Integrale doppio tra da due parabole e due rette

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Integrale doppio tra da due parabole e due rette #84269

avt
cyp
Cerchio
Vi propongo un integrale doppio con insieme di integrazione tra due parabole e due rette, non riesco a capire come impostare il dominio e quindi gli estremi di integrazione.

\iint_{D}\frac{x}{x^2+y^2}dxdy

dove D è il dominio normale rispetto all'asse y delimitato dalle due parabole con assi di simmetria paralleli all'asse x, entrambe di vertice (0,0) e passanti per i punti (1,1)\mbox{ e }\left(\frac{1}{2},1\right) rispettivamente, e dalle rette y=1 e y=2.

Ho ricavato le equazioni delle parabole, impostato il grafico e quindi le seguenti condizioni:

x\geq 4y^2,\ x\leq y^2,\ 1<y<2

che, ammesso siano corrette, non mi danno gli estremi di integrazione del dominio. Ed è proprio quelli che non so ricavare e nei quali mi perdo...
 
 

Integrale doppio tra da due parabole e due rette #84274

avt
Omega
Amministratore
Si tratta di un integrale doppio abbastanza calcolotico, ma in fin dei conti non c'è niente di particolarmente difficile. emt

\iint_{D}\frac{x}{x^2+y^2}dxdy

Per cominciare, attenzione agli estremi dell'insieme di integrazione. Usando le formule della parabola con asse di simmetria orizzontale è sufficiente impostare i due sistemi

\begin{cases}-\frac{b^2-4ac}{4a}=0\\ -\frac{b}{2a}=0\\ a+b+c=1\end{cases}\ ,\ \begin{cases}-\frac{b^2-4ac}{4a}=0\\ -\frac{b}{2a}=0\\ a+b+c=\frac{1}{2}\end{cases}

per determinare i coefficienti a,b,c nella generica equazione della parabola.

Risolvendoli si ricava

a=1,\ b=0,\ c=0\ \ ;\ \ a=\frac{1}{2},\ b=0,\ c=0

da cui le equazioni delle parabole

x=y^2\ \ ;\ \ x=\frac{1}{2}y^2

Come possiamo vedere, queste parabole soddisfano le condizioni di passaggio per i rispettivi punti (1,1)\mbox{ e }\left(\frac{1}{2},1\right) imposti dalla traccia dell'esercizio.

D:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 1\leq y\leq 2,\ \frac{1}{2}y^2\leq x\leq y^2\}

Diamo una rapida rappresentazione dell'insieme di integrazione:

dominio di integrazione con parabole

Volendo calcolare l'integrale doppio non è necessario rompersi la testa riguardo alla riscrittura degli estremi, perché abbiamo un dominio già in forma normale rispetto all'asse y ed un'integranda che si presta bene per l'integrazione prima in x e poi in y:

\int_{1}^{2}\int_{\frac{1}{2}y^2}^{y^2}\frac{x}{x^2+y^2}dxdy

Non è difficile vedere che, integrando rispetto a x, dovremo avere una primitiva di tipo logaritmico (cfr tabella degli integrali notevoli). Dobbiamo solo aggiustare i coefficienti:

\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\int_{\frac{1}{2}y^2}^{y^2}\frac{2x}{x^2+y^2}dxdy

da cui

\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\left[\log|x^2+y^2|\right]_{\frac{1}{2}y^2}^{y^2}dy

A ben vedere il valore assoluto non è necessario perché l'argomento è la somma di due termini non negativi

\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\left[\log(x^2+y^2)\right]_{\frac{1}{2}y^2}^{y^2}dy

Valutiamo l'integranda agli estremi

\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\left[\log(y^4+y^2)-\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)\right]dy

Ora la tentazione sarebbe quella di usare le proprietà dei logaritmi e scrivere la differenza come un unico termine, ma non conviene. Meglio calcolare separatamente due integrali. Per comodità mi occupo degli indefiniti:

Primo integrale

\int\log(y^4+y^2)dy

Secondo integrale

\int\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)dy


Mi occupo prima del secondo integrale.

\int\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)dy

L'idea consiste nell'applicare il metodo di integrazione per parti considerando come derivata il fattore 1, vale a dire

\int 1\cdot \log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)dy=

stratagemma che torna sempre utile quando abbiamo l'integrale di un logaritmo senza altri fattori esterni

\\ =y\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)-\int y\frac{1}{\frac{1}{4}y^4+y^2}\cdot (y^3+2y)dy=\\ \\ \\ y\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)-\int \frac{y^4+2y^2}{\frac{1}{4}y^4+y^2}dy=(\bullet)

Ora dobbiamo applicare un piccolo barbatrucco algebrico. Abbiamo un integrale di una funzione razionale in cui numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, quindi cerchiamo di spezzare il rapporto in modo da avere un termine polinomiale ed un termine che ammetta come primitiva un'arcotangente.

