Studiare una successione di funzioni definita a tratti
Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)
Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".
Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.
Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".
Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.
Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85271
![]() Nikor95 Punto | Ciao ragazzi, devo studiare la convergenza semplice e uniforme di questa successione di funzioni definita a tratti: ![]() Mi potreste spiegare bene i vari passaggi? Grazie mille in anticipo |
Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85307
![]() Omega Amministratore | Ciao Nikor95 ![]() Lo studio della convergenza puntuale e della convergenza uniforme di una successione di funzioni su un insieme Se esiste una funzione Cerchiamo di capire com'è fatta la successione di funzioni: ![]() Prima di tutto proviamo ad ordinare gli estremi degli intervalli coinvolti. Così facendo non è difficile convincersi che, affinché la definizione sia ben posta, deve risultare ![]() e da qui è immediato osservare che la successione di funzioni è ben definita solamente per ![]() Nel risolvere il sistema di disequazioni non dimenticare che Una volta chiarita la definizione della successione di funzioni, passiamo alla convergenza puntuale: per definizione ![]() esiste finito. Tale valore è definito proprio come il valore assunto dalla funzione limite Ti faccio notare che la definizione di convergenza puntuale stabilisce il metodo per lo studio: considero un valore di x fissato in D e calcolo il limite. Soffermiamoci per un momento sulla successione di funzioni assegnata: vi è un grado di difficoltà aggiuntivo, perché gli intervalli coinvolti nella definizione dipendono da Ad esempio, se per fissare le idee prendiamo ![]() ![]() quando ragioniamo con ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Questo esempio serve chiaramente solo per dare un'idea di come va gestita la dipendenza degli intervalli dall'indice. Ragionando per un attimo agli intervalli, si vede facilmente che ![]() ![]() ![]() ![]() Nota che di volta in volta ho incluso o escluso gli estremi "critici" a seconda dell'inclusione nell'intervallo originario di appartenenza. L'ultimo intervallo, in particolare, è quello dei punti che ci permettono di concludere che la successione di funzioni assegnata non converge nemmeno puntualmente in ![]() ![]() infatti in qualsiasi punto di tale intervallo la successione si riduce a valere definitivamente Dal momento che la successione di funzioni non converge puntualmente, non può nemmeno convergere uniformemente su |
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby |
Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85317
![]() Nikor95 Punto | Ciao Omega grazie per la risposta ti dico quello che non mi torna: A cosa serve ordinare gli estremi degli intervalli coinvolti, o meglio che significa quando dici (scusa il tu) che la successione è ben definita per Mi spiego meglio: quando farò tendere ![]() Io prima della tua risposta dicevo, più brutalmente, che quando n tende all'infinito Abbiamo detto che la successione non converge in ![]() ![]() La soluzione mi dice testualmente: "La successione converge a ![]() Scusa se non l'ho scritto prima ma è il risultato di un appello di Analisi 2 che la prof ha pubblicato ora. Il bello è che sul suo libro non ci sono successioni a tratti ma a quanto pare al compito le mette, e per di più senza svolgimento. Grazie ancora. |
Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85323
![]() Omega Amministratore | Procediamo con ordine. A cosa serve ordinare gli estremi degli intervalli coinvolti Se ad esempio consideri l'intervallo ![]() In questo senso è necessario considerare Abbiamo detto che la successione non converge in D perché se ![]() ![]() In quel caso bisogna affinare lo studio. Abbiamo convergenza puntuale su Nota inoltre che ho escluso l'estremo sinistro dall'intervallo. Il fatto è che, senza alcuna specificazione nella traccia, bisogna studiare la convergenza puntuale (ed uniforme) sul più grande insieme su cui è definita la successione di funzioni. In questo senso, le considerazioni relative al sottointervallo La soluzione mi dice testualmente: "La successione converge a ![]() Vediamo come raggiungere il risultato. Volendo estendere lo