Area di un solido con paraboloide e cono con integrali di superficie

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Area di un solido con paraboloide e cono con integrali di superficie #84486

avt
veruti
Punto
Ciao, ecco un esercizio sull'area di un solido con gli integrali di superficie. Il solido è definito mediante un paraboloide ed un cono.

Sia S la superficie frontiera del solido dato da

S:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ :\ z\geq \sqrt{x^2+y^2},\ z\geq x^2+y^2,\ z\leq 3\}

Calcolare l'integrale di superficie

\int_{S}{d\sigma}
 
 

Area di un solido con paraboloide e cono con integrali di superficie #84490

avt
Omega
Amministratore
Naturalmente il primo passaggio per la risoluzione dell'esercizio prevede di dare una forma al solido individuato dalle condizioni:

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ :\ z\geq \sqrt{x^2+y^2},\ z\geq x^2+y^2,\ z\leq 3\}

Consideriamo separatamente le funzioni che definiscono gli estremi:

z=\sqrt{x^2+y^2}

individua una sorta di cono illimitato nella parte di semispazio a quote non negative, con vertice nell'origine degli assi

cono illimitato per integrale di superficie

z=x^2+y^2

individua un paraboloide (classificazione delle quadriche) con vertice nell'origine e rivolto verso l'alto

paraboloide per integrale superficie

z=3

individua il piano di quota z=3 parallelo a Oxy.

Per capire com'è fatto il solido, osserviamo innanzitutto che una condizione del tipo

z\geq g(x,y)

individua la regione dello spazio situata al di sopra del grafico di g. A noi interessa la regione che sovrasta, punto a punto, entrambi i grafici e racchiusa al di sotto del piano z=3.

In via puramente algebrica notiamo che le prime due funzioni condividono un termine x^2+y^2; nel primo caso come radicando, nel secondo come termine "diretto".

Una radice con indice 2 come w=\sqrt{q} si caratterizza rispetto a w=q per il fatto che:

- per q\in (0,1) la radice assume valori maggiori;
- per q>1 la radice assume valori minori.

Nel nostro caso, posto x^2+y^2=q (che individua l'equazione di una circonferenza centrata di raggio \sqrt{q} e centro nell'origine), avremo:

\\ \sqrt{x^2+y^2}> x^2+y^2\mbox{ per }0<x^2+y^2<1\\ \\ \\ x^2+y^2>\sqrt{x^2+y^2}\mbox{ per }x^2+y^2>1

In particolare, le due superfici z=\sqrt{x^2+y^2},\ z=x^2+y^2 si intersecheranno in x^2+y^2=1 alla quota z=1, nonché in (0,0,0).

Come limitazione superiore abbiamo z\leq 3, per cui possiamo finalmente rappresentare esplicitamente la superficie del solido che ci interessa:

z=\begin{cases}\sqrt{x^2+y^2}\mbox{ per }0\leq x^2+y^2\leq 1\\ x^2+y^2\mbox{ per }1\leq x^2+y^2\leq 3\end{cases}

Se preferisci, in termini di quote

z=\begin{cases}\sqrt{x^2+y^2}\mbox{ per }0\leq z\leq 1\\ x^2+y^2\mbox{ per }1\leq z\leq 3\end{cases}

Ci tengo a sottolineare che, per come è definito il solido, dobbiamo considerare sempre la regione più interna alle superfici individuate dalle due funzioni, perché ci interessano i punti con le quote maggiori.

***

Il più è fatto. Ora possiamo impostare l'area della superficie del solido come somma di tre contributi: due integrali di superficie e l'area del cerchio che chiude il solido per z=3.


Primo integrale di superficie: 0\leq z\leq 1,\ z=\sqrt{x^2+y^2}

\int_{S}{d\sigma}

Nota che la funzione integranda è f=1 proprio perché vogliamo calcolare l'area della superficie.

Impostiamo il calcolo passando ad un riferimento di coordinate cilindriche

\begin{cases}x=r\cos(t),\\ y=r\sin(t),\\ z=z\end{cases}\ \ \ r\geq 0,\ 0\leq t<2\pi

Così facendo possiamo parametrizzare la superficie come

s=(r\cos(t),r\sin(t),r)

Per esprimere il contributo infinitesimo d'area d\sigma ci servono i vettori delle derivate parziali rispetto ai due parametri, ottenuti calcolando le derivate parziali delle singole componenti

\\ s_r=(\cos(t),\sin(t),1)\\ \\ s_t=(-r\sin(t),r\cos(t),0)

Calcoliamo il prodotto vettoriale tra i due vettori

s_r\times s_t=(-r\cos(t),-r\sin(t),r)

e la norma

||s_r\times s_t||=\sqrt{2r^2}=r\sqrt{2}

A titolo di cronaca, ho semplificato l'espressione della norma applicando l'identità fondamentale della Trigonometria (formule trigonometriche).

