Per quali k i vettori sono base / sistema di generatori

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Per quali k i vettori sono base / sistema di generatori #85482

avt
aurelioludovico
Visitatore
Buonasera a tutti, sono alle prese con un esercizio di algebre lineare: per quali valori del parametro k i seguenti vettori costituiscono una base di R^2? Per quali valori costituiscono un sistema di generatori di R^2?

v_1=\left[\begin{matrix}-6\\ k\end{matrix}\right],\ v_2=\left[\begin{matrix}-k\\ 1\end{matrix}\right],\ v_3=\left[\begin{matrix}3\\ -1\end{matrix}\right]

Ora per essere una base tali vettori dovrebbero essere contemporaneamente linearmente indipendenti e un sistema di generatori.

Per verificare l'indipendenza lineare basta calcolare il rango della matrice associata

\left[\begin{matrix}-6 & -k & 3 \\ k & 1 &-1\end{matrix}\right]

Considerando il minore destro il rango risulta massimo (min tra numero righe e colonne =2 ) per k\neq 3.

In questo caso essendo 3 vettori su R^2 essi non saranno mai linearmente indipendenti, ossia saranno sempre linearmente dipendenti, quindi non saranno mai una base, tuttavia provo a non considerare questo dettaglio per esercitarmi e comprendere bene il procedimento.

Ho provato a studiare il capitolo di youmath relativo ai sistemi di generatori e non ho capito le differenze nel calcolo (applico lo stesso procedimento dell'indipendenza lineare ma presumo non sia corretto, in quanto i vettori risulterebbero sempre O linearmente indipendenti e generatori, quindi base, O linearmente dipendenti e non generatori, quindi non base).

Mi rivolgo a voi per un aiutino, grazie mille.
 
 

Per quali k i vettori sono base / sistema di generatori #85493

avt
Omega
Amministratore
Ciao Aurelio,

vediamo come risolvere l'esercizio. Nel tuo messaggio c'è un ottimo spunto che mi fa capire che hai studiato con impegno la teoria, ed è un ottimo punto di partenza! emt

Abbiamo tre vettori v_1,v_2,v_3\in\mathbb{R}^2 dipendenti da un parametro reale e vogliamo capire, per quali valori del parametro:

- i tre vettori costituiscono una base di \mathbb{R}^2;

- i tre vettori costituiscono un sistema di generatori di \mathbb{R}^2.

v_1=\left[\begin{matrix}-6\\ k\end{matrix}\right],\ v_2=\left[\begin{matrix}-k\\ 1\end{matrix}\right],\ v_3=\left[\begin{matrix}3\\ -1\end{matrix}\right]

Prima di tutto, la tua osservazione relativa al primo quesito:

In questo caso essendo 3 vettori su R^2 essi non saranno mai linearmente indipendenti, ossia saranno sempre linearmente dipendenti, quindi non saranno mai una base, tuttavia provo a non considerare questo dettaglio per esercitarmi e comprendere bene il procedimento.

Molto bene! Dato che abbiamo un insieme di 3 vettori in \mathbb{R}^2, essi non possono costituire in alcun modo una base di \mathbb{R}^2.

Per far sì che un insieme di vettori sia una base di uno spazio vettoriale devono valere due condizioni:

- i vettori dell'insieme devono essere linearmente indipendenti tra loro;

- i vettori dell'insieme devono costituire un sistema di generatori dello spazio vettoriale.

Una base di uno spazio vettoriale ci fornisce diverse proprietà del medesimo. Tra queste, in particolare, il massimo numero di vettori che possono essere linearmente indipendenti tra loro nello spazio vettoriale.

Dal momento che la dimensione di \mathbb{R}^2 è 2, non può esistere alcun insieme di vettori di \mathbb{R}^2 che abbia più di 2 elementi che siano linearmente indipendenti tra loro.

Un modo equivalente per esprimere lo stesso concetto è il seguente: dato uno spazio vettoriale di dimensione finita, tutte le basi condividono lo stesso numero di elementi. In altri termini, tutte le basi hanno la stessa cardinalità.