studio della convergenza puntuale ed uniforme sugli eventuali sottointervalli in cui si manifesta, dobbiamo necessariamente limitarci all'intervallo Studiamo quindi la convergenza uniforme di ![]() Per farlo dobbiamo considerare il limite ![]() dove ![]() ![]() e per definizione abbiamo convergenza uniforme Per calcolare il limite di convergenza uniforme si ragiona in modo diametralmente opposto rispetto allo studio della convergenza puntuale: qui dobbiamo considerare n fissato e lavorare sulle x. Guardiamo il limite ![]() Se consideriamo n fissato e cerchiamo l'estremo superiore richiesto, è facile vedere che esso è ![]() ![]() Considerando anche il limite, al crescere di Se invece ci restringiamo ad un qualsiasi intervallo ![]() Dunque possiamo concludere che la successione di funzioni converge puntualmente ed uniformemente a ![]() |
Ringraziano: CarFaby |
Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85327
![]() Nikor95 Punto | Ho capito perfettamente la prima parte ma ti pongo alcuni dubbi sulla convergenza uniforme, allora: Guardiamo il limite ![]() Se consideriamo n fissato e cerchiamo l'estremo superiore richiesto, è facile vedere che esso è ![]() ![]() ok Considerando anche il limite, al crescere di n il valore n dell'estremo superiore viene assunto su un intervallo sempre più piccolo, ma persistente nell'intorno destro di Non ho capito perchè il limite è infinito. Grazie ancora |
Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85330
![]() Omega Amministratore | Ti consiglio di rileggere con più calma. ![]() Guardiamo il limite ![]() Se consideriamo ![]() ![]() Ok Devi prendere il primo tratto in uno qualsiasi dei punti dell'intervallo in cui è definito, perché il terzo tratto è identicamente zero ed il secondo tratto assume in ogni punto valori inferiori ad Considerando anche il limite, al crescere di Non ho capito perché il limite è infinito. Ragiona così. Nel limite per la convergenza uniforme, devi calcolare il limite di una successione numerica. Tale successione numerica è definita mediante una sequenza di estremi superiori. Se calcoli il sup, ad ![]() ed il limite del sup varrà Ciò non accade nel caso dell'intervallo ![]() |
Ringraziano: CarFaby |
Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85336
![]() Nikor95 Punto | Ho riletto più attentamente tuttavia: Guardiamo il limite ![]() Se consideriamo ![]() ![]() Ok Devi prendere il primo tratto in uno qualsiasi dei punti dell'intervallo in cui è definito, perché il terzo tratto è identicamente zero ed il secondo tratto assume in ogni punto valori inferiori ad Se devo prendere il primo pezzo che sarebbe infatti il termine ![]() ![]() Potresti essere così gentile dal svolgere più esplicitamente questo limite del sup. |
Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85353
![]() Omega Amministratore | Mi sembra che tu ti sia fatto (ancor prima di cominciare) un'idea sulla risoluzione dell'esercizio, il che va bene, ma temo che tu stia cercando di piegare la mia spiegazione ai tuoi preconcetti (sbagliati), e questo non fa bene a nessuno. Soprattutto a te. In particolare mi sembra che tu abbia l'impressione che io abbia omesso qualche passaggio, e ti assicuro che non è il caso. Libera la mente da quello che credi di aver capito. Se devi determinare ![]() devi necessariamente considerare i tre contributi della successione di funzioni che ricadono nell'intervallo ![]() È a questo punto, dopo aver effettuato il confronto, che capisci che il contributo dominante è quello di Da come scrivi sembra invece che tu consideri Ti ri-consiglio di liberare la mente, far passare un po' di tempo e rileggerti tutto con calma e attenzione. |
Ringraziano: CarFaby |
Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85463
![]() Nikor95 Punto | Innanzitutto Omega ti ringrazio adesso ho finalmente capito questo esercizio! Mi scuso se ho fatto sembrare la tua risposta poco completa non era mia intenzione. |
Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85465
![]() Omega Amministratore | Ma figurati! ![]() Noi siamo al vostro servizio, quindi ciò che conta è che alla fine sia tutto chiaro. ![]() Insistevo più che altro perché avevo l'impressione (e ovviamente posso sbagliarmi) che avessi letto alcuni passaggi di fretta, e la fretta è uno dei nemici più pericoloso nello studio della Matematica. Quando vuoi sai dove trovarci! |
|