Riscriviamo l'integrale

\int_{S}{d\sigma}=\int\int_D ||s_r\times s_t||drdt

dove D è il dominio di integrazione, molto semplice da individuare:

D=\{(r,t)\in\mathbb{R}^2\ :\ 0\leq r\leq 1,\ 0\leq t<2\pi\}

per cui otteniamo l'integrale

\int_0^{2\pi}\int_{0}^{1}\sqrt{2}rdrdt=\sqrt{2}\pi

Ho omesso i calcoli onde evitare di appesantire troppo la spiegazione, ad ogni modo si tratta di un integrale estremamente banale.


Secondo integrale di superficie: 1\leq z\leq 3,\ z=x^2+y^2

\int_{S}{d\sigma}

Il procedimento è del tutto analogo rispetto a quello visto poco sopra, vado un po' più veloce.

\\ s=(r\cos(t),r\sin(t),r^2)\\ \\ s_r=(\cos(t),\sin(t),2r)\\ \\ s_t=(-r\sin(t),r\cos(t),0)\\ \\ s_r\times s_t=(-2r^2\cos(t),-2r^2\sin(t),r)\\ \\ ||s_r\times s_t||=\sqrt{4r^4+r^2}=r\sqrt{4r^2+1}

Per quanto concerne l'integrale

\int_{S}{d\sigma}=\int\int_D ||s_r\times s_t||drdt

in questo caso il dominio di integrazione D si scrive tenendo conto dei nuovi estremi: l'estremo di partenza è la circonferenza di raggio 1, quello di arrivo è la circonferenza di raggio \sqrt{3} (perché abbiamo z=x^2+y^2=3 ).

D=\{(r,t)\in\mathbb{R}^2\ :\ 1\leq r\leq \sqrt{3},\ 0\leq t<2\pi\}

e l'integrale è dato da

\int_0^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{3}}r\sqrt{4r^2+1}drdt=

Per calcolarlo basta riscriverlo nella forma

=\int_0^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{3}}(4r^2+1)^{\frac{1}{2}}rdrdt=

e fare riferimento all'integrale notevole per le potenze; bisogna però aggiustare i coefficienti per avere la derivata della base come secondo fattore

=\int_0^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{3}}(4r^2+1)^{\frac{1}{2}}8r\cdot \frac{1}{8}drdt=

da cui

=\frac{1}{8}\int_0^{2\pi}\left[\frac{(4r^2+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{\sqrt{3}}dt=

l'integrale più esterno non fa che aggiungere un coefficiente 2\pi, dal momento che l'integranda non dipende da t

=\frac{2\pi}{8}\left[\frac{(4r^2+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{\sqrt{3}}=

Per concludere il calcolo è sufficiente effettuare le valutazioni:

\\ \frac{2\pi}{8}\left[\frac{(4\cdot 3+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{(4\cdot 1+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]=\\ \\ \\ \frac{\pi}{4}\left[\frac{2}{3}13\sqrt{13}-\frac{2}{3}5\sqrt{5}\right]=\\ \\ \\ =\frac{\pi}{6}(13\sqrt{13}-5\sqrt{5})


Ultimo contributo: chiudiamo il solido!

E a tal proposito basta considerare l'area del cerchio di raggio \sqrt{3}

A_{cerchio}=3\pi


In definitiva, l'area della superficie del solido è data da

A_{cerchio}=\sqrt{2}\pi+\frac{\pi}{6}(13\sqrt{13}-5\sqrt{5})+3\pi
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby, veruti

Re: Area di un solido con paraboloide e cono con integrali di superficie #84518

avt
veruti
Punto
Ho un dubbio...perché fai la somma dei due integrali di superficie più l'area del cerchio invece della differenza tra i due più l'area del cerchio?

Inoltre, quando passi alle coordinate cilindriche qual è lo jacobiano associato?

Re: Area di un solido con paraboloide e cono con integrali di superficie #84535

avt
Omega
Amministratore
Nell'ordine:

1) per come è costituita la superficie del solido, abbiamo due "strati": il primo appartiene al grafico di z=\sqrt{x^2+y^2}, il secondo (sovrastante) a quello di y=x^2+y^2.

2) Nessuna necessità di considerare lo Jacobiano perché non ho applicato un cambiamento di coordinate in un integrale doppio. Ho semplicemente scritto la definizione di integrale di superficie in una parametrizzazione prestabilita. emt
Ringraziano: veruti

Re: Area di un solido con paraboloide e cono con integrali di superficie #84582

avt
veruti
Punto
Ora ci sono..grazie emt
Ringraziano: Omega
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Os