Carattere di una serie con radici quarte e parametro

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Carattere di una serie con radici quarte e parametro #84669

avt
Andrea.snooker
Punto
Gentile staff, mi spiegate come studiare il carattere di una serie con differenza di radici quarte e dipendente da un parametro?

Σ_(n = 5)^(+∞)|(1)/([4]√(n^(4)+n^(3))-[4]√(n^(4)+n))-4|^(α)

Grazie mille!
 
 

Re: Carattere di una serie con radici quarte e parametro #84672

avt
Omega
Amministratore
Ciao Andrea,

per studiare la serie ci appelleremo al criterio del confronto asintotico, il che è lecito perché la presenza del valore assoluto rende il termine generale della serie non negativo.

Σ_(n = 5)^(+∞)|(1)/([4]√(n^(4)+n^(3))-[4]√(n^(4)+n))-4|^(α)

Ragioniamo nel modo seguente: limitiamoci al rapporto

(1)/([4]√(n^(4)+n^(3))-[4]√(n^(4)+n))

e raccogliamo i termini di grado massimo nei rispettivi radicandi

(1)/([4]√(n^4(1+(1)/(n)))-[4]√(n^4(1+(1)/(n^3))))

da cui

(1)/(n[4]√((1+(1)/(n)))-n[4]√((1+(1)/(n^3))))

Ora per determinare una stima asintotica utilizziamo il metodo degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin per le successioni, il quale grazie al teorema ponte ci permette di ricondurci agli sviluppi per funzioni.

In riferimento alla tabella degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin notevoli, possiamo usare lo sviluppo per funzioni del tipo (1+x)^(α).

Sviluppiamo entrambi gli addendi non oltre il terzo ordine:

(1+x)^(α) = 1+α x+(α(α-1))/(2)x^2+(α(α-1)(α-2))/(6)x^3+o(x^3)

Procediamo con il termine

[4]√((1+(1)/(n))) = (1+(1)/(n))^((1)/(4))

prendendo x = (1)/(n) nello sviluppo e α = (1)/(4). Ricaviamo

(1+(1)/(n))^((1)/(4)) = 1+(1)/(4n)-(3)/(32n^2)+(7)/(128n^3)+o((1)/(n^3))

Per il secondo termine

[4]√((1+(1)/(n^3))) = (1+(1)/(n^3))^((1)/(4))

prendiamo x = (1)/(n^3) nello sviluppo e α = (1)/(4). In questo caso possiamo arrestarci al primo ordine perché il termine di sostituzione è dato da un cubo

(1+(1)/(n^3))^((1)/(4)) = 1+(1)/(4n^3)+o((1)/(n^3))

Rimettiamo tutto insieme

n[4]√((1+(1)/(n)))-n[4]√((1+(1)/(n^3))) = n[1+(1)/(4n)-(3)/(32n^2)+(7)/(128n^3)+o((1)/(n^3))]-n[1+(1)/(4n^3)+o((1)/(n^3))] = n+(1)/(4)-(3)/(32n)+(7)/(128n^2)+o((1)/(n^2))-n-(1)/(4n^2)-o((1)/(n^2)) =

Per una semplice regola dell'algebra degli o-piccolo

= (1)/(4)-(3)/(32n)+(7)/(128n^2)-(1)/(4n^2)+o((1)/(n^2)) =

Portiamo tutto a denominatore comune

= (32n^2-12n-25+o(1))/(128n^2)

Ora passiamo al reciproco

(1)/(n[4]√((1+(1)/(n)))-n[4]√((1+(1)/(n^3)))) = (1)/((32n^2-12n-25+o(1))/(128n^2)) = ; (128n^2)/(32n^2-12n-25+o(1))

e consideriamo la differenza

(1)/(n[4]√((1+(1)/(n)))-n[4]√((1+(1)/(n^3))))-4 = ; (128n^2)/(32n^2-12n-25+o(1))-4 = ; (128n^2-128n^2+48n-100+o(1))/(32n^2-12n-25+o(1)) = ; (48n-100+o(1))/(32n^2-12n-25+o(1))

Ci siamo: ora possiamo scrivere la stima asintotica considerando solamente gli infiniti di ordine superiore tra numeratore e denominatore

(1)/(n[4]√((1+(1)/(n)))-n[4]√((1+(1)/(n^3))))-4 ~ _(n → +∞)(48n)/(32n^2) = (3)/(2n)

In definitiva ci siamo ricondotti, per confronto asintotico, allo studio della serie

Σ_(n = 5)^(+∞)|(3)/(2n)|^(α)

o, con un opportuno raccoglimento

((3)/(2))^(α)Σ_(n = 5)^(+∞)|(1)/(n)|^(α)

dal momento che n∈N, il valore assoluto è superfluo

((3)/(2))^(α)Σ_(n = 5)^(+∞)(1)/(n^(α))

che è proprio la serie armonica generalizzata, e che converge per α > 1, mentre diverge per α ≤ 1.
Ringraziano: Iusbe, Andrea.snooker
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