Raccolgo un coefficiente 1/4 al denominatore

(\bullet)=y\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)-\int \frac{y^4+2y^2}{\frac{1}{4}(y^4+4y^2)}dy=

e lo porto fuori con la regola per le frazioni di frazioni

=y\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)-4\int \frac{y^4+2y^2}{(y^4+4y^2)}dy=

Ora sommo e sottraggo un termine 2y^2 al numeratore

=y\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)-4\int \frac{y^4+4y^2-2y^2}{(y^4+4y^2)}dy=

e spezzo il rapporto

=y\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)-4\int \left[\frac{y^4+4y^2}{(y^4+4y^2)}-\frac{2y^2}{(y^4+4y^2)}\right]dy=

ossia

\\ =y\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)-4\int \left[1-\frac{2y^2}{(y^4+4y^2)}\right]dy=\\ \\ \\ =y\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)-4y +4\int \frac{2y^2}{(y^4+4y^2)}dy=(\bullet\bullet)

In buona sostanza ci siamo ridotti all'integrale

\int \frac{2y^2}{(y^4+4y^2)}dy

cerchiamo di ricavare la derivata di un'arcotangente. Portiamo il numeratore al denominatore

\\ \int \frac{2y^2}{(y^4+4y^2)}dy=\int \frac{1}{\frac{y^4+4y^2}{2y^2}}dy=\\ \\ \\ \int \frac{1}{\frac{1}{2}y^2+2}dy=

e raccogliamo un 2

=\int \frac{1}{2\left(1+\frac{1}{4}y^2\right)}dy=

ci siamo! Per raggiungere la primitiva \arctan\left(\frac{1}{2}y\right), basterà sistemare i coefficienti

\\ =\int \frac{1}{\frac{1}{2}\cdot 2\left(1+\frac{1}{4}y^2\right)}\frac{1}{2}dy=\arctan\left(\frac{y}{2}\right)

(Ometto la costante additiva per l'integrale indefinito). Ricomponendo il tutto in (\bullet\bullet) otteniamo

(\bullet\bullet)=y\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)-4y +4\arctan\left(\frac{y}{2}\right)


Per il primo integrale ci si comporta in maniera del tutto analoga

\int\log(y^4+y^2)dy=y\log\left(y^4+y^2\right)-4y +2\arctan\left(y\right)


Mettendo insieme il primo ed il secondo integrale (e quindi tornando al calcolo originario)

\int\left[\log(y^4+y^2)-\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)\right]dy=
=y\log\left(y^4+y^2\right) +2\arctan\left(y\right)-y\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)-4\arctan\left(\frac{y}{2}\right)


Per passare da qui all'integrale definito

\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\left[\log(y^4+y^2)-\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)\right]dy

basta valutare la primitiva agli estremi e dividere il risultato per 2. emt
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby

Re: Integrale doppio tra da due parabole e due rette #84628

avt
cyp
Cerchio
Ciao Omega.. è passato un pò di tempo ma il lavoro in questi giorni non mi ha permesso di risvolgere l'esercizio seguendo i tuoi suggerimenti emt

Ad ogni modo, ora che ho potuto farlo, sono giunta alla seguente espressione:

\frac{1}{2}\left (\left [ylog(y^4+y^2)-4y+2arctany-ylog(\frac{1}{2}y^4+y^2)+4y-4arctan\frac{y}{2}  \right ]_{1}^{2}  \right )

a questo punto, semplificando, valutando la funzione agli estremi e applicando le proprietà dei logaritmi, giungo alla seguente espressione:

\frac{1}{2}\left ( log\left ( \frac{25}{3} \right )+2arctan2-6arctan1+4arctan\frac{1}{2} \right )

mi è chiaro capire che -6arctan1=6\frac{\pi }{4}=\frac{3}{2}\pi... ma come faccio a calcolare le altre arcotangenti i cui angoli non mi sono noti? emt

Re: Integrale doppio tra da due parabole e due rette #84632

avt
Omega
Amministratore
C'è qualcosa che non mi torna nella prima espressione che hai scritto.

Meglio usare quella già semplificata

\\ \int\left[\log(y^4+y^2)-\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)\right]dy=\\ \\ \\=y\log\left(y^4+y^2\right) +2\arctan\left(y\right)-y\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)-4\arctan\left(\frac{y}{2}\right)

da cui

\\ \frac{1}{2}\int_1^2\left[\log(y^4+y^2)-\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)\right]dy=\\ \\ \\=\frac{1}{2}\left[y\log\left(y^4+y^2\right) +2\arctan\left(y\right)-y\log\left(\frac{1}{4}y^4+y^2\right)-4\arctan\left(\frac{y}{2}\right)\right]_{1}^{2}

In riferimento alle arcotangenti, se gli argomenti non corrispondono ad angoli notevoli per la tangente (cfr valori delle funzioni goniometriche) puoi lasciarle indicate.

Per fare un esempio, non c'è problema nel lasciare scritto \arctan(2), che è pur sempre un numero. emt
Ringraziano: Galois, CarFaby

Re: Integrale doppio tra da due parabole e due rette #84633

avt
cyp
Cerchio
Ok grazie, pensavo dovessi calcolarle! Grazie sempre
Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1
Os