Dominio in due variabili con arcoseno, valore assoluto e radice

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Dominio in due variabili con arcoseno, valore assoluto e radice #83937

avt
cyp
Cerchio
Ciao, devo studiare il dominio della seguente funzione a due variabili con arcoseno, valore assoluto e radice

f(x,y)=\arcsin(\left | x+y \right |-2)+\sqrt{y-\frac{\sqrt[ ]{x^2-9}}{x-4}}


Dopo aver applicato le condizioni iniziali ottengo i seguenti sistemi:

\begin{cases}x+y+3>0\\ x+y+1<0\\ y\geq \frac{\sqrt{x^2-9}}{x-4}\\ x<-3 , x>3\\ x\neq 4 \end{cases}\ \cup\ \begin{cases} x+y-3<0\\ x+y-1>0\\ y\geq \frac{\sqrt{x^2-9}}{x-4}\\ x<-3 , x>3\\ x\neq 4 \end{cases}

se sono giuste tali condizioni (in particolare se ho studiato bene il valore assoluto che mi crea sempre dei dubbi), il problema è che non so come comportarmi per la risoluzione della terza disequazione... devo studiarla come una funzione ad una variabile per poi riportarne il grafico nel mio dominio? O devo sviluppare tutti i termini ed operare una sostituzione?

Grazie sempre in anticipo!
 
 

Dominio in due variabili con arcoseno, valore assoluto e radice #83941

avt
Omega
Amministratore
Vediamo come comportarci. emt

Per prima cosa dobbiamo guardare la funzione e, in accordo con le regole per il dominio in due variabili, scriviamo il sistema con le condizioni di esistenza

\begin{cases}-1\leq |x+y|-2\leq +1\\ y-\frac{\sqrt{x^2-9}}{x-4}\geq 0\\ x^2-9\geq 0\\ x-4\neq 0\end{cases}

Due piccole osservazioni. La prima condizione discende dalla stessa definizione di arcoseno. La terza e la quarta condizione possono essere omesse, perché in realtà sono già racchiuse nella seconda condizione (quella relativa all'esistenza della radice esterna).

Tenendo a mente il significato delle doppie disequazioni, possiamo riscrivere il sistema nella seguente forma

\begin{cases}|x+y|-2\geq -1\\ |x+y|-2\leq +1\\ y-\frac{\sqrt{x^2-9}}{x-4}\geq 0\\ x^2-9\geq 0\\ x-4\neq 0\end{cases}

Ora possiamo procedere nella risoluzione del sistema di disequazioni. Dal momento che ci troviamo a ragionare con una funzione a due variabili, dovremo rappresentare le soluzioni delle disequazioni nel piano.

Prima mi occupo delle cose più semplici:

- la disequazione di secondo grado ammette come soluzioni

x\leq -3\ \vee\ x\geq +3

tale condizione individua i due semipiani ad ascisse minori di -3 e ad ascisse maggiori di +3 nel piano cartesiano.

semipiani dominio in due variabili


- La condizione x-4\neq 0, vale a dire x\neq 4, ci impone di escludere la retta x=4.


- La condizione

|x+y|-2\geq -1

si traduce in

|x+y|\geq +1

la quale, in accordo con i metodi di risoluzione delle disequazioni con valori assoluti, equivale a

\begin{cases}x+y\geq 0\\ x+y\geq+1\end{cases}\ \cup\begin{cases}x+y<0\\ -(x+y)\geq +1\end{cases}

ossia

\begin{cases}x+y\geq 0\\ x+y\geq+1\end{cases}\ \cup\begin{cases}x+y<0\\ x+y\leq -1\end{cases}

