Cardinalità e numerosità di insiemi infiniti

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Cardinalità e numerosità di insiemi infiniti #84255

avt
Zenone123
Punto
Ciao a tutti,

Sto scrivendo una tesi in filosofia su Zenone di Elea, che tocca alcuni temi di analisi e topologia, e mi sono imbattuto in una questione un po' strana, che non riesco ad inquadrare bene.

Eccola qui. So che l'insieme dei numeri irrazionali ha la cardinalità del continuo ed è quindi 'più numeroso' dell'insieme dei numeri razionali (che ha la cardinalità del numerabile). Tuttavia rifletto su quanto segue: l'insieme dei numeri reali, che ha sempre la cardinalità del continuo, contiene pur sempre 'più elementi' dell'insieme dei numeri irrazionali, cioè tutti i numeri reali razionali (che sono infiniti).

Ora, il fatto che l'insieme dei reali contenga 'più elementi' rispetto all'insieme degli irrazionali non lo rende certo cardinalmente maggiore, ma allora come posso esprimere questo semplice fatto?

Dicendo semplicemente che l'insieme degli irrazionali è un sotto-insieme dell'insieme dei numeri reali?

La difficoltà reale nasce dal fatto che ho bisogno di affermare, rispettando la terminologia dei testi originali in lingua greca, che l'insieme dei punti irrazionali di un segmento di estremi di ascissa '0' ed '1' è 'numericamente maggiore' (per la precisione, 'più grande in quantità e/o numero') dell'insieme dei suoi punti razionali e al tempo stesso 'numericamente minore' dell'insieme di tutti i suoi punti.

Detto in questo modo, visualizzando i punti ed il segmento, sembra semplice, perché i punti irrazionali sono solo una parte dei punti totali, mentre i punti razionali sono anch'essi una parte, ma ancora minore (ci sono decisamente più punti irrazionali che punti razionali). Usando la teoria degli insiemi, invece (che è ciò che devo fare), tutto diventa più difficile.

Così, se affermo che l'insieme degli irrazionali è 'numericamente minore' dell'insieme dei reali in quanto ne è un sotto-insieme, poi come posso giustificare il fatto che lo stesso insieme è 'numericamente maggiore' dell'insieme dei razionali?

Infatti, in un caso il 'numericamente maggiore' è dato dalla cardinalità, nell'altro dalla relazione di inclusione insiemistica.

Esiste secondo voi un modo per uscire dall'empasse senza dover introdurre distinzioni articolate tra due significati diversi dell'espressione 'più numeroso'?

Chiedo scusa per la stranezza della domanda, e ringrazio in anticipo per l'aiuto.
 
 

Cardinalità e numerosità di insiemi infiniti #84263

avt
Omega
Amministratore
La tua domanda è estremamente interessante, perché tocca uno degli aspetti con cui si devono confrontare gli aspiranti matematici all'inizio dei propri studi universitari.

Cercherò di rispondere senza entrare troppo in aspetti tecnici, ma (spero mi perdonerai! emt ) in certi punti dovrò inevitabilmente riferirmi a nozioni senza le quali sarebbe impossibile rispondere. Si tratta comunque di concetti semplici e non mancherò nel fornire, di volta in volta, tutti gli approfondimenti del caso.

Un semplice esempio preparatorio prima di arrivare al cuore della risposta.

Consideriamo l'insieme dei numeri naturali

\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,...\}

(in base alla definizione che include lo zero) e l'insieme dei numeri relativi

\mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}

Entrambi gli insiemi hanno un numero infinito di elementi, e inoltre \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}. Ciononostante è possibile definire una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi: \mathbb{N}\simeq\mathbb{Z}, infatti

\\ 0\ \to\ 0\\ \\ 1\ \to\ 1\\ \\ 2\ \to\ -1\\ \\ 3\ \to\ 2\\ \\ 4\ \to\ -2\\ \\ ...

Fatta eccezione per lo zero, possiamo stabilire una corrispondenza uno a uno tra i numeri pari ed i numeri positivi e una corrispondenza uno a uno tra i numeri dispari e l'insieme dei numeri negativi.

Il processo prosegue indefinitamente, quindi in buona sostanza abbiamo stabilito una corrispondenza uno a uno tra l'insieme dei numeri naturali e l'insieme dei numeri relativi. emt


L'esempio precedente mette in luce un aspetto che caratterizza gli insiemi infiniti: in certi casi è possibile mettere in corrispondenza biunivoca un insieme con infiniti elementi con un suo sottoinsieme proprio

X\subset Y\mbox{ eppure }X\simeq Y

Fatto che può sembrare bizzarro, è vero, perché di primo acchito saremmo portati a pensare che il sottoinsieme sia numericamente inferiore ("meno numeroso") rispetto all'insieme che lo contiene.

Quando si parla di insiemi infiniti, però, non è possibile e non è corretto stabilire una definizione di insieme meno numeroso né di insieme più numeroso, proprio perché gli insiemi considerati hanno infiniti elementi.

Cionondimeno è comunque possibile introdurre una altro termine di confronto che si basa su due aspetti:

1) la proprietà di un insieme di essere contenuto all'interno dell'altro;

2) la possibilità di definire una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi (equipotenza tra insiemi infiniti).

Tali aspetti ci permettono di estendere la classica nozione di equipotenza tra insiemi finiti, ossia tra insiemi con cardinalità finita che hanno lo stesso numero di elementi (basta contarli), al caso di insiemi con infiniti elementi.

Nel contesto degli insiemi infiniti, però, non parleremo più di "numerosità dell'insieme": parleremo piuttosto di classe di potenza dell'insieme o più brevemente di potenza dell'insieme.

