Esercizio con struttura algebrica, monoide e operazione

Salve, avrei bisogno di delucidazioni su questo esercizio su strutture algebriche, monoidi e operazioni. Non mi sono chiare le regole che definiscono le strutture algebriche.

Sia l'insieme dei numeri interi multipli di 3. Si consideri l'operazione definita ponendo, per ogni



1) Si dimostri che la struttura algebrica è un monoide commutativo.

2) Si determini il gruppo degli elementi invertibili del monoide .

3) Si stabilisca se l'insieme 3 dei multipli positivi di 3 è un sottomonoide di .

Grazie anticipatamente per qualsiasi aiuto possiate darmi per chiarire questo tipo di esercizi.

Salve Luca82.

L'esercizio da te proposto su strutture algebriche e monoidi, coinvolge un bel po' di concetti, quali le definizioni di monoide e sottomonoide e di elementi invertibili di un monoide. Procediamo quindi con ordine richiamando, man mano, la teoria necessaria.


Un monoide è una struttura algebrica:

- dotata di un'operazione binaria associativa;

- che ha un elemento neutro (che denoterò con ).

Nell'esercizio in esame la struttura algebrica data è , dove è l'insieme dei numeri interi multipli di 3 e è l'operazione così definita:

per ogni

Per inciso, con si denota l'usuale prodotto tra numeri interi relativi.

Chiarito ciò, dobbiamo dimostrare che è un monoide commutativo e per farlo dobbiamo provare che:

1) è un insieme chiuso rispetto all'operazione , ossia che per ogni ;

2) gode della proprietà associativa ossia che per ogni ;

3) esiste l'elemento neutro, ossia esiste tale che per ogni

4) gode della proprietà commutativa, cioè per ogni .

Procediamo. Siano . Allora esistono tali che

.

Ora, per com'è definita l'operazione ,



in quanto è della forma 3 per numero intero, ossia è un multiplo di 3. Ciò dimostra che è chiuso rispetto a . Dimostriamo ora che è associativa. Abbiamo appena visto che



e, in modo analogo, si vede che



Allora, sempre per com'è definita l'operazione



e, allo stesso modo



potendo così concludere che vale la proprietà associativa.

Inoltre osserviamo che è l'elemento neutro per , infatti e per ogni abbiamo



e, analogamente



Cioè ha elemento neutro e, tale elemento è .

Infine, dal momento che il prodotto tra numeri interi è commutativo abbiamo che



ossia è commutativa.

Possiamo così concludere che è un monoide commutativo.

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La seconda richiesta dell'esercizio è quella di determinare il gruppo degli elementi invertibili di .
Ricordiamo che è un elemento invertibile se esiste un altro elemento, che indico con , con , tale che




Per com'è definita l'operazione ed essendo abbiamo che



dove sia che sono multipli di 3.

Morale della favola, gli elementi invertibili di sono tutti e soli quei multipli per 3 che, moltiplicati per un altro multiplo di 3 (gli ) danno come risultato 9. Evidentemente tali numeri sono solo .

Ossia il gruppo degli elementi invertibili del monoide è

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La terza ed ultima richiesta dell'esercizio è quella di stabilire se è un sottomonoide di .

In generale, se è un monoide ed è un sottoinsieme di , si dice che è un sottomonoide di se:

1) per ogni ;

2) l'elemento neutro di appartiene ad .

Nel caso in esame ed, evidentemente, . Inoltre, fissati due elementi di abbiamo che



e la proprietà 1) è soddisfatta. Inoltre in quanto ed è un numero naturale. È così soddisfatta anche la proprietà 2) e possiamo concludere che è un sottomonoide di .

Giusto per completezza ti faccio notare che , ossia il sottoinsieme dei multipli negativi di 3, non è un sottomonoide di . Infatti, fissati due elementi di abbiamo che



che non appartiene a .

È tutto!

Grazie di tutto! Gentilissimi!