Massimi e minimi funzione trigonometrica con valore assoluto

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Massimi e minimi funzione trigonometrica con valore assoluto #85179

avt
samx
Punto
Ciao, ho un quesito su massimi e minimi di una funzione trigonometrica con valore assoluto. Data questa funzione:

f(x)=\tan(x^2+1)-|x|

ho una scelta multipla tra le seguenti possibilità:

- minimo per x compreso tra \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)
- massimo per x compreso tra \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)
- massimo x=0
- minimo per x=-1

Io ho fatto la derivata prima della funzione ed ho imposto f'(x)=0 per trovare i punti di max/min, ma non riesco a trarne conclusioni se non x=0.
 
 

Massimi e minimi funzione trigonometrica con valore assoluto #85183

avt
Omega
Amministratore
Quando abbiamo funzioni in cui compaiono funzioni trigonometriche, quali la tangente, mischiate ad altri termini bisogna procedere con i piedi di piombo.

Il caso in question non esula dalla regola, tant'è che è impensabile effettuare uno studio di funzione completo e non a caso la traccia dell'esercizio è parecchio edulcorata e chiede implicitamente di limitare le nostre considerazioni all'intervallo \left(-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right).

f(x)=\tan(x^2+1)-|x|

Il punto di partenza consiste nel determinare il dominio della funzione; l'unica condizione da imporre è relativa all'argomento della tangente, che non è definita nei punti del tipo \frac{\pi}{2}+k\pi con k nell'insieme dei numeri relativi.

x^2+1\neq \frac{\pi}{2}+k\pi

da cui ricaviamo

x^2\neq \frac{\pi}{2}-1+k\pi

ossia

x\neq \pm\sqrt{\frac{\pi}{2}-1+k\pi}\mbox{ con }k\in\mathbb{Z}

L'intervallo contenente x=0 è quello ottenuto per k=0

0\in \left(-\sqrt{\frac{\pi}{2}-1},+\sqrt{\frac{\pi}{2}-1}\right)

i cui estremi valgono approssimativamente \pm0,75 e in particolare notiamo che

\left(-\sqrt{\frac{\pi}{2}-1},+\sqrt{\frac{\pi}{2}-1}\right)\subset \left(-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right)

È inoltre facile vedere che abbiamo a che fare con una funzione pari, dunque simmetrica rispetto all'asse delle y

f(-x)=\tan((-x)^2+1)+|-x|=\tan(x^2+1)+|x|=f(x)

e che, per il comportamento della tangente, la funzione divergerà positivamente e negativamente nell'intorno dei punti esclusi dal dominio. Da qui è immediato dedurre che essa non ammette massimi né minimi assoluti.

Passiamo allo studio di massimi e minimi e a tal proposito calcoliamo la derivata:

\\ f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x^2+1)}\cdot (2x)-\frac{x}{|x|}\\ \\ f'(x)=\frac{2x}{\cos^2(x^2+1)}-\frac{x}{|x|}

Per determinarla ho fatto ricorso al teorema di derivazione della funzione composta e ho tenuto a mente le derivate fondamentali.


Ora attenzione: il valore assoluto è una funzione non derivabile in x=0, teniamolo a mente.

Cerchiamo gli zeri della derivata e studiamone il segno:

\\ f'(x)\geq 0\\ \\ \frac{2x}{\cos^2(x^2+1)}-\frac{x}{|x|}\geq 0

non è semplicissimo, vero? Se però ci ricordiamo che la funzione è pari, possiamo limitarci a lavorare sull'intervallo \left(0,\frac{\pi}{2}\right) e qui la disequazione

\frac{2x}{\cos^2(x^2+1)}-\frac{x}{|x|}\geq 0

si semplifica parecchio. Tolto il punto x=+\sqrt{\frac{\pi}{2}-1} (escluso dal dominio), possiamo riscriverla nella forma

\frac{2x}{\cos^2(x^2+1)}-\frac{x}{+x}\geq 0

ossia

\frac{2x}{\cos^2(x^2+1)}-1\geq 0

ossia

\frac{2x-\cos^2(x^2+1)}{\cos^2(x^2+1)}\geq 0

Il denominatore è positivo nell'insieme considerato, per cui ci riduciamo a

2x-\cos^2(x^2+1)\geq 0

da cui

2x\geq \cos^2(x^2+1)

vale a dire una simpatica disequazione trascendente, fortunatamente non troppo impegnativa.