Senza alcun conto si possono ridurre i due sistemi coinvolti a due disequazioni

x+y\geq +1\ \vee\ x+y\leq -1

Per determinare le soluzioni è sufficiente individuare le due rette associate alle due disequazioni, scrivendole in forma esplicita

y\geq +1-x\ \vee\ y\leq -1-x

da cui le soluzioni nel piano (rette incluse)

semipiani rette dominio 2 variabili


- Per la condizione

|x+y|-2\leq +1

si procede in modo del tutto analogo rispetto al caso precedente, trovando

0\leq x+y\leq 3\ \vee\ -3\leq x+y<0

ossia

-x\leq y\leq 3-x\ \vee\ -3-x\leq y<-x

le quali possono essere scritte nella forma compatta

-3-x\leq y\leq 3-x

che individua la striscia di piano rappresentata in figura (rette incluse)

striscia compresa tra rette


- Ora occupiamoci dell'ultima condizione

y-\frac{\sqrt{x^2-9}}{x-4}\geq 0

ossia

y\geq \frac{\sqrt{x^2-9}}{x-4}

Essa individua la regione dei punti del piano situati al di sopra del grafico della funzione y= \frac{\sqrt{x^2-9}}{x-4}.

Poiché abbiamo a che fare con una funzione dal grafico non elementare, l'unico modo per determinarlo consiste nell'effettuare uno studio di funzione ridotto all'osso, del quale qui di seguito riporto le informazioni salienti senza dilungarmi troppo. Chiamiamo la funzione g(x).

Dominio: la funzione è definita su Dom(g)=(-\infty,-3]\cup[+3,+4)\cup(+4,+\infty)

] Segno della funzione: la disequazione g(x)\geq 0 equivale a

x-4>0

perché la radice è non negativa ove definita, quindi la funzione è positiva per x>4, negativa per x<-3\ \vee\ +3<x<+4 e nulla in x=\pm 3

Limiti agli estremi del dominio

\\ \lim_{x\to -\infty}=g(x)=-1\\ \\ \lim_{x\to +\infty}=g(x)=+1

(basta limitarsi al confronto tra gli infiniti di ordine superiore a numeratore e a denominatore, estraendo \sqrt{x^2}=|x|, eliminando il modulo e specificando il segno di x a seconda che x\to\pm\infty ).

Massimi e minimi: la derivata prima è

g'(x)=\frac{9-4x}{(x-4)^2\sqrt{x^2-9}}

ed ha dominio

Dom(g')=(-\infty,-3)\cup(+3,+4)\cup(+4,+\infty)

su cui il denominatore è positivo. Per il segno, si tratta di osservare che g'(x)\geq 0 equivale a

x\leq \frac{9}{4}

Tenendo in considerazione il dominio, ne deduciamo che la funzione cresce per x<-3 e che decresce per +3<x<4\ \vee\ x>4.

Lo studio della derivata seconda si può omettere in tranquillità.

sovragrafico dominio funzione a due variabili


Per concludere non ti resta che individuare graficamente l'intersezione delle regioni piane individuate dalle condizioni del sistema. emt
Ringraziano: Galois, CarFaby, cyp

Dominio in due variabili con arcoseno, valore assoluto e radice #83966

avt
cyp
Cerchio
Ciao omega, chiara tutta la spiegazione...

Ho provato a disegnare il grafico di g(x) ma insieme alle altre condizioni del sistema non mi da zone di intersezione (l'unica zona in comune è la parte al di sopra della retta y=1-x ), e non riesco a capire che errore commetto.

Dominio in due variabili con arcoseno, valore assoluto e radice #83969

avt
Omega
Amministratore
Io ti consiglio di procedere con calma, partendo dal sovragrafico della funzione.

Poi, disegna su un grafico a parte (per comodità) l'intersezione tra le condizioni

\\ |x+y|-2\geq-1\\ \\ |x+y|+2\leq +1

la quale individua l'unione tra due strisce comprese rispettivamente tra due coppie di rette.

intersezione strisce rette

A questo punto metti tutto insieme e consideri l'intersezione di tutte le regioni individuate dalle singole condizioni.

Otterrai una rappresentazione del genere

dominio due variabili arcoseno radice
Ringraziano: CarFaby, cyp
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Os