Somma parziale di una serie geometrica

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Somma parziale di una serie geometrica #85338

avt
marty verdi
Punto
Salve, vorrei sapere coma si calcola la somma parziale di una serie geometrica, nello specifico dovrei calcolare la seguente somma:

\sum_{k=1}^{10}\left(\frac{2}{3}\right)^k

Grazie in anticipo!
 
 

Somma parziale di una serie geometrica #85441

avt
Galois
Amministratore
Ciao Marty. emt

Dobbiamo calcolare la somma

\sum_{k=1}^{10}\left(\frac{2}{3}\right)^k

ossia calcolare la somma parziale della serie geometrica

\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k

A tal fine di invito a prendere visione della nostra lezione sulla serie geometrica (click) e di leggerla molto attentamente. Una volta letta e studiata puoi continuare con la lettura di questo topic. emt

La serie geometrica

\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k

ha ragione q=\frac{2}{3}=0,\overline{6}

che è un numero minore di 1. Allora la serie geometrica converge e possiamo calcolare la somma parziale

\sum_{k=1}^{10}\left(\frac{2}{3}\right)^k

ricorrendo alla formula

\sum_{k=0}^{N}\left(q\right)^k=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}

dove, nel caso in esame,

N=10, \ q=\frac{2}{3}

e la somma parte da 1 e non da 0 (ci occuperemo di questo aspetto tra poco, intanto procediamo).

Sostituendo nella formula precedente si ha

\sum_{k=0}^{10}\left(\frac{2}{3}\right)^k=\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{10+1}}{1-\frac{2}{3}}=

=\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{11}}{\frac{1}{3}}=

=3 \cdot \left[1-\left(\frac{2^{11}}{3^{11}}\right)\right]= 3 - \left(\frac{2^{11}}{3^{10}}\right)

Attenzione ora che, come abbiamo già osservato, la somma da calcolare parte da k=1 mentre, la formula che abbiamo utilizzato, parte da k=0.

Pertanto dal valore trovato, ossia da

3 - \left(\frac{2^{11}}{3^{10}}\right)

dobbiamo sottrarre ciò che si ottiene per k=0, ossia dobbiamo sottrarre \left(\frac{2}{3}\right)^0=1

Morale della favola:

\sum_{k=1}^{10}\left(\frac{2}{3}\right)^k=3 - \left(\frac{2^{11}}{3^{10}}\right)-1 = 2 - \left(\frac{2^{11}}{3^{10}}\right)

È tutto! emt
Ringraziano: CarFaby
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Os