Integrale doppio su una porzione di corona circolare

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Integrale doppio su una porzione di corona circolare #85515

avt
cyp
Cerchio
Ciao, rieccomi! Ma ancora per poco (si spera)! Ho un dubbio su un integrale doppio da calcolare su una porzione di corona circolare.

Sto cercando di risolvere il seguente integrale

\iint_Dy^3e^x

dove D è l'insieme dei punti interni alla parte di corona circolare del primo quadrante delimitata dalle circonferenze con centro nell'origine degli assi e di raggi rispettivamente 1 e 4. La suddetta porzione di corona circolare è altresì delimitata dalle rette x=0 e x=1.

Vi dico come procedo io, anche per capire eventuali errori di ragionamento:

- imposto le equazioni delle circonferenze;
- passo alle coordinate polari;
- ottengo il seguente dominio:

D=\left \{ (\rho ,\theta )\in R^{+}\times [0,2\pi)\ :\ 1\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}\right \}

- imposto l'integrale in coordinate polari e con i suddetti estremi di integrazione.

Dopo di ciò provo ad applicare il metodo di integrazione per parti ma giungo ad un punto in cui non so procedere... magari dovrei applicare prima il metodo di sostituzione, ma entro in confusione e ad ogni passo che faccio mi sorgono dei dubbi sulla correttezza del mio svolgimento.

Quindi chiedo il vostro aiuto: non solo per svolgere l'esercizio, ma anche qualche consiglio per procedere in generale senza confusione dubbi e incertezze!

Grazie in anticipo per la disponibilità che mostrerete come avete sempre fatto!
 
 

Integrale doppio su una porzione di corona circolare #85523

avt
Omega
Amministratore
Le tue considerazioni rivelano un grosso problema di natura pratica ed un errore di riscrittura del dominio.

Nel caso considerato non conviene passare alle coordinate polari perché, come si vede facilmente guardando l'integrale

\iint_Dy^3e^xdxdy

la riscrittura della funzione integranda diventerebbe un bagno di sangue... emt

Inoltre, la riscrittura dell'insieme di integrazione che hai proposto non è corretta

D=\left \{ (\rho ,\theta )\in R^{+}\times [0,2\pi)\ :\ 1\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}\right \}

] perché non si limita a considerare la porzione di corona circolare che ci interessa, bensì l'intero quarto di corona circolare contenuto nel primo quadrante.

Nel caso considerato conviene rimanere in coordinate cartesiane. Vediamo come scrivere il dominio in forma normale rispetto all'asse y.

dove D è l'insieme dei punti interni alla parte di corona circolare del primo quadrante

delimitata dalle circonferenze con centro nell'origine degli assi e di raggi rispettivamente 1 e 4.

La suddetta porzione di corona circolare è altresì delimitata dalle rette x=0 e x=1.

Prima di tutto consideriamo la corona circolare delimitata dalle circonferenze di centro l'origine degli assi e raggi rispettivamente 1 e 4, che hanno equazioni

\\ x^2+y^2=1\\ \\ x^2+y^2=16

corona circolare integrazione

Noi dobbiamo limitarci al primo quadrante, quindi richiediamo

x\geq 0,\ y\geq 0

Abbiamo anche la limitazione della retta x=1

x\leq 1

Mettendo tutto insieme

\begin{cases}0\leq x\leq 1\\ +\sqrt{1-x^2}\leq y\leq +\sqrt{16-x^2}\end{cases}

insieme di integrazione finale

Attenzione alla seconda condizione: l'ho dedotta ricavando dalle equazioni delle circonferenze le equazioni per le semicirconferenze ad ordinate positive (segno + nell'estrazione delle radici).

Ora possiamo scrivere esplicitamente gli estremi di integrazione nell'integrale doppio

\int_0^1\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{16-x^2}}e^xy^3dydx

e partire dall'integrazione rispetto a y, che è abbastanza immediata. Si tratta dell'integrale di una potenza

\int_0^1 e^x\left[\frac{y^4}{4}\right]_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{16-x^2}}dx

Valutiamo la primitiva agli estremi

\int_0^1 e^x\left[\frac{(\sqrt{16-x^2})^4}{4}-\frac{(\sqrt{1-x^2})^4}{4}\right]dx

e facciamo due conticini

\int_0^1 e^x\left[-\frac{15}{2}x^2+\frac{255}{4}\right]dx

Sfruttiamo le proprietà dell'integrale e scriviamo l'integrale come differenza

\frac{255}{4}\int_0^1 e^xdx-\frac{15}{2}\int_0^1 e^x x^2dx

Il primo integrale è banale

\frac{255}{4}\int_0^1 e^xdx=\frac{255}{4}[e^x]_0^1=\frac{255}{4}(e-1)

Il secondo integrale si calcola per parti, e se vuoi vederne lo svolgimento nel dettaglio puoi dare un'occhiata qui: integrale di x^2e^x.

\\ \frac{15}{2}\int_0^1 e^x x^2dx=\frac{15}{2}[e^x(x^2-2x+2)]_0^1=\frac{15}{2}(e-2)

In definitiva l'integrale proposto vale

I=\frac{255}{4}(e-1)-\frac{15}{2}(e-2)=\frac{225}{4}e-\frac{195}{4}

Consiglio finale: dai un'occhiata velocissima agli esercizi sugli integrali doppi in coordinate polari, vedrai subito a colpo d'occhio quali sono le condizioni relative a dominio e integranda tali da indurre a passare ad un riferimento polare. emt
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby, cyp
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Os