Carattere di una serie con radici quarte e parametro

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Carattere di una serie con radici quarte e parametro #84669

avt
Andrea.snooker
Punto
Gentile staff, mi spiegate come studiare il carattere di una serie con differenza di radici quarte e dipendente da un parametro?

\sum_{n=5}^{+\infty}\left|\frac{1}{\sqrt[4]{n^{4}+n^{3}}-\sqrt[4]{n^{4}+n}}-4\right|^{\alpha}

Grazie mille!
 
 

Re: Carattere di una serie con radici quarte e parametro #84672

avt
Omega
Amministratore
Ciao Andrea,

per studiare la serie ci appelleremo al criterio del confronto asintotico, il che è lecito perché la presenza del valore assoluto rende il termine generale della serie non negativo.

\sum_{n=5}^{+\infty}\left|\frac{1}{\sqrt[4]{n^{4}+n^{3}}-\sqrt[4]{n^{4}+n}}-4\right|^{\alpha}

Ragioniamo nel modo seguente: limitiamoci al rapporto

\frac{1}{\sqrt[4]{n^{4}+n^{3}}-\sqrt[4]{n^{4}+n}}

e raccogliamo i termini di grado massimo nei rispettivi radicandi

\frac{1}{\sqrt[4]{n^4\left(1+\frac{1}{n}\right)}-\sqrt[4]{n^4\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}}

da cui

\frac{1}{n\sqrt[4]{\left(1+\frac{1}{n}\right)}-n\sqrt[4]{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}}

Ora per determinare una stima asintotica utilizziamo il metodo degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin per le successioni, il quale grazie al teorema ponte ci permette di ricondurci agli sviluppi per funzioni.

In riferimento alla tabella degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin notevoli, possiamo usare lo sviluppo per funzioni del tipo (1+x)^{\alpha}.

Sviluppiamo entrambi gli addendi non oltre il terzo ordine:

(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3+o(x^3)

Procediamo con il termine

\sqrt[4]{\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{4}}

prendendo x=\frac{1}{n} nello sviluppo e \alpha=\frac{1}{4}. Ricaviamo

\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{4n}-\frac{3}{32n^2}+\frac{7}{128n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)

Per il secondo termine

\sqrt[4]{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}=\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{\frac{1}{4}}

prendiamo x=\frac{1}{n^3} nello sviluppo e \alpha=\frac{1}{4}. In questo caso possiamo arrestarci al primo ordine perché il termine di sostituzione è dato da un cubo

\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{\frac{1}{4}}=1+\frac{1}{4n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)

Rimettiamo tutto insieme

\\ n\sqrt[4]{\left(1+\frac{1}{n}\right)}-n\sqrt[4]{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}=\\ \\ \\ =n\left[1+\frac{1}{4n}-\frac{3}{32n^2}+\frac{7}{128n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)\right]-n\left[1+\frac{1}{4n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)\right]=\\ \\ \\ =n+\frac{1}{4}-\frac{3}{32n}+\frac{7}{128n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)-n-\frac{1}{4n^2}-o\left(\frac{1}{n^2}\right)=

Per una semplice regola dell'algebra degli o-piccolo

=\frac{1}{4}-\frac{3}{32n}+\frac{7}{128n^2}-\frac{1}{4n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)=

Portiamo tutto a denominatore comune

=\frac{32n^2-12n-25+o(1)}{128n^2}

Ora passiamo al reciproco

\\ \frac{1}{n\sqrt[4]{\left(1+\frac{1}{n}\right)}-n\sqrt[4]{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}}=\frac{1}{\frac{32n^2-12n-25+o(1)}{128n^2}}=\\ \\ \\ \frac{128n^2}{32n^2-12n-25+o(1)}

e consideriamo la differenza

\\ \frac{1}{n\sqrt[4]{\left(1+\frac{1}{n}\right)}-n\sqrt[4]{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}}-4=\\ \\ \\ \frac{128n^2}{32n^2-12n-25+o(1)}-4=\\ \\ \\ \frac{128n^2-128n^2+48n-100+o(1)}{32n^2-12n-25+o(1)}=\\ \\ \\ \frac{48n-100+o(1)}{32n^2-12n-25+o(1)}

Ci siamo: ora possiamo scrivere la stima asintotica considerando solamente gli infiniti di ordine superiore tra numeratore e denominatore

\frac{1}{n\sqrt[4]{\left(1+\frac{1}{n}\right)}-n\sqrt[4]{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}}-4\sim_{n\to +\infty}\frac{48n}{32n^2}=\frac{3}{2n}

In definitiva ci siamo ricondotti, per confronto asintotico, allo studio della serie

\sum_{n=5}^{+\infty}\left|\frac{3}{2n}\right|^{\alpha}

o, con un opportuno raccoglimento

\left(\frac{3}{2}\right)^{\alpha}\sum_{n=5}^{+\infty}\left|\frac{1}{n}\right|^{\alpha}

dal momento che n\in\mathbb{N}, il valore assoluto è superfluo

\left(\frac{3}{2}\right)^{\alpha}\sum_{n=5}^{+\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}

che è proprio la serie armonica generalizzata, e che converge per \alpha>1, mentre diverge per \alpha\leq 1.
Ringraziano: Iusbe, Andrea.snooker
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