Massimi e minimi approssimati della funzione xsin(x)

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Massimi e minimi approssimati della funzione xsin(x) #85315

avt
gcappellotto47
Cerchio
Salve, devo studiare la funzione f(x)=x\sin(x) e in particolare ho difficoltà nel calcolare i massimi e i minimi della funzione.

Devo studiare la funzione sull'intervallo [-4\pi,+4\pi]. La funzione è pari quindi potremmo limitarmi all'intervallo [0,4\pi].

Ho provato con il metodo di approssimazione di Newton ma non ne sono venuto a capo. Come posso fare?

Grazie e saluti
Giovanni C.
 
 

Massimi e minimi approssimati della funzione xsin(x) #85329

avt
Omega
Amministratore
Ok, procediamo. emt

Intanto l'osservazione relativa alla parità della funzione è ottima

f(x)=(-x)\sin(-x)=x\sin(x)=f(x)

perché la simmetria rispetto all'asse delle y ci permette di risparmiare il 50% della fatica.

Lo studio di massimi e minimi ci condurrà, come hai già avuto modo di vedere, ad una disequazione trascendente. Se me lo consenti, l'esperienza mi impone di importi di abbandonare sin da subito l'idea di approssimare i punti di massimo/minimo con un metodo numerico, per i seguenti motivi:

(1) devi effettuare uno studio di funzione qualitativo, dunque non ti serve approssimare i punti di massimo/minimo con precisione;

(2) faresti una fatica che, oltre a non essere richiesta (1), sarebbe esagerata. Nella fattispecie in esame dovresti applicare un metodo numerico per ben 4 volte oltre ad effettuare uno studio di funzione completo. Una follia. emt

Ci sono altri metodi che ti permettono di ricavare le informazioni richieste da uno studio qualitativo ottenendo approssimazioni spannometriche, ma perfette per lo scopo.

Esaurita la premessa, lavoriamo sull'intervallo [0,4\pi] e calcoliamo la derivata della funzione usando la regola di derivazione del prodotto e tenendo presenti le derivate fondamentali

\\ f(x)=x\sin(x)\\ \\ f'(x)=\sin(x)+x\cos(x)

Noi vogliamo individuare i punti estremanti nell'intervallo [0,4\pi] e studiare il segno della derivata, in modo da desumere la natura dei punti.

Consideriamo la disequazione

\sin(x)+x\cos(x)\geq 0

che è una disequazione trascendente. Si vede subito che il metodo del confronto grafico non ci condurrà lontano

\sin(x)\geq -x\cos(x)

perché al secondo membro abbiamo una funzione il cui grafico è tutt'altro che elementare. Ci serve quindi una strategia ben più raffinata.

Partiamo dai fondamentali e consideriamo l'equazione

\sin(x)+x\cos(x)=0,\ \ \ \x\in[0,4\pi]

Se imponiamo \cos(x)\neq 0, ossia x\neq \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\frac{7\pi}{2}, non perdiamo alcuna delle soluzioni dell'equazione (banale) e riusciamo a passare all'equazione equivalente

\tan(x)+x=0,\ \ \ \x\in[0,4\pi]

Questa equazione coinvolge solamente funzioni elementari e può essere riscritta nella forma

\tan(x)=-x,\ \ \ \x\in[0,4\pi]

che si presta alla perfezione per il metodo del confronto grafico: basta confrontare il grafico della tangente ed la bisettrice del secondo-quarto quadrante

grafico confronto

In questo modo abbiamo individuato i 5 candidati punti estremanti della funzione:

x=\alpha_1=0,\ x=\alpha_2,\ x=\alpha_3,\ x=\alpha_4,\ x=\alpha_5

Tieni a mente in questo frangente che non servono valori precisissimi dei punti estremanti, è sufficiente farsi un'idea molto approssimativa e soprattutto lasciarli indicati in forma simbolica nello svolgimento. I valori approssimativi serviranno solo a tracciare il grafico qualitativo.

Ora si pone un altro problema: lo studio del segno. In condizioni normali avremmo effettuato un confronto diretto tra i grafici, il problema è che in questo specifico esercizio la sfiga è doppia e non possiamo passare da

\sin(x)\geq -x\cos(x)

a

\tan(x)\geq -x

perché per farlo dobbiamo dividere per \cos(x) che non ha un segno ben definito (stiamo risolvendo una disequazione). Abbiamo però un grosso vantaggio, perché conosciamo gli zeri della funzione

f(x)=\sin(x)+x\cos(x)

Procediamo come segue: confrontiamo le due disequazioni

\sin(x)\geq -x\cos(x)\ \ \ \tan(x)\geq -x

o, equivalentemente

\sin(x)+x\cos(x)\geq 0\ \ \ \frac{\sin(x)+x\cos(x)}{\cos(x)}\geq 0

La seconda disequazione coincide con la prima sugli intervalli in cui \cos(x)>0, ossia su

0\leq x<\frac{\pi}{2}\ \vee\ \frac{3\pi}{2}<x<\frac{5\pi}{2}\ \vee\ \frac{7\pi}{2}<x\leq 4\pi

mentre le soluzioni hanno segno invertito dove \cos(x)<0, ossia su

\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}\ \vee\ \frac{5\pi}{2}<x<\frac{7\pi}{2}

Cosa devi fare? Il confronto grafico per le soluzioni della seconda disequazione, ossia

\tan(x)\geq -x

confronto grafico disequazione

ti permette di giungere velocemente alle soluzioni.

Le soluzioni che rientrano nell'insieme

0\leq x<\frac{\pi}{2}\ \cup\ \frac{3\pi}{2}<x<\frac{5\pi}{2}\ \cup\ \frac{7\pi}{2}<x\leq 4\pi

vanno preservate per la prima disequazione, perché abbiamo coincidenza di segni.

Le soluzioni che rientrano nell'insieme

\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}\ \cup\ \frac{5\pi}{2}<x<\frac{7\pi}{2}

vanno invece invertite per ottenere le altre soluzioni della prima disequazione.

Per "ricostruire" le soluzioni della disequazione

\sin(x)+x\cos(x)\geq 0

ti consiglio di disegnare un grafico molto grande per le soluzioni di \tan(x)>-x e di indicare con dei + e dei - le soluzioni, intervallo per intervallo. In questo modo ricavi che la disequazione

\sin(x)+x\cos(x)\geq 0

ammette come soluzioni

0\leq x<\alpha_2\ \vee\ \alpha_3<x<\alpha_4\ \vee\ \alpha_5\leq 4\pi

intervalli su cui la funzione f(x)=x\sin(x) è crescente. Sugli altri intervalli la funzione è decrescente, per cui x=\alpha_2,\ x=\alpha_4 sono punti di massimo mentre x=\alpha_1=0,\ x=\alpha_3,\ x=\alpha_5 sono punti di minimo.

A tuo uso e consumo il grafico della funzione su [0,4\pi]

grafico su 0 4pi

e su [-4\pi,4\pi]

grafico su 4pi 4pi
Ringraziano: Galois, CarFaby, gcappellotto47
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