Comunque giriamo la frittata, qui abbiamo un insieme di 3 vettori distinti in \mathbb{R}^2. Essi potranno eventualmente costituire un sistema di generatori, ma non potranno essere linearmente indipendenti tra loro; di conseguenza non esiste alcun valore di k per cui possano costituire una base di \mathbb{R}^2.

L'unica eventualità è che ci siano un valore di k per il quale:

- due vettori coincidano tra loro;

- quel vettore ed il rimanente vettore siano linearmente indipendenti;

ma è facile ad occhio che non esiste alcun valore di k per cui due vettori coincidano. Quindi l'insieme proposto non può in alcun modo costituire una base di \mathbb{R}^2.


Passiamo al secondo quesito dell'esercizio: vogliamo determinare i valori del parametro per i quali \{v_1,v_2,v_3\} è un sistema di generatori di \mathbb{R}^3.

Per far sì che \{v_1,v_2,v_3\} generi \mathbb{R}^2 è sufficiente disporre i vettori in colonna, in una matrice

A=\left[\begin{matrix}-6 & -k & 3 \\ k & 1 &-1\end{matrix}\right]

e studiare rango della matrice al variare del parametro k.

Il rango è per definizione il massimo numero di righe (o equivalentemente di colonne) linearmente indipendenti, e può essere al più uguale al minimo tra il numero di righe ed il numero di colonne. Nel nostro caso

rk(A)\leq 2

Se il rango è massimo e quindi uguale a 2, allora il nostro sistema di vettori contiene due vettori linearmente indipendenti tra loro e genera necessariamente tutto \mathbb{R}^2.
L'alternativa è che il rango sia uguale a 1, in tal caso il sistema di vettori contiene un unico vettore linearmente indipendente (ossia gli altri due vettori dipendono linearmente da esso) e non genera \mathbb{R}^2.

In sintesi, dobbiamo capire per quali valori di k il rango della matrice è uguale a due, perché in tal caso i vettori colonna costituiscono necessariamente un sistema di generatori di \mathbb{R}^2.

In merito al metodo pratico, una matrice ha rango 2 se esiste almeno un minore di ordine 2 con determinante diverso da zero. Dobbiamo quindi considerare i tre possibili minori di ordine 2 della matrice e imporre che i loro determinanti non siano nulli:

M_{1,2}=\left[\begin{matrix}-6 & -k \\ k & 1 \end{matrix}\right]\ \to\ det(M_{1,2})=-6+k^2

e quindi il determinante è nullo per k= \pm\sqrt{6}.

M_{2,3}=\left[\begin{matrix}-k & 3 \\ 1 & -1 \end{matrix}\right]\ \to\ det(M_{2,3})=k-3

dunque il determinante è nullo per k= 3.

M_{1,3}=\left[\begin{matrix}-6 & 3 \\ k & -1 \end{matrix}\right]\ \to\ det(M_{1,3})=6-3k

ed il determinante è uguale a zero per k= 2

Ok, ci siamo: dai calcoli si vede subito che non esiste alcun valore di k tale da annullare tutti i minori di ordine 2.

Di conseguenza la matrice ha rango 2 per qualsiasi valore di k ed i vettori costituiscono un sistema di generatori di \mathbb{R}^2.
Ringraziano: Galois, CarFaby

Re: Per quali k i vettori sono base / sistema di generatori #85500

avt
aurelioludovico
Visitatore
Grazie mille, molto chiaro!

Quindi riassumendo il procedimento:

Indipendenza/dipendenza lineare:

- Verifico che il numero di vettori non sia superiore alla dimensione dello spazio, in tal caso i vettori sono necessariamente linearmente dipendenti e non sono una base. Potrebbero essere però dei generatori.

- Se il numero di vettori non è superiore alla dimensione dello spazio, essi potrebbero essere linearmente dipendenti o indipendenti.