Il principio per determinare il tipo di potenza che caratterizza un insieme è semplice: due insiemi infiniti hanno la medesima potenza (o ordine, o cardinalità) se è possibile definire una corrispondenza biunivoca tra loro.

Le classi di potenza che vengono considerate negli studi base sono le seguenti, ed ognuna è definita a partire da un insieme "notevole":

- potenza del numerabile, che caratterizza tutti gli insiemi infiniti che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con N;

- potenza del continuo, che caratterizza tutti gli insiemi che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con \mathbb{R};

- potenza superiore al continuo, che caratterizza tutti gli insiemi che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con P(\mathbb{R}) (insieme delle parti di \mathbb{R}).

A titolo esemplificativo:

1) non è possibile individuare una corrispondenza biunivoca tra \mathbb{Z} e l'intervallo [0,1], perché il primo ha potenza del numerabile mentre il secondo ha potenza del continuo.

2) Non è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra \mathbb{Q} ed \mathbb{R} (nota che l'insieme dei numeri razionali \mathbb{Q} è contenuto nell'insieme dei reali \mathbb{R}).

3) Di contro, è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra [0,1] ed \mathbb{R} (e nota che [0,1]\subset \mathbb{R}).

Gli esempi 2) e 3), in particolare, mettono in luce come l'idea di numerosità non abbia rilevanza nel contesto degli insiemi infiniti, per i quali ha senso parlare solamente di potenza e non di numero di elementi. emt


In soldoni, tutte le precedenti considerazioni servono per dare una risposta secca alla tua domanda

Ora, il fatto che l'insieme dei reali contenga 'più elementi' rispetto all'insieme degli irrazionali non lo rende certo cardinalmente maggiore, ma allora come posso esprimere questo semplice fatto?

Così:

l'insieme dei numeri irrazionali \mathbb{I}, pur essendo contenuto in \mathbb{R}, è equipotente ad esso perché entrambi hanno la potenza del continuo.


Dal momento che stai scrivendo una tesi in Filosofia sono certo che tu abbia l'apertura mentale necessaria per capire gli aspetti della questione. Mi permetto di darti un ulteriore consiglio affinché tu ci possa riuscire: dimentica tutti i preconcetti e attieniti esclusivamente alle definizioni. Le classi di potenza degli insiemi infiniti non costituiscono un terreno fertile per l'elogio del pregiudizio... emt
Ringraziano: Ifrit, CarFaby

Re: Cardinalità e numerosità di insiemi infiniti #84284

avt
Zenone123
Punto
Grazie Omega, la risposta è molto ben pensata ed articolata. Mi era già noto però il 'meccanismo' degli insiemi infiniti, ho provato a leggermi qualche testo di Cantor (malgrado la difficoltà) e un po' di cose le ho capite.

Comunque mi hai risposto. Secondo te non c'è via di uscita: bisogna abbandonare il concetto intuitivo di 'più numeroso' e introdurre le distinzioni fondamentali tra equipotenza e inclusione insiemistica.

Il problema è che nella letteratura filosofica greca sono presenti diversi ragionamenti che in qualche modo tentano di comparare tra loro, secondo il numero, quantità che sono infinite.

Esempio: Platone più volte stabilisce delle misteriose eguaglianze tra quantità che sono chiaremente infinite (ovvero lui stesso dice che sono infinite). E così, pur sapendo che sono entrambe infinite in numero, egli dice che le due quantità hanno lo stesso numero di 'parti' o di 'elementi'. Altre volte dice che due quantità infinite sono maggiori o minori in numero, riferendosi sempre alle 'parti', ma senza ovviamente distinguere tra cardinalità e inclusione.

Perciò, ti chiedo quindi un'ultima conferma: secondo te è possibile venire in qualche in modo incontro ai nostri greci e al loro linguaggio intuitivo. Nella situazione specifica che ho presentato, sarebbe quindi proprio sbagliato (o soltanto intuitivo-non rigoroso) affermare che l'insieme, o per coerenza semplicimente la 'quantità' o il 'numero', dei punti irrazionali di un segmento è più 'grande' (in parti, elementi ecc..) della quantità o del numero di tutti i suoi punti razionali, ma più 'piccola' della quantità o del numero di tutti i suoi punti?

Grazie ancora! emt

Re: Cardinalità e numerosità di insiemi infiniti #84290

avt
Omega
Amministratore
Perciò, ti chiedo quindi un'ultima conferma: secondo te è possibile venire in qualche in modo incontro ai nostri greci e al loro linguaggio intuitivo.

Tutto dipende dalla contestualizzazione: nel presentare il problema, finché si parla del pensiero nella Grecia classica, immagino che sia del tutto legittimo riferirsi ad un linguaggio che tenta di cogliere l'esistenza di infiniti più numerosi e meno numerosi, rifacendosi sempre e comunque alle parole dei grandi classici.

Questo però, e lo ribadisco, può valere solamente in un discorso contestualizzato.

Però, non appena si sconfina nel mondo della Matematica (perlomeno degli ultimi secoli), non si può più prescindere da una trattazione rigorosa. emt

Re: Cardinalità e numerosità di insiemi infiniti #84294

avt
Zenone123
Punto
Ottima risposta: la metto nel cassetto!

Certo, quello che sto cercando di fare è appunto questo: mostrare i punti di contatto ma anche le differenze (contestuallizzare) tra un certo pensiero matematico classico ed il nostro.

Ciò aiuta a costruire interpretazioni interessanti e non ingenue.

Però su questo punto particolare avevo bisogno di chiarirmi bene le idee e di tracciare bene il perimetro dei concetti in gioco. Direi che la missione è compiuta.

Grazie della discussion e complimenti. emt
Ringraziano: Omega

Re: Cardinalità e numerosità di insiemi infiniti #84295

avt
Omega
Amministratore
Grazie a te!

Resto a tua disposizione emt
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Os