Studio di una forma differenziale: chiusura, esattezza e potenziale

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Studio di una forma differenziale: chiusura, esattezza e potenziale #83904

avt
cipessa19
Punto
Ciao! Dovrei studiare una forma differenziale e calcolare dominio, chiusura, esattezza e potenziale.

\omega(x,y) = (y^{2}-2xy+1)dx+(2xy -x^{2})dy

C'è anche un'altra parte interessante nell'esercizio: dimostrare poi che l'integrale della forma differenziale risulta nullