Limite di successione parametrica con esponenziali coseno e fattoriale

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Limite di successione parametrica con esponenziali coseno e fattoriale #83907

avt
Codega
Punto
Ciao, un esercizio chiede di calcolare il limite di una successione parametrica con esponenziali, coseno e fattoriale al variare del parametro reale a

\lim_{n\to+\infty}a^n\frac{3^n\log(n^2+1)+2^nn}{\cos(n!)+5^nn}

PS: come posso contattarvi per le ripetizioni online?
 
 

Limite di successione parametrica con esponenziali coseno e fattoriale #83917

avt
Omega
Amministratore
Ciao Codega emt

Intanto ti lascio il link per la pagina dei contatti.

L'esercizio ci chiede di calcolare il seguente limite di successione al variare del parametro reale a\in\mathbb{R}

\lim_{n\to+\infty}a^n\frac{3^n\log(n^2+1)+2^nn}{\cos(n!)+5^nn}

L'idea nello studio del limite prevede sostanzialmente di fare appello al confronto tra infiniti di successioni, tenendo per bene a mente quali sono le gerarchie di infinito e ricordando che in una somma di infiniti dobbiamo limitarci a considerare solamente l'infinito di ordine superiore. Il resto non conta.

Il processo risolutivo consiste nel passaggio a limiti equivalenti, ma dalla forma semplificata.

Innanzitutto osserviamo che l'addendo costante nell'argomento del logaritmo è trascurabile (somma tra un infinito e una costante)

\lim_{n\to+\infty}a^n\frac{3^n\log(n^2)+2^nn}{\cos(n!)+5^nn}

Poi, notiamo che la funzione coseno è una funzione limitata e che assume valori compresi nell'intervallo [-1,+1].

Indipendentemente dal fattoriale presente come argomento, quel coseno a denominatore è trascurabile nella somma col secondo addendo, che è un infinito per n\to+\infty, perché si tratta di una quantità limitata

\lim_{n\to+\infty}a^n\frac{3^n\log(n^2)+2^nn}{5^nn}

Ora lavoriamo al numeratore. Prima usiamo una banalissima proprietà dei logaritmi

\lim_{n\to+\infty}a^n\frac{3^n\cdot 2\log(n)+2^nn}{5^nn}

e raccogliamo il termine 3^n\cdot 2\log(n), il presunto candidato a costituire l'infinito di ordine superiore nella somma

\lim_{n\to+\infty}a^n\frac{2\cdot 3^n\log(n)\left(1+\frac{2^nn}{2\cdot 3^n\log(n)}\right)}{5^nn}

Portiamo fuori dal limite il coefficiente 2, che è abbastanza fastidioso

2\lim_{n\to+\infty}a^n\frac{3^n\log(n)\left(1+\frac{1}{2}\frac{2^nn}{3^n\log(n)}\right)}{5^nn}

e riscriviamo il secondo addendo del raccoglimento nella seguente forma

2\lim_{n\to+\infty}a^n\frac{3^n\log(n)\left(1+\frac{1}{2}\frac{n}{\left(\frac{3}{2}\right)^n\log(n)}\right)}{5^nn}

In questo modo dovrebbe essere evidente che il secondo addendo costituisce un infinitesimo per n\to+\infty, perché l'esponenziale \left(\frac{3}{2}\right)^n genera un infinito di ordine superiore rispetto a n (ed è pure moltiplicata per un altro infinito).

La precedente constatazione ci permette di scrivere il limite equivalente

2\lim_{n\to+\infty}a^n\frac{3^n\log(n)}{5^nn}

Usiamo le proprietà delle potenze per scriverlo in una forma un po' più compatta

2\lim_{n\to+\infty}\left(a\cdot \frac{3}{5}\right)^n\frac{\log(n)}{n}

e per avere le idee un po' più chiare, poniamo c:=\frac{3a}{5}

2\lim_{n\to+\infty}c^n\frac{\log(n)}{n}

A questo punto possiamo analizzare il comportamento del limite al variare del parametro reale.

Come valori di soglia del parametro considero i valori per i quali l'esponenziale cambia radicalmente il proprio comportamento: c=+1,c=0,c=-1.


- Se c>1, ossia se a>\frac{5}{3}, allora il limite diverge positivamente (l'esponenziale diverge e batte il denominatore)

2\lim_{n\to+\infty}c^n\frac{\log(n)}{n}=+\infty


- Se c=1, ossia se a=\frac{5}{3}, allora il limite vale zero (perché l'esponenziale vale 1 e il termine a denominatore è un infinito di ordine superiore rispetto al numeratore)

2\lim_{n\to+\infty}1\cdot \frac{\log(n)}{n}=0


- Se 0<c<1, ossia se 0<a<\frac{5}{3}, allora il limite vale zero (perché l'esponenziale tende a zero)

2\lim_{n\to+\infty}c^n\frac{\log(n)}{n}=0


- Se c=0, ossia se a=0, allora il limite vale zero (perché il termine esponenziale è nullo)

2\lim_{n\to+\infty}0\cdot \frac{\log(n)}{n}=0


- Se -1<c<0, ossia se -\frac{5}{3}<a<0, allora il limite vale zero (perché l'esponenziale tende a zero)

2\lim_{n\to+\infty}c^n\frac{\log(n)}{n}=0


- Se c=-1, ossia se a=-\frac{5}{3}, allora il limite vale zero (perché l'esponenziale oscilla sui valori -1 e +1 e il restante rapporto è un infinitesimo)

2\lim_{n\to+\infty}(-1)^n\frac{\log(n)}{n}=0


- Se c<-1, ossia se a<-\frac{5}{3}, allora il limite non esiste (perché l'esponenziale diverge con segno non definito)

\not\exists\ \lim_{n\to+\infty}c^n\frac{\log(n)}{n}
Ringraziano: Galois, CarFaby
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