Somma parziale di una serie geometrica

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Somma parziale di una serie geometrica #85338

avt
marty verdi
Punto
Salve, vorrei sapere coma si calcola la somma parziale di una serie geometrica, nello specifico dovrei calcolare la seguente somma:

Σ_(k = 1)^(10)((2)/(3))^k

Grazie in anticipo!
 
 

Somma parziale di una serie geometrica #85441

avt
Galois
Amministratore
Ciao Marty. emt

Dobbiamo calcolare la somma

Σ_(k = 1)^(10)((2)/(3))^k

ossia calcolare la somma parziale della serie geometrica

Σ_(k = 1)^(∞)((2)/(3))^k

A tal fine di invito a prendere visione della nostra lezione sulla serie geometrica (click) e di leggerla molto attentamente. Una volta letta e studiata puoi continuare con la lettura di questo topic. emt

La serie geometrica

Σ_(k = 1)^(∞)((2)/(3))^k

ha ragione q = (2)/(3) = 0,6

che è un numero minore di 1. Allora la serie geometrica converge e possiamo calcolare la somma parziale

Σ_(k = 1)^(10)((2)/(3))^k

ricorrendo alla formula

Σ_(k = 0)^(N)(q)^k = (1-q^(N+1))/(1-q)

dove, nel caso in esame,

N = 10, q = (2)/(3)

e la somma parte da 1 e non da 0 (ci occuperemo di questo aspetto tra poco, intanto procediamo).

Sostituendo nella formula precedente si ha

Σ_(k = 0)^(10)((2)/(3))^k = (1-((2)/(3))^(10+1))/(1-(2)/(3)) =

= (1-((2)/(3))^(11))/((1)/(3)) =

= 3·[1-((2^(11))/(3^(11)))] = 3-((2^(11))/(3^(10)))

Attenzione ora che, come abbiamo già osservato, la somma da calcolare parte da k = 1 mentre, la formula che abbiamo utilizzato, parte da k = 0.

Pertanto dal valore trovato, ossia da

3-((2^(11))/(3^(10)))

dobbiamo sottrarre ciò che si ottiene per k=0, ossia dobbiamo sottrarre ((2)/(3))^0 = 1

Morale della favola:

Σ_(k = 1)^(10)((2)/(3))^k = 3-((2^(11))/(3^(10)))-1 = 2-((2^(11))/(3^(10)))

È tutto! emt
Ringraziano: CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os