Autovalori della matrice potenza

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Autovalori della matrice potenza #85349

avt
FedeG
Punto
Ho un esercizio sul calcolo degli autovalori di una matrice elevata a potenza che avevo pensato di risolvere calcolando prima la matrice potenza, per poi determinarne gli autovalori.

Tuttavia l'esponente è abbastanza alto, dunque elevarla a potenza diventa laborioso. Vorrei chiedervi se esiste un metodo più veloce di procedere.

Calcolare gli autovalori di A^{20}, con

A=\begin{pmatrix}-1&-4&2 \\ 1&3&-1 \\ 1&2&0\end{pmatrix}
 
 

Re: Autovalori della matrice potenza #85371

avt
Galois
Amministratore
Per calcolare gli autovalori di una matrice elevata a potenza si può ricorrere al teorema sugli autovalori della potenza di una matrice secondo cui, per ogni k \in \mathbb{N}-\{0\}, gli autovalori di A^k sono gli autovalori di A elevati alla k.

Vista l'importanza del teorema, prima di risolvere l'esercizio è bene fornirne un enunciato preciso e riportarne la dimostrazione.


Teorema sugli autovalori della potenza di una matrice

Sia A una matrice quadrata di ordine n. Se \lambda è un autovalore di A relativo all'autovettore \mathbf{v}, allora \lambda^k è un autovalore di A^k relativo allo stesso \mathbf{v} per ogni k \in \mathbb{N} - \{0\}.

Dimostrazione

Procediamo con una dimostrazione per induzione su k.

Passo base: verifichiamo la validità del teorema per k=1.

Se k=1 allora

\\ \lambda^k=\lambda^1=\lambda \\ \\ A^k=A^1=A

e la tesi segue banalmente dall'ipotesi.

Passo induttivo: supponiamo la tesi vera per k e dimostriamola per k+1.

Più esplicitamente dobbiamo dimostrare che \lambda^{k+1} è un autovalore della matrice A^{k+1} relativo all'autovettore \mathbf{v} sapendo che (ipotesi induttiva) \lambda^k è un autovalore di A^k relativo a \mathbf{v}.

Dalla definizione di autovalore possiamo esprimere l'ipotesi induttiva affermando che

A^k\mathbf{v}=\lambda^k\mathbf{v}

L'obiettivo è provare l'uguaglianza

A^{k+1}\mathbf{v}=\lambda^{k+1}\mathbf{v}

Per la definizione ricorsiva di potenza di una matrice

A^{k+1}=A^kA

dunque

A^{k+1}\mathbf{v}=(A^kA)\mathbf{v}=

in virtù della proprietà associativa del prodotto riga per colonna

=A^k(A\mathbf{v})

Per ipotesi \lambda è un autovalore di A riferito a \mathbf{v}, per cui il prodotto A\mathbf{v} coincide con \lambda\mathbf{v} e quindi

A^k(A\mathbf{v})=A^k(\lambda\mathbf{v})=\lambda(A^k\mathbf{v})=

per l'ipotesi induttiva

=\lambda(\lambda^k \mathbf{v})= \lambda^{k+1}\mathbf{v}

Il passo induttivo è quindi dimostrato, da cui la tesi.


Esempio di applicazione del teorema sugli autovalori della potenza di una matrice

Per apprezzare la potenzialità del teorema risolviamo l'esercizio proposto, che chiede di determinare gli autovalori della matrice A^{20}, con

A=\begin{pmatrix}-1&-4&2 \\ 1&3&-1 \\ 1&2&1\end{pmatrix}

Svolgimento: calcoliamo gli autovalori di A, che coincidono con gli zeri del polinomio caratteristico p_{A}(\lambda) associato ad A

\\ p_A(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3)= \\ \\ = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix}-1&-4&2 \\ 1&3&-1 \\ 1&2&1\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}-1-\lambda&-4&2 \\ 1&3-\lambda&-1 \\ 1&2&1-\lambda\end{pmatrix}

Per il calcolo del determinante usiamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna

\\ \mbox{det}\begin{pmatrix}-1-\lambda&-4&2 \\ 1&3-\lambda&-1 \\ 1&2&1-\lambda\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (-1-\lambda)\cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}3-\lambda & -1 \\ 2 & 1-\lambda\end{pmatrix} + \\ \\ \\ -1 \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}-4 & 2 \\ 2 & 1-\lambda\end{pmatrix} + 1 \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}-4 & 2 \\ 3-\lambda & -1\end{pmatrix}=

Calcoliamo i determinanti delle matrici di ordine 2

=(-1-\lambda)[(3-\lambda)(1-\lambda)+2] - 1[-4(1-\lambda)-4]+1[4-2(3-\lambda)]

e svolgiamo i prodotti. Sommando i termini simili, dopo qualche semplice passaggio algebrico si ottiene

p_A(\lambda)=-\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1 = (-\lambda+1)^3

Il polinomio caratteristico ammette come unica radice \lambda=1 con molteplicità 3, dunque l'unico autovalore di A è \lambda_1=1 con molteplicità algebrica 3.

Il teorema sugli autovalori della potenza di una matrice permette di concludere che la matrice potenza A^{20} ha come autovalore

\lambda_1^{20}=1^{20}=1

con molteplicità algebrica 3, e l'esercizio è concluso.

Senza conoscere il suddetto teorema avremmo dovuto calcolare dapprima gli elementi della matrice A^{20} per poi calcolarne gli autovalori, con una mole di conti non indifferente.
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby, FedeG

Re: Autovalori della matrice potenza #85376

avt
FedeG
Punto
Grazie Galois, è il secondo giorno consecutivo in cui salvi la mia carriera universitaria!

Quel teorema non lo avevo mai visto, né avevo visto esercizi simili dato che sul libro di testo non appare mai la potenza di una matrice (neanche nel programma "dettagliato" del professore, in realtà, ma va beh).

Adesso cerco altri esercizi in merito alla matrice potenza e mi esercito, poi continuerò la preparazione all'esame, se mi blocco nuovamente per un giorno senza trovare nulla di utile neanche online, comprerò un altro topic emt

Grazie mille ancora per l'aiuto e per la spiegazione dettagliatissima!
Ringraziano: Omega, Galois
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Os