Limite esponenziale con forma 1 alla infinito

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Limite esponenziale con forma 1 alla infinito #83986

avt
Fabio15
Punto
Ciao, ho un blocco su un limite di un'esponenziale con forma indeterminata 1 alla infinito (e non è l'unico purtroppo...).

Sto cercando di risolvere l'esercizio

\lim_{x\to +\infty } \left[\cos \left(\frac{1}{x}\right)\right]^{x^2}


Quindi quando x\to +\infty la frazione \frac{1}{x} tende a 0 perciò \cos \left(\frac{1}{x}\right) tende a 1.

L'esponente x^2 tende a +\infty e di conseguenza ci troviamo nella forma indeterminata 1^\infty.

Ho pensato di risolvere tutto con l'esponenziale e^{...}, quindi con i dovuti passaggi sono arrivato a:

\lim_{x\to\infty} e^{e^{2\ln(x)}\ln\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)}

Controllando quello che avviene all'esponente:

\ln\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)=0

mentre

e^{2\ln(x)}=\infty

quindi non ho risolto nulla perché ho ancora una forma indeterminata 0 \cdot \infty ...

Non so come uscirne, confido in un vostro provvidenziale intervento.
 
 

Limite esponenziale con forma 1 alla infinito #83991

avt
Omega
Amministratore
Ok, iniziamo emt

Vogliamo calcolare il limite

\lim_{x\to +\infty } \left[\cos \left(\frac{1}{x}\right)\right]^{x^2}=

il quale, come hai giustamente fatto notare, genera una forma indeterminata [1^{\infty}].

L'idea di ricorrere all'identità logaritmo-esponenziale è buona, però non bisogna perdersi nei conti.

L'identità è la seguente: y=e^{\log(y)}\mbox{ per }y>0, dunque possiamo riscrivere il limite come

=\lim_{x\to +\infty}e^{\log\left[\left[\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]^{x^2}\right]}=

Usiamo le proprietà dei logaritmi

=\lim_{x\to +\infty}e^{x^2\log\left[\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]}=

Ok. Ora grazie all'algebra dei limiti passiamo a calcolare, per semplicità

=e^{\lim_{x\to +\infty}x^2\log\left[\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]}

Per quanto riguarda

\lim_{x\to +\infty}x^2\log\left[\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]=(\bullet)

io sento odore di limiti notevoli, e tu? emt

Per mettersi nella condizione di usarli bisogna aguzzare l'occhio e ricorrere a un trucchetto algebrico abbastanza ricorrente. Sommiamo e sottraiamo 1 nell'argomento del logaritmo

\\ (\bullet)=\lim_{x\to +\infty}x^2\log\left[1-1+\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]=\\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}x^2\log\left[1+\left(-1+\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right]=(\bullet\bullet)

Dacché \left(-1+\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)\to_{x\to+\infty}0, possiamo applicare il limite notevole del logaritmo e costruire la corrispondente equivalenza asintotica (in caso di dubbi, vedi come usare i limiti notevoli)

\log\left[1+\left(-1+\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right]\sim_{x\to +\infty}\left(-1+\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)

Così facendo passiamo al limite equivalente

(\bullet\bullet)=\lim_{x\to +\infty}x^2\left(-1+\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\bullet

Non ci resta che ricordare il limite notevole del coseno e considerare la corrispondente equivalenza asintotica. Occhio ai segni:

-1+\cos\left(\frac{1}{x}\right)=-\left[1-\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right]\sim_{x\to +\infty}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2}

il che ci permette di considerare il limite equivalente

\bullet=\lim_{x\to +\infty}x^2\left(-\frac{1}{2x^2}\right)=-\frac{1}{2}

Riprendendo il limite con il termine esponenziale, concludiamo che esso vale e^{-\frac{1}{2}}, oppure se preferisci usare le proprietà delle potenze \frac{1}{\sqrt{e}}. emt
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, Fabio15

Limite esponenziale con forma 1 alla infinito #83993

avt
Fabio15
Punto
Tante grazie per la velocità di risposta e l'accuratezza. Il tempo di tornare a casa, tirare fuori tutto l'arsenale (lente d'ingrandimento in primis) e studiarmi per benone il tutto!

Tante grazie ancora e buon fine settimana. emt
Ringraziano: Omega

Limite esponenziale con forma 1 alla infinito #83994

avt
Omega
Amministratore
Grazie, anche a te! emt

Resto a tua disposizione per qualsiasi eventuale dubbio emt
Ringraziano: Fabio15
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Os