Studiare una successione di funzioni definita a tratti

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Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85271

avt
Nikor95
Punto
Ciao ragazzi, devo studiare la convergenza semplice e uniforme di questa successione di funzioni definita a tratti:

\begin{cases}n & x\in\left[0,\frac{1}{n}\right]\ \cup\ \left[\frac{1}{2}+\frac{2}{n},1\right]\\ & \\ 0 & x\in\left[ \frac{2}{n},\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right]\\ & \\ n^2\left(\frac{2}{n}-x\right) & x\in\left(\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right)\\ & \\ n^2\left(x-\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\right) & x\in\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n},\frac{1}{2}+\frac{2}{n}\right)\end{cases}

Mi potreste spiegare bene i vari passaggi?

Grazie mille in anticipo
 
 

Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85307

avt
Omega
Amministratore
Ciao Nikor95 emt

Lo studio della convergenza puntuale e della convergenza uniforme di una successione di funzioni su un insieme D prevede di studiare prima di tutto il limite di convergenza puntuale f(x).

Se esiste una funzione f(x) che è limite puntuale per la successione di funzioni \{f_n(x)\}_n per x\in D, allora ha senso passare allo studio della convergenza uniforme di f_n\to f su D.

Cerchiamo di capire com'è fatta la successione di funzioni:

f_n(x)=\begin{cases}n & x\in\left[0,\frac{1}{n}\right]\ \cup\ \left[\frac{1}{2}+\frac{2}{n},1\right]\\ & \\ 0 & x\in\left[ \frac{2}{n},\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right]\\ & \\ n^2\left(\frac{2}{n}-x\right) & x\in\left(\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right)\\ & \\ n^2\left(x-\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\right) & x\in\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n},\frac{1}{2}+\frac{2}{n}\right)\end{cases}

Prima di tutto proviamo ad ordinare gli estremi degli intervalli coinvolti. Così facendo non è difficile convincersi che, affinché la definizione sia ben posta, deve risultare

0<\frac{1}{n}<\frac{2}{n}<\frac{1}{2}+\frac{1}{n}<\frac{1}{2}+\frac{2}{n}<1

e da qui è immediato osservare che la successione di funzioni è ben definita solamente per n\geq 5. Puoi dedurlo a occhio, oppure puoi risolvere manualmente le disequazioni fratte coinvolte ed in particolare le uniche non banali

\\ \begin{cases}\frac{2}{n}<\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\\ \frac{1}{2}+\frac{2}{n}<1 \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases}\frac{1}{n}<\frac{1}{2}\\ \frac{2}{n}<\frac{1}{2} \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases}n>2\\ n>4 \end{cases}

Nel risolvere il sistema di disequazioni non dimenticare che n\in\mathbb{N} è un numero naturale.

Una volta chiarita la definizione della successione di funzioni, passiamo alla convergenza puntuale: per definizione \{f_n(x)\}_n converge puntualmente a f(x) su D se, \forall x\in D fissato, risulta che il limite

\lim_{n\to +\infty}f_n(x)

esiste finito. Tale valore è definito proprio come il valore assunto dalla funzione limite f in x.

Ti faccio notare che la definizione di convergenza puntuale stabilisce il metodo per lo studio: considero un valore di x fissato in D e calcolo il limite.

Soffermiamoci per un momento sulla successione di funzioni assegnata: vi è un grado di difficoltà aggiuntivo, perché gli intervalli coinvolti nella definizione dipendono da n. Ciò fa sì che, nel calcolo del limite ad un valore di x fissato, dovremo considerare diversi rami della successione man mano che facciamo crescere n.

Ad esempio, se per fissare le idee prendiamo x=\frac{1}{10} e calcoliamo il limite

\lim_{n\to +\infty}f_n\left(\frac{1}{10}\right)

quando ragioniamo con n=5,6,7,8,9,10 abbiamo come termine di riferimento n, perché \frac{1}{10}\in\left[0,\frac{1}{n}\right]; per valori crescenti di n la nostra ascissa x=\frac{1}{10} ricadrà nell'intervallo \left(\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right). Da un certo valore di n in poi, infine, risulterà che \frac{1}{10}\in\left[\frac{2}{n},\frac{1}{2}\right] definitivamente e dunque il termine di riferimento sarà zero.

\lim_{n\to +\infty}f_n\left(\frac{1}{10}\right)=0

Questo esempio serve chiaramente solo per dare un'idea di come va gestita la dipendenza degli intervalli dall'indice.

