Studiare una successione di funzioni definita a tratti

Ciao ragazzi, devo studiare la convergenza semplice e uniforme di questa successione di funzioni definita a tratti:

Mi potreste spiegare bene i vari passaggi?

Grazie mille in anticipo

Ciao Nikor95

Lo studio della convergenza puntuale e della convergenza uniforme di una successione di funzioni su un insieme prevede di studiare prima di tutto il limite di convergenza puntuale .

Se esiste una funzione che è limite puntuale per la successione di funzioni per , allora ha senso passare allo studio della convergenza uniforme di su .

Cerchiamo di capire com'è fatta la successione di funzioni:

Prima di tutto proviamo ad ordinare gli estremi degli intervalli coinvolti. Così facendo non è difficile convincersi che, affinché la definizione sia ben posta, deve risultare

e da qui è immediato osservare che la successione di funzioni è ben definita solamente per . Puoi dedurlo a occhio, oppure puoi risolvere manualmente le disequazioni fratte coinvolte ed in particolare le uniche non banali

Nel risolvere il sistema di disequazioni non dimenticare che è un numero naturale.

Una volta chiarita la definizione della successione di funzioni, passiamo alla convergenza puntuale: per definizione converge puntualmente a su se, fissato, risulta che il limite

esiste finito. Tale valore è definito proprio come il valore assunto dalla funzione limite in .

Ti faccio notare che la definizione di convergenza puntuale stabilisce il metodo per lo studio: considero un valore di x fissato in D e calcolo il limite.

Soffermiamoci per un momento sulla successione di funzioni assegnata: vi è un grado di difficoltà aggiuntivo, perché gli intervalli coinvolti nella definizione dipendono da . Ciò fa sì che, nel calcolo del limite ad un valore di x fissato, dovremo considerare diversi rami della successione man mano che facciamo crescere .

Ad esempio, se per fissare le idee prendiamo e calcoliamo il limite

quando ragioniamo con abbiamo come termine di riferimento , perché ; per valori crescenti di la nostra ascissa ricadrà nell'intervallo . Da un certo valore di in poi, infine, risulterà che definitivamente e dunque il termine di riferimento sarà zero.

Questo esempio serve chiaramente solo per dare un'idea di come va gestita la dipendenza degli intervalli dall'indice.

Ragionando per un attimo agli intervalli, si vede facilmente che

si riduce a un punto;

si riduce all'insieme vuoto;

diventerà

si ridurrà all'insieme vuoto;

diventerà

Nota che di volta in volta ho incluso o escluso gli estremi "critici" a seconda dell'inclusione nell'intervallo originario di appartenenza.

L'ultimo intervallo, in particolare, è quello dei punti che ci permettono di concludere che la successione di funzioni assegnata non converge nemmeno puntualmente in , perché per ogni risulta che

infatti in qualsiasi punto di tale intervallo la successione si riduce a valere definitivamente .

Dal momento che la successione di funzioni non converge puntualmente, non può nemmeno convergere uniformemente su .

Ciao Omega grazie per la risposta ti dico quello che non mi torna:

A cosa serve ordinare gli estremi degli intervalli coinvolti, o meglio che significa quando dici (scusa il tu) che la successione è ben definita per Serve a capire quale degli estremi comprendere?

Mi spiego meglio: quando farò tendere all'infinito due dei tratti cioè tenderanno a comprendere .

Io prima della tua risposta dicevo, più brutalmente, che quando n tende all'infinito tende a zero più "velocemente" di perciò sarà il secondo intervallo a comprenderlo (dei due che ho scritto sopra).

Abbiamo detto che la successione non converge in perché se il limite è infinito, e va bene. Ma se invece

La soluzione mi dice testualmente: "La successione converge a per , non converge altrove. La convergenza è uniforme in per ogni , ma non in "

Scusa se non l'ho scritto prima ma è il risultato di un appello di Analisi 2 che la prof ha pubblicato ora. Il bello è che sul suo libro non ci sono successioni a tratti ma a quanto pare al compito le mette, e per di più senza svolgimento.

Grazie ancora.

Procediamo con ordine.

Se ad esempio consideri l'intervallo e scegli , ottieni e la definizione perde di significato.

In questo senso è necessario considerare affinché la definizione sia ben posta, altrimenti ti ritrovi con una successione di funzioni la cui definizione non ha significato.

Abbiamo detto che la successione non converge in D perché se il limite è infinito, e va bene. Ma se invece

In quel caso bisogna affinare lo studio.

Abbiamo convergenza puntuale su (l'ho dimostrato implicitamente con le considerazioni relative alle riduzioni dei singoli intervalli) ed il limite di convergenza puntuale è .

Nota inoltre che ho escluso l'estremo sinistro dall'intervallo.

Il fatto è che, senza alcuna specificazione nella traccia, bisogna studiare la convergenza puntuale (ed uniforme) sul più grande insieme su cui è definita la successione di funzioni. In questo senso, le considerazioni relative al sottointervallo erano sufficienti per concludere che non converge puntualmente su .

La soluzione mi dice testualmente: "La successione converge a per , non converge altrove. La convergenza è uniforme in per ogni , ma non in "

Vediamo come raggiungere il risultato.

