Massimi e minimi approssimati della funzione xsin(x)

Salve, devo studiare la funzione e in particolare ho difficoltà nel calcolare i massimi e i minimi della funzione.

Devo studiare la funzione sull'intervallo . La funzione è pari quindi potremmo limitarmi all'intervallo .

Ho provato con il metodo di approssimazione di Newton ma non ne sono venuto a capo. Come posso fare?

Grazie e saluti
Giovanni C.

Ok, procediamo.

Intanto l'osservazione relativa alla parità della funzione è ottima



perché la simmetria rispetto all'asse delle y ci permette di risparmiare il 50% della fatica.

Lo studio di massimi e minimi ci condurrà, come hai già avuto modo di vedere, ad una disequazione trascendente. Se me lo consenti, l'esperienza mi impone di importi di abbandonare sin da subito l'idea di approssimare i punti di massimo/minimo con un metodo numerico, per i seguenti motivi:

(1) devi effettuare uno studio di funzione qualitativo, dunque non ti serve approssimare i punti di massimo/minimo con precisione;

(2) faresti una fatica che, oltre a non essere richiesta (1), sarebbe esagerata. Nella fattispecie in esame dovresti applicare un metodo numerico per ben 4 volte oltre ad effettuare uno studio di funzione completo. Una follia.

Ci sono altri metodi che ti permettono di ricavare le informazioni richieste da uno studio qualitativo ottenendo approssimazioni spannometriche, ma perfette per lo scopo.

Esaurita la premessa, lavoriamo sull'intervallo e calcoliamo la derivata della funzione usando la regola di derivazione del prodotto e tenendo presenti le derivate fondamentali



Noi vogliamo individuare i punti estremanti nell'intervallo e studiare il segno della derivata, in modo da desumere la natura dei punti.

Consideriamo la disequazione



che è una disequazione trascendente. Si vede subito che il metodo del confronto grafico non ci condurrà lontano



perché al secondo membro abbiamo una funzione il cui grafico è tutt'altro che elementare. Ci serve quindi una strategia ben più raffinata.

Partiamo dai fondamentali e consideriamo l'equazione



Se imponiamo , ossia , non perdiamo alcuna delle soluzioni dell'equazione (banale) e riusciamo a passare all'equazione equivalente



Questa equazione coinvolge solamente funzioni elementari e può essere riscritta nella forma



che si presta alla perfezione per il metodo del confronto grafico: basta confrontare il grafico della tangente ed la bisettrice del secondo-quarto quadrante


In questo modo abbiamo individuato i 5 candidati punti estremanti della funzione:



Tieni a mente in questo frangente che non servono valori precisissimi dei punti estremanti, è sufficiente farsi un'idea molto approssimativa e soprattutto lasciarli indicati in forma simbolica nello svolgimento. I valori approssimativi serviranno solo a tracciare il grafico qualitativo.

Ora si pone un altro problema: lo studio del segno. In condizioni normali avremmo effettuato un confronto diretto tra i grafici, il problema è che in questo specifico esercizio la sfiga è doppia e non possiamo passare da



a



perché per farlo dobbiamo dividere per che non ha un segno ben definito (stiamo risolvendo una disequazione). Abbiamo però un grosso vantaggio, perché conosciamo gli zeri della funzione



Procediamo come segue: confrontiamo le due disequazioni



o, equivalentemente



La seconda disequazione coincide con la prima sugli intervalli in cui , ossia su



mentre le soluzioni hanno segno invertito dove , ossia su



Cosa devi fare? Il confronto grafico per le soluzioni della seconda disequazione, ossia




ti permette di giungere velocemente alle soluzioni.

Le soluzioni che rientrano nell'insieme



vanno preservate per la prima disequazione, perché abbiamo coincidenza di segni.

Le soluzioni che rientrano nell'insieme



vanno invece invertite per ottenere le altre soluzioni della prima disequazione.

Per "ricostruire" le soluzioni della disequazione



ti consiglio di disegnare un grafico molto grande per le soluzioni di e di indicare con dei + e dei - le soluzioni, intervallo per intervallo. In questo modo ricavi che la disequazione



ammette come soluzioni



intervalli su cui la funzione è crescente. Sugli altri intervalli la funzione è decrescente, per cui sono punti di massimo mentre sono punti di minimo.

A tuo uso e consumo il grafico della funzione su


e su