Ragioniamo su x\in \left(0,\sqrt{\frac{\pi}{2}-1}\right)\cup\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}-1},\frac{\pi}{2}\right):

- risulta che y=2x cresce da y=0 a y=\pi;

- risulta che y=x^2+1 cresce da y=0 a y=\frac{\pi^2}{4}+1\simeq 3,46, quindi y=\cos^2(x^2+1) partirà da y=\cos^2(1)\simeq 0,29, decrescerà fino a zero in x=\sqrt{\frac{\pi}{2}-1} dopodiché riprenderà a crescere. In ogni caso non potrà superare il valore y=1.

disequazione trascendente con 2x e coseno

Le precedenti considerazioni ci permettono di concludere che esiste un punto x=\alpha\in \left(0,\sqrt{\frac{\pi}{2}-1}\right) tale per cui la disequazione

\frac{2x-\cos^2(x^2+1)}{\cos^2(x^2+1)}\geq 0

ammette soluzioni per \alpha<x<\sqrt{\frac{\pi}{2}-1}\vee \sqrt{\frac{\pi}{2}-1}<x<\frac{\pi}{2}.

In sintesi, f(x) è crescente per \alpha<x<\sqrt{\frac{\pi}{2}-1}\vee \sqrt{\frac{\pi}{2}-1}<x<\frac{\pi}{2} (derivata prima strettamente positiva) e decrescente per 0<x<\alpha (derivata prima strettamente negativa).

Ne consegue che f(x) ammette un punto di minimo relativo in x=\alpha; la simmetria rispetto all'asse delle y ci permette anche di dedurre che essa presenta un punto di minimo relativo anche in x=-\alpha, e che in x=0 è presente un punto di massimo relativo (la funzione non è ivi derivabile ma è ben definita!).

A tuo uso e consumo, ecco il grafico della funzione

grafico complessivo

Sull'intervallo \left(-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right)

grafico per massimi e minimi

Dettaglio

dettaglio

Lascio a te l'onere e l'onore di stabilire quali opzioni di risposta sono vere e quali false.
Ringraziano: Galois, CarFaby

Re: Massimi e minimi funzione trigonometrica con valore assoluto #85196

avt
samx
Punto
Grazie infinite per la chiarezza e per la tempestività!

Non considerando il campo di esistenza della funzione mi perdevo molte considerazioni! Inoltre mi bloccavo proprio nella risoluzione della equazione trascendente che, effettivamente, non si può risolvere algebricamente.

Il procedimento mi è tutto chiaro, trovo però ancora un po' di incertezza nel decretare quale risposta sia quella giusta. Io dedurrei che: dato che nell'intervallo \left (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}  \right ) c'è sia un max in x=0, sia un min in x=\pm \alpha, la risposta corretta sia: massimo per \left (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}  \right ).

Altrimenti avrebbero scritto al plurale i punti di minimo giusto?

Grazie ancora!
Ringraziano: Omega

Re: Massimi e minimi funzione trigonometrica con valore assoluto #85197

avt
Omega
Amministratore
Prego! emt

Occhio: quando si parla di minimo o di massimo ci si riferisce al valore assunto dalla funzione (y) e non al punto in cui viene assunto (x).

Ne consegue che possono esserci più punti (punti di massimo/minimo) in cui la funzione assume lo stesso valore (massimo/minimo).

Di conseguenza si conclude che l'unica affermazione falsa è la quarta.

Re: Massimi e minimi funzione trigonometrica con valore assoluto #85212

avt
samx
Punto
Chiedevo conferma proprio perchè è un test a risposta multipla e quella corretta è teoricamente una sola.. emt

Re: Massimi e minimi funzione trigonometrica con valore assoluto #85215

avt
Omega
Amministratore
In tal caso ci sono due eventualità:

- la traccia è stata mal posta da parte di chi l'ha redatta originariamente;

- la trascrizione che hai riportato nel primo messaggio non è letterale.

Potresti cortesemente inviarci una foto della traccia via mail?

Re: Massimi e minimi funzione trigonometrica con valore assoluto #85216

avt
samx
Punto
Inviata

Re: Massimi e minimi funzione trigonometrica con valore assoluto #85239

avt
Omega
Amministratore
Ok emt

Volendo necessariamente trovare un'unica opzione di risposta, e quindi volendo interpretare a tal proposito certe affermazioni come false, scegliamo la terza.

Questo perché, a fortiori, siamo indotti a considerare le espressioni "per x\in\left(-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right)" come "per qualsiasi x" e non "per un certo x" nell'intervallo.
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Os