Volendo estendere lo studio della convergenza puntuale ed uniforme sugli eventuali sottointervalli in cui si manifesta, dobbiamo necessariamente limitarci all'intervallo perché non ammette limite di convergenza puntuale finito né su , né in .

Studiamo quindi la convergenza uniforme di a sull'intervallo .

Per farlo dobbiamo considerare il limite

dove indica la norma infinito sull'insieme . Esplicitamente

e per definizione abbiamo convergenza uniforme su se il precedente limite vale zero, in caso contrario no.

Per calcolare il limite di convergenza uniforme si ragiona in modo diametralmente opposto rispetto allo studio della convergenza puntuale: qui dobbiamo considerare n fissato e lavorare sulle x.

Guardiamo il limite

Se consideriamo n fissato e cerchiamo l'estremo superiore richiesto, è facile vedere che esso è infatti il termine ha come estremo superiore il valore per .

Considerando anche il limite, al crescere di il valore dell'estremo superiore viene assunto su un intervallo sempre più piccolo, ma persistente nell'intorno destro di . In questo senso il limite di convergenza uniforme non è nullo (è infinito) e non abbiamo convergenza uniforme su .

Se invece ci restringiamo ad un qualsiasi intervallo , con , allora ragionando come in precedenza il limite varrà zero perché l'estremo superiore diventerà zero al crescere di .

Dunque possiamo concludere che la successione di funzioni converge puntualmente ed uniformemente a su qualsiasi intervallo del tipo con .

Ho capito perfettamente la prima parte ma ti pongo alcuni dubbi sulla convergenza uniforme, allora:

ok è il limite puntuale e so che deve essere ma come faccio a capire chi devo prendere per ?

Considerando anche il limite, al crescere di n il valore n dell'estremo superiore viene assunto su un intervallo sempre più piccolo, ma persistente nell'intorno destro di . In questo senso il limite di convergenza uniforme non è nullo (è infinito) e non abbiamo convergenza uniforme su .

Non ho capito perchè il limite è infinito.

Grazie ancora

Ti consiglio di rileggere con più calma.

Devi prendere il primo tratto in uno qualsiasi dei punti dell'intervallo in cui è definito, perché il terzo tratto è identicamente zero ed il secondo tratto assume in ogni punto valori inferiori ad .

Considerando anche il limite, al crescere di il valore dell'estremo superiore viene assunto su un intervallo sempre più piccolo, ma persistente nell'intorno destro di . In questo senso il limite di convergenza uniforme non è nullo (è infinito) e non abbiamo convergenza uniforme su .

Non ho capito perché il limite è infinito.

Ragiona così. Nel limite per la convergenza uniforme, devi calcolare il limite di una successione numerica. Tale successione numerica è definita mediante una sequenza di estremi superiori.

Se calcoli il sup, ad fissato, sull'intervallo , avrai una successione in cui ogni termine è .

ed il limite del sup varrà .

Ciò non accade nel caso dell'intervallo con . In questo caso la successione di estremi superiori varrà definitivamente zero, basta considerare un tale per cui . Dunque il limite della successione dei sup varrà zero.

Ho riletto più attentamente tuttavia:

Guardiamo il limite

Se consideriamo fissato e cerchiamo l'estremo superiore richiesto, è facile vedere che esso è infatti il termine ha come estremo superiore il valore per

Ok è il limite puntuale e so che deve essere ma come faccio a capire chi devo prendere per

Devi prendere il primo tratto in uno qualsiasi dei punti dell'intervallo in cui è definito, perché il terzo tratto è identicamente zero ed il secondo tratto assume in ogni punto valori inferiori ad .

Se devo prendere il primo pezzo che sarebbe non riesco a capire cosa centra quel

infatti il termine ha come estremo superiore il valore n per

Potresti essere così gentile dal svolgere più esplicitamente questo limite del sup.

Mi sembra che tu ti sia fatto (ancor prima di cominciare) un'idea sulla risoluzione dell'esercizio, il che va bene, ma temo che tu stia cercando di piegare la mia spiegazione ai tuoi preconcetti (sbagliati), e questo non fa bene a nessuno. Soprattutto a te.

In particolare mi sembra che tu abbia l'impressione che io abbia omesso qualche passaggio, e ti assicuro che non è il caso.

Libera la mente da quello che credi di aver capito.

Se devi determinare

devi necessariamente considerare i tre contributi della successione di funzioni che ricadono nell'intervallo . Sono tre rami: .

È a questo punto, dopo aver effettuato il confronto, che capisci che il contributo dominante è quello di .

Da come scrivi sembra invece che tu consideri come estremo superiore per grazie ricevuta e a quel punto ti domandi: "cosa centrano gli altri termini?"

Ti ri-consiglio di liberare la mente, far passare un po' di tempo e rileggerti tutto con calma e attenzione.

Innanzitutto Omega ti ringrazio adesso ho finalmente capito questo esercizio! Mi scuso se ho fatto sembrare la tua risposta poco completa non era mia intenzione.

Ma figurati!

Noi siamo al vostro servizio, quindi ciò che conta è che alla fine sia tutto chiaro.

Insistevo più che altro perché avevo l'impressione (e ovviamente posso sbagliarmi) che avessi letto alcuni passaggi di fretta, e la fretta è uno dei nemici più pericoloso nello studio della Matematica.

Quando vuoi sai dove trovarci!