Per verificarlo studio il rango della matrice associata, eventualmente ponendo il parametro reale (in questo caso K) \neq 0. Per i valori in cui il rango è massimo (min tra numero righe/colonne) i vettori sono linearmente indipendenti.

Sistema di generatori:

- Studio il rango della matrice associata. Se è massimo (Ponendo il parametro \neq 0) essi sono generatori. Nel caso in cui il parametro K sia presente in più vettori e usando la tecnica dei Minori per calcolare il rango devo verificare se il valore del parametro reale K per cui il rango non è massimo è uguale in tutti i minori, per tutti i valori diversi da quel parametro i vettori sono un sistema di generatori. (Nell'esercizio considerato i valori che annullavano il determinante erano diversi per ogni minore, quindi i vettori erano generatori per ogni valore di K).

Quindi per i valori del parametro diversi da "quelli che non rendono massimo il rango" e se il numero di vettori non è superiore alla dimensione dello spazio, tali vettori sono sia linearmente indipendenti sia generatori, ergo base.

Corretto? Grazie e buona giornata!

Re: Per quali k i vettori sono base / sistema di generatori #85504

avt
Omega
Amministratore
Prego emt

Indipendenza/dipendenza lineare:

- Verifico che il numero di vettori non sia superiore alla dimensione dello spazio, in tal caso i vettori sono necessariamente linearmente dipendenti e non sono una base. Potrebbero essere però dei generatori.

Ok!

- Se il numero di vettori non è superiore alla dimensione dello spazio, essi potrebbero essere linearmente dipendenti o indipendenti.

Ok!

Per verificarlo studio il rango della matrice associata, eventualmente ponendo il parametro reale (in questo caso K) \neq 0. Per i valori in cui il rango è massimo (min tra numero righe/colonne) i vettori sono linearmente indipendenti.

Nel caso di m vettori in \mathbb{R}^m con m\leq n, come hai giustamente preventivato, è corretto.

Lascia perdere la parte "eventualmente ponendo il parametro reale \neq 0". I valori del parametro li desumi direttamente dallo studio del rango.

Sistema di generatori:

Qui ovviamente ha senso ragionare solo nel caso di m vettori in \mathbb{R}^n con m\geq n.

- studio il rango della matrice associata. Se è massimo (ponendo il parametro \neq 0) essi sono generatori.

Giusto, ma anche qui lascia perdere "ponendo il parametro \ne 0", che non c'entra nulla.

Nel caso in cui il parametro K sia presente in più vettori e usando la tecnica dei minori per calcolare il rango, devo verificare se il valore del parametro reale K per cui il rango non è massimo è uguale in tutti i minori, per tutti i valori diversi da quel parametro i vettori sono un sistema di generatori. (Nell'esercizio considerato i valori che annullavano il determinante erano diversi per ogni minore, quindi i vettori erano generatori per ogni valore di K).

Quindi per i valori del parametro diversi da "quelli che non rendono massimo il rango" e se il numero di vettori non è superiore alla dimensione dello spazio, tali vettori sono sia linearmente indipendenti sia generatori, ergo base.

Qui stai facendo un po' di confusione.

Parti dal presupposto che rango massimo implica sistema di generatori e rango non massimo implica che i vettori non costituiscono un sistema di generatori. Con questa considerazione, passa allo studio del rango.

Lo studio del rango prevede di analizzare tutti i possibili minori, a partire da quello con il massimo ordine consentito dalla matrice.

Non ti conviene cercare di farti uno schema riguardo ai possibili casi che si manifestano sul parametro (le possibili combinazioni sono troppe); conviene piuttosto che ti focalizzi sul metodo del calcolo del rango con il criterio dei minori.

Se c'è un valore (o ci sono più valori) del parametro che annullano i determinanti di tutti i minori di ordine massimo, allora quel valore del parametro (quei valori) fanno sì che la matrice non abbia rango massimo.

Se invece c'è anche solo un minore di ordine massimo con determinante diverso da zero, allora la matrice ha rango massimo.
Ringraziano: CarFaby
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Os