\right)(\tan^2(x)-1)\leq 0

Da ciò che hai scritto mi pare di capire che ti interessino le soluzioni nell'intervallo 0\leq x\leq 2\pi.

La risoluzione ideale in questo caso non prevede di studiare direttamente il segno dei due fattori; osservando che essi sono ulteriormente scomponibili, converrebbe piuttosto scomporli applicando rispettivamente un raccoglimento totale e la regola per la differenza di quadrati

\sin(x)[2\sin(x)+1][\tan(x)-1][\tan(x)+1]\leq 0

In questo modo infatti ci risparmieremmo ben due confronti e potremmo ricavare le soluzioni con un confronto unico.

Tu però hai scelto di studiare il segno dei due fattori componendoli separatamente ed io farò lo stesso per permetterti di confrontare i tuoi calcoli con i miei. emt


Segno del primo fattore

2\sin^2(x)+\sin(x)\geq 0

Riscriviamolo nella forma

\sin(x)[2\sin(x)+1]\geq 0\ \ \ (\bullet\bullet)

e, di nuovo, studiamo il segno dei due fattori coinvolti separatamente

\sin(x)\geq 0

è una banale disequazione che ammette come soluzioni

0\leq x\leq \pi

Poi abbiamo

2\sin(x)+1\geq 0\ \to\ \sin(x)\geq -\frac{1}{2}

e qui dobbiamo tenere a mente il comportamento del seno con riferimento alla circonferenza goniometrica

0\leq x\leq \frac{7\pi}{6}\ \vee\ \frac{11}{6}\pi\leq x\leq 2\pi

in questo frangente può essere utile aiutarsi con la tabella dei valori delle funzioni trigonometriche.

Ora confrontiamo i segni dei singoli fattori e, in accordo con (\bullet\bullet), prendiamo le soluzioni che rendono il prodotto non negativo. Otteniamo

Primo fattore non negativo per

0\leq x\leq \pi\ \vee\ \frac{7\pi}{6}\leq x\leq \frac{11\pi}{6}


Segno del secondo fattore

\tan^2(x)-1\geq 0

L'antifona è sempre la stessa:

[\tan(x)-1][\tan(x)+1]\geq 0\ \ \ (\bullet\bullet\bullet)

Occupiamoci dei due nuovi fattori studiandone il segno

\tan(x)-1\geq 0\ \to\ \tan(x)\geq 1

Nelle disequazioni in cui è coinvolta la tangente conviene sempre aiutarsi con il grafico della tangente. Qui la disequazione ci chiede su quali intervalli di ascisse il grafico di y=\tan(x) sovrasta la retta orizzontale y=1:

\frac{\pi}{4}\leq x<\frac{\pi}{2}\ \vee\ \frac{5\pi}{4}\leq x<\frac{3\pi}{2}

Per l'altro fattore ci comportiamo in maniera analoga

\tan(x)+1\geq 0\ \to\ \tan(x)\geq -1

da cui le soluzioni

0\leq x<\frac{\pi}{2}\ \vee\ \frac{3\pi}{4}\leq x<\frac{3\pi}{2}\ \vee\ \frac{7\pi}{4}\leq x\leq 2\pi

Il confronto tra i segni dei due fattori, in accordo con la richiesta di (\bullet\bullet\bullet), ci permette di di concludere che il secondo fattore è non negativo per

\frac{\pi}{4}\leq x<\frac{\pi}{2}\ \vee\ \frac{\pi}{2}<x\leq\frac{3\pi}{4}\ \vee\ \frac{5\pi}{4}\leq x<\frac{3\pi}{2}\ \vee\ \frac{3\pi}{2}<x\leq\frac{7\pi}{4}


Soluzioni della disequazione proposta

In conclusione, per ricavare le soluzioni della disequazione proposta inizialmente dobbiamo confrontare le soluzioni relative al primo e al secondo fattore, e cercare i valori di x che rendono il prodotto minore o uguale a zero.

Non dimentichiamoci di escludere i valori che non rientrano nell'insieme di definizione della tangente.

\\ 0\leq x\leq \frac{\pi}{4}\ \vee\ \frac{3\pi}{4}\leq x\leq \pi\ \vee\ \frac{7\pi}{6}\leq x\leq\frac{5\pi}{4}\ \vee\ \frac{7\pi}{4}\leq x\leq \frac{11\pi}{6}

e, per la tua comodità, la rappresentazione delle soluzioni sull'asse reale

soluzioni della disequazione
Ringraziano: CarFaby, alexmarino1991

Re: Disequazioni goniometriche - problema di metodo #85890

avt
alexmarino1991
Punto
In primis, grazie e complimenti per l'esposizione.

Passiamo al mio dubbio. Confrontando le risoluzioni, tutto torna fino allo studio di \tan^2(x)-1\geq 0 .

Io dove ho sbagliato? Essendo positivo il termine di secondo grado ed avendo il ">", l'ho scomposto in:

\\ \tan(x)\leq -1\\ \\ \tan(x)\geq 1

Ho usato sempre questo metodo con le disequazioni di secondo grado, ho sbagliato?

Re: Disequazioni goniometriche - problema di metodo #85895

avt
Omega
Amministratore
Il metodo che hai applicato è corretto: in sostanza hai implicitamente riscritto la disequazione come una disequazione di secondo grado mediante una sostituzione

y^2-1\geq 0

e ne hai dedotto

y\leq -1\ \vee\ y\geq +1

da cui

\tan(x)\leq -1\ \vee\ \tan(x)\geq +1

A questo punto devi considerare l'unione delle soluzioni delle due disequazioni (come imposto dal simbolo \vee).

Il metodo va bene. Personalmente ho preferito suddividere tutta la risoluzione in passaggi elementari onde evitare di confonderti.

Ad ogni modo i due metodi sono in tutto e per tutto equivalenti, sospetto che tu nell'applicare il tuo metodo non abbia considerato l'unione delle soluzioni.
Ringraziano: alexmarino1991

Re: Disequazioni goniometriche - problema di metodo #85898

avt
alexmarino1991
Punto
Eccolo l'errore, grave lacuna allora. Come interpreto nello schema l'unione delle soluzioni? Devo guardare il segno risultante negli intervalli oppure no? Vuoto totale

Re: Disequazioni goniometriche - problema di metodo #85904

avt
Omega
Amministratore
Nello schema d'unione tutto sulla stessa linea. emt
Ringraziano: alexmarino1991

Re: Disequazioni goniometriche - problema di metodo #85906

avt
alexmarino1991
Punto
Grazie ancora, dubbio risolto. Ottimo servizio
Ringraziano: Omega
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Os