Esercizio su intorni e massimo locale

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Esercizio su intorni e massimo locale #84611

avt
marty verdi
Punto
Ciao, ho un esercizio sugli intorni e sui massimi di funzioni.

Data la funzione f rappresentata in figura, e detto x_0 un punto interno al dominio, esiste un intorno I(x_0) del punto x_0 tale che f(x)\leq f(x_0) (massimo locale)?

Qual è il suo intorno e dove è localizzato nel grafico?

esercizio intorno
 
 

Re: Esercizio su intorni e massimo locale #84622

avt
Omega
Amministratore
Buongiorno Marty Verdi,

prima di passare alla risoluzione diretta dell'esercizio, è opportuno fare un bel ripassino strategico delle nozioni che servono per rispondere correttamente alla domanda. Nel corso della risposta non mancherò di aggiungere tutti i riferimenti per gli approfondimenti del caso. emt

L'esercizio ci chiede sostanzialmente di individuare i punti di massimo relativo per la funzione rappresentata in figura. Non solo: ci chiede anche di individuare, per ciascun punto di massimo relativo, un intorno in cui è verificata la proprietà di essere punto di massimo relativo.

Quando si parla di intorno di un punto x_0\in\mathbb{R}, si intende un intorno completo del punto, vale a dire un intervallo aperto del tipo

(x_0-r,x_0+r)

dove r è detto raggio dell'intorno. Per indicarlo possiamo scrivere

I_r(x_0)=(x_0-r,x_0+r)

o in alternativa B_r(x_0), o ancora B(x_0,r). Sono tutte notazioni equivalenti.

In riferimento alla nozione di punto di massimo relativo, diciamo che x_0\in Dom(f) è un punto di massimo relativo per f se esiste almeno un intorno completo di x_0, contenuto nel dominio, in cui

f(x)\leq f(x_0)

Ti faccio notare che possiamo scrivere la precedente definizione in una forma equivalente: x_0\in Dom(f) è un punto di massimo relativo per f se esiste almeno un r>0 per cui

\forall x\in I_r(x_0)\subseteq Dom(f)\mbox{ risulta che }f(x)\leq f(x_0)

Questa seconda definizione mette in luce un aspetto molto importante. Se esiste almeno un intorno in cui f(x_0) risulta il massimo valore raggiunto dalla funzione, allora esistono infiniti intorni di x_0 in cui f(x_0) è il massimo valore raggiunto dalla funzione. A questo proposito basta prendere qualsiasi raggio \overline{r}<r e considerare il corrispondente intorno I_{\overline{r}}(x_0).

È per questo che in entrambe le definizioni ho volontariamente enfatizzato l'espressione "almeno un".

Un'altra premessa necessaria: la natura di massimo locale di una funzione presuppone, per sua stessa definizione, che il valore sia massimo localmente (ossia in almeno un intorno) e non necessariamente su tutto il dominio:

- per avere un punto di massimo locale x_0, ed un massimo locale f(x_0), la proprietà deve essere verificata almeno in un intorno;

- per avere un punto di massimo assoluto x_0, e quindi un massimo assoluto f(x_0), la proprietà deve essere verificata su tutto il dominio della funzione.

Come osservazione a tuo uso e consumo, tieni conto che un massimo locale può essere anche assoluto, mentre un massimo assoluto è sempre anche un massimo locale.


Ora possiamo procedere con l'esercizio. La funzione assegnata presenta tre punti di massimo locale, quelli evidenziati in rosso sull'asse delle ascisse.

esercizio intorni

Avendo presenti le definizioni lo si capisce subito, è infatti chiaro che in qualsiasi altro punto x\in Dom(f) non è possibile trovare neanche un intorno I_r(x) tale per cui la funzione assuma il massimo valore locale in f(x) (e dunque valori inferiori in tutti gli altri punti dell'intorno).

Per ciascuno dei punti evidenziati in rosso, possiamo agevolmente trovare almeno un intorno completo (in giallo) tale per cui in ogni punto dell'intorno la funzione assume un valore minore o uguale a quello assunto nel punto x_0.

Ho segnato un solo intorno per ciascun punto: non dovresti avere difficoltà nel capire, per ciascuno dei tre punti, quale sia l'intorno più ampio in cui è verificata la proprietà di punto di massimo relativo. Nel farlo, ricorda che gli intorni completi devono essere simmetrici per definizione, ossia I_r(x_0)=(x_0-r,x_0+r).

Resto a tua disposizione per eventuali dubbi.
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby
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Os