Dimensione di uno spazio vettoriale reale definito da polinomi complessi

Buongiorno, sono ancora io e sono alle prese con un altro esercizio di Algebra Lineare del nuovo corso (mi pento sempre di più di non averlo dato col vecchio prof)

Passo all'esercizio:

Calcolare la dimensione come spazio vettoriale reale



So che se V è uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita n, allora si ha che

Pertanto, il mio primo pensiero è stato che la risposta fosse 4, però mi sono reso conto che non sto minimamente considerando al definizione del polinomio , in questo modo e mi sto fondendo il cervello cercando, invano, una risposta sul libro di testo o un esercizio simile sul libro degli esercizi.

Ciao FedeG,

il tempo necessario per formulare una risposta e per trascriverla.

Come hai correttamente osservato, non si può prescindere dalla definizione di uno spazio vettoriale per determinarne la dimensione.

Il bello di questo genere di esercizi è che si può fare tutto a mano, partendo dalla definizione e ricavandosi direttamente una base dello spazio, ossia un sistema di generatori che siano linearmente indipendenti.

Consideriamo lo spazio vettoriale reale



e procediamo. Prendiamo un generico polinomio di grado al più 2 sul campo complesso



A cosa ci condurrà la condizione richiesta nella definizione del sottospazio vettoriale ?

Scriviamo esplicitamente i termini che compaiono nella condizione:



Riscriviamo la condizione



e ordiniamo il tutto al primo membro, raccogliendo i vari coefficienti



Per far sì che un polinomio sia identicamente nullo devono essere nulli tutti i suoi coefficienti



Nota: fin qui stiamo lavorando con dei numeri complessi, la traccia però richiede di considerare come uno spazio vettoriale reale. È qui che la tua osservazione ci torna utile:


Il nostro , inteso come sottoinsieme complesso, è immerso nello spazio vettoriale che ha dimensione 3 (polinomi complessi di grado al più 2 vuol dire 3 coefficienti complessi).

Se invece lo intendiamo come sottospazio vettoriale reale, allora è immerso in uno spazio vettoriale reale che avrà dimensione .

Senza eccedere in considerazioni astratte, ci basta riprendere il sistema e scrivere i numeri complessi coinvolti in forma algebrica



da cui



Riordiniamo le equazioni raccogliendo le parti reali e quelle immaginarie



Procediamo con il metodo di sostituzione



e ricordiamoci che un numero complesso è nullo se e solo se sono nulle sia la parte reale che la parte immaginaria. Tale osservazione ci permette di disaccoppiare le varie equazioni del sistema e di ottenere un sistema lineare



da cui



Ci siamo: nota che nelle equazioni non compare alcun vincolo per , che assume quindi il ruolo di parametro libero. Poniamo quindi



Per dare un volto alle soluzioni del sistema lineare, ossia agli elementi del sottospazio vettoriale , scriviamo le soluzioni sotto forma di matrice 3x2 (se vuoi si può fare anche con un vettore a 6 componenti, è lo stesso)



Scriviamo infine tutti e soli i vettori di come combinazioni lineari



Da qui deduciamo che la matrice indicata genera tutti e soli i vettori di , e trattandosi di un unico elemento è chiaramente linearmente indipendente. Dunque



è una base di e ha dimensione 1.


Osservazione: perché non rispetta la regola della dimensione che abbiamo scritto in precedenza?

Perché è sì un sottospazio vettoriale reale ma non è un sottospazio vettoriale complesso. È solamente un sottoinsieme di uno spazio vettoriale complesso, infatti il sistema che lo definisce



non è un sistema lineare a causa della prima equazione, che presenta un termine coniugato.

Grazie, adesso è tutto molto chiaro!

Avessi un libro chiaro come le vostre spiegazioni!

Troppo gentile, grazie a te!