Ragionando per un attimo agli intervalli, si vede facilmente che

\left[0,\frac{1}{n}\right] si riduce a un punto;

\left(\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right) si riduce all'insieme vuoto;

\left[\frac{2}{n},\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right] diventerà \left(0,\frac{1}{2}\right]

\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n},\frac{1}{2}+\frac{2}{n}\right) si ridurrà all'insieme vuoto;

\left[\frac{1}{2}+\frac{2}{n},1\right] diventerà \left(\frac{1}{2},1\right]

Nota che di volta in volta ho incluso o escluso gli estremi "critici" a seconda dell'inclusione nell'intervallo originario di appartenenza.

L'ultimo intervallo, in particolare, è quello dei punti che ci permettono di concludere che la successione di funzioni assegnata non converge nemmeno puntualmente in D=[0,1], perché per ogni x\in \left(\frac{1}{2},1\right] risulta che

\lim_{n\to +\infty}f_n(x)=+\infty

infatti in qualsiasi punto di tale intervallo la successione si riduce a valere definitivamente n.

Dal momento che la successione di funzioni non converge puntualmente, non può nemmeno convergere uniformemente su [0,1].
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby

Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85317

avt
Nikor95
Punto
Ciao Omega grazie per la risposta ti dico quello che non mi torna:

A cosa serve ordinare gli estremi degli intervalli coinvolti, o meglio che significa quando dici (scusa il tu) che la successione è ben definita per n\geq 5\ ? Serve a capire quale degli estremi comprendere?

Mi spiego meglio: quando farò tendere n all'infinito due dei tratti cioè \left[\frac{1}{2}+\frac{2}{n},1\right]\mbox{ e }\left[\frac{2}{n},\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right] tenderanno a comprendere \frac{1}{2}.

Io prima della tua risposta dicevo, più brutalmente, che quando n tende all'infinito \frac{1}{n} tende a zero più "velocemente" di \frac{2}{n} perciò sarà il secondo intervallo a comprenderlo (dei due che ho scritto sopra).


Abbiamo detto che la successione non converge in D perché se x \in \left(\frac{1}{2},1\right] il limite è infinito, e va bene. Ma se invece x\in\left[0,\frac{1}{2}\right]\ ?


La soluzione mi dice testualmente: "La successione converge a f(x)=0 per x\in\left(0,\frac{1}{2}\right], non converge altrove. La convergenza è uniforme in \left[a,\frac{1}{2}\right] per ogni a>0, ma non in \left(0,\frac{1}{2}\right]"

Scusa se non l'ho scritto prima ma è il risultato di un appello di Analisi 2 che la prof ha pubblicato ora. Il bello è che sul suo libro non ci sono successioni a tratti ma a quanto pare al compito le mette, e per di più senza svolgimento.

Grazie ancora.

Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85323

avt
Omega
Amministratore
Procediamo con ordine.

A cosa serve ordinare gli estremi degli intervalli coinvolti

Se ad esempio consideri l'intervallo \left[\frac{1}{2}+\frac{2}{n},1\right] e scegli n=3, ottieni \left[\frac{7}{6},1\right] e la definizione perde di significato.

In questo senso è necessario considerare n\geq 5 affinché la definizione sia ben posta, altrimenti ti ritrovi con una successione di funzioni la cui definizione non ha significato.

Abbiamo detto che la successione non converge in D perché se x \in \left ( \frac{1}{2},1 \right] il limite è infinito, e va bene. Ma se invece x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]\ ?

In quel caso bisogna affinare lo studio.

Abbiamo convergenza puntuale su \left(0,\frac{1}{2}\right] (l'ho dimostrato implicitamente con le considerazioni relative alle riduzioni dei singoli intervalli) ed il limite di convergenza puntuale è f(x)=0.

Nota inoltre che ho escluso l'estremo sinistro dall'intervallo.

Il fatto è che, senza alcuna specificazione nella traccia, bisogna studiare la convergenza puntuale (ed uniforme) sul più grande insieme su cui è definita la successione di funzioni. In questo senso, le considerazioni relative al sottointervallo \left(\frac{1}{2},1\right] erano sufficienti per concludere che \{f_n\}_n non converge puntualmente su [0,1].

La soluzione mi dice testualmente: "La successione converge a f(x)=0 per x \in  \left ( 0,\frac{1}{2} \right ], non converge altrove. La convergenza è uniforme in \left [ a,\frac{1}{2} \right ] per ogni a>0, ma non in \left ( 0,\frac{1}{2} \right ]"

Vediamo come raggiungere il risultato.

Volendo estendere lo studio della convergenza puntuale ed uniforme sugli eventuali sottointervalli in cui si manifesta, dobbiamo necessariamente limitarci all'intervallo \left(0,\frac{1}{2}\right] perché f_n(x) non ammette limite di convergenza puntuale finito né su \left(\frac{1}{2},1\right], né in x=0.


Studiamo quindi la convergenza uniforme di f_n a f(x)=0 sull'intervallo \tilde{D}=\left(0,\frac{1}{2}\right].

Per farlo dobbiamo considerare il limite

\lim_{n\to +\infty}||f-f_n||_{\infty,\tilde{D}}

dove ||\cdot||_{\infty,\tilde{D}} indica la norma infinito sull'insieme \tilde{D}. Esplicitamente

\lim_{n\to +\infty}\mbox{sup}_{x\in \tilde{D}}|f(x)-f_n(x)|

e per definizione abbiamo convergenza uniforme f_n\to f su \tilde{D} se il precedente limite vale zero, in caso contrario no.

Per calcolare il limite di convergenza uniforme si ragiona in modo diametralmente opposto rispetto allo studio della convergenza puntuale: qui dobbiamo considerare n fissato e lavorare sulle x.

Guardiamo il limite

\lim_{n\to +\infty}\mbox{sup}_{x\in \left(0,\frac{1}{2}\right]}|f(x)-f_n(x)|

Se consideriamo n fissato e cerchiamo l'estremo superiore richiesto, è facile vedere che esso è n infatti il termine n^2\left(\frac{2}{n}-x\right) ha come estremo superiore il valore n per x\in \left(\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right).

Considerando anche il limite, al crescere di n il valore n dell'estremo superiore viene assunto su un intervallo sempre più piccolo, ma persistente nell'intorno destro di x=0. In questo senso il limite di convergenza uniforme non è nullo (è infinito) e non abbiamo convergenza uniforme su \left(0,\frac{1}{2}\right].

Se invece ci restringiamo ad un qualsiasi intervallo \left[a,\frac{1}{2}\right], con 0<a<\frac{1}{2}, allora ragionando come in precedenza il limite varrà zero perché l'estremo superiore diventerà zero al crescere di n.

Dunque possiamo concludere che la successione di funzioni converge puntualmente ed uniformemente a f(x)=0 su qualsiasi intervallo del tipo \left[a,\frac{1}{2}\right] con 0<a<\frac{1}{2}.
Ringraziano: CarFaby

Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85327

avt
Nikor95
Punto
Ho capito perfettamente la prima parte ma ti pongo alcuni dubbi sulla convergenza uniforme, allora:

Guardiamo il limite

\lim_{n\to+\infty}\mbox{sup}_{x\in\left(0,\frac{1}{2}\right]}|f(x)-f_n(x)|

Se consideriamo n fissato e cerchiamo l'estremo superiore richiesto, è facile vedere che esso è n infatti il termine n^2\left(\frac{2}{n}-x\right) ha come estremo superiore il valore n per  x\in \left(\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right) .


ok f(x) è il limite puntuale e so che deve essere f(x)=0 ma come faccio a capire chi devo prendere per f_n(x) ?


Considerando anche il limite, al crescere di n il valore n dell'estremo superiore viene assunto su un intervallo sempre più piccolo, ma persistente nell'intorno destro di x=0. In questo senso il limite di convergenza uniforme non è nullo (è infinito) e non abbiamo convergenza uniforme su  \left(0,\frac{1}{2}\right] .


Non ho capito perchè il limite è infinito.

Grazie ancora

Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85330

avt
Omega
Amministratore
Ti consiglio di rileggere con più calma. emt

Guardiamo il limite

\lim_{n\to+\infty}\mbox{sup}_{x\in\left(0,\frac{1}{2}\right]}|f(x)-f_n(x)|

Se consideriamo n fissato e cerchiamo l'estremo superiore richiesto, è facile vedere che esso è n infatti il termine n^2\left(\frac{2}{n}-x\right) ha come estremo superiore il valore n per x\in \left(\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right)

Ok f(x) è il limite puntuale e so che deve essere f(x)=0 ma come faccio a capire chi devo prendere per f_n(x)\ ?

Devi prendere il primo tratto in uno qualsiasi dei punti dell'intervallo in cui è definito, perché il terzo tratto è identicamente zero ed il secondo tratto assume in ogni punto valori inferiori ad n.

Considerando anche il limite, al crescere di n il valore n dell'estremo superiore viene assunto su un intervallo sempre più piccolo, ma persistente nell'intorno destro di x=0. In questo senso il limite di convergenza uniforme non è nullo (è infinito) e non abbiamo convergenza uniforme su \left(0,\frac{1}{2}\right].


Non ho capito perché il limite è infinito.

Ragiona così. Nel limite per la convergenza uniforme, devi calcolare il limite di una successione numerica. Tale successione numerica è definita mediante una sequenza di estremi superiori.

Se calcoli il sup, ad n fissato, sull'intervallo \left(0,\frac{1}{2}\right], avrai una successione in cui ogni termine è n.

sup_{x\in \left(0,\frac{1}{2}\right]}|f(x)-f_n(x)|=n

ed il limite del sup varrà +\infty.

Ciò non accade nel caso dell'intervallo \left[a,\frac{1}{2}\right] con 0<a<\frac{1}{2}. In questo caso la successione di estremi superiori varrà definitivamente zero, basta considerare un \tilde{n} tale per cui \frac{2}{\tilde{n}}<a. Dunque il limite della successione dei sup varrà zero.
Ringraziano: CarFaby

Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85336

avt
Nikor95
Punto
Ho riletto più attentamente tuttavia:

Guardiamo il limite

\lim_{n\to+\infty}\mbox{sup}_{x\in\left(0,\frac{1}{2}\right]}|f(x)-f_n(x)|

Se consideriamo n fissato e cerchiamo l'estremo superiore richiesto, è facile vedere che esso è n infatti il termine n^2\left(\frac{2}{n}-x\right) ha come estremo superiore il valore n per x\in\left(\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right)

Ok f(x) è il limite puntuale e so che deve essere f(x)=0 ma come faccio a capire chi devo prendere per f_n(x)\ ?

Devi prendere il primo tratto in uno qualsiasi dei punti dell'intervallo in cui è definito, perché il terzo tratto è identicamente zero ed il secondo tratto assume in ogni punto valori inferiori ad n.

Se devo prendere il primo pezzo che sarebbe f_n(x)=n non riesco a capire cosa centra quel

infatti il termine n^2\left(\frac{2}{n}-x\right) ha come estremo superiore il valore n per x\in\left(\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right)


Potresti essere così gentile dal svolgere più esplicitamente questo limite del sup.

Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85353

avt
Omega
Amministratore
Mi sembra che tu ti sia fatto (ancor prima di cominciare) un'idea sulla risoluzione dell'esercizio, il che va bene, ma temo che tu stia cercando di piegare la mia spiegazione ai tuoi preconcetti (sbagliati), e questo non fa bene a nessuno. Soprattutto a te.

In particolare mi sembra che tu abbia l'impressione che io abbia omesso qualche passaggio, e ti assicuro che non è il caso.

Libera la mente da quello che credi di aver capito.

Se devi determinare

sup_{x\in \left(0,\frac{1}{2}\right]}|f(x)-f_n(x)|

devi necessariamente considerare i tre contributi della successione di funzioni che ricadono nell'intervallo \left(0,\frac{1}{2}\right]. Sono tre rami: n,\ n^2\left(\frac{2}{n}-x\right),\ 0.

È a questo punto, dopo aver effettuato il confronto, che capisci che il contributo dominante è quello di n.


Da come scrivi sembra invece che tu consideri n come estremo superiore per grazie ricevuta e a quel punto ti domandi: "cosa centrano gli altri termini?"


Ti ri-consiglio di liberare la mente, far passare un po' di tempo e rileggerti tutto con calma e attenzione.
Ringraziano: CarFaby

Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85463

avt
Nikor95
Punto
Innanzitutto Omega ti ringrazio adesso ho finalmente capito questo esercizio! Mi scuso se ho fatto sembrare la tua risposta poco completa non era mia intenzione.

Re: Studiare una successione di funzioni definita a tratti #85465

avt
Omega
Amministratore
Ma figurati! emt

Noi siamo al vostro servizio, quindi ciò che conta è che alla fine sia tutto chiaro. emt

Insistevo più che altro perché avevo l'impressione (e ovviamente posso sbagliarmi) che avessi letto alcuni passaggi di fretta, e la fretta è uno dei nemici più pericoloso nello studio della Matematica.

Quando vuoi sai dove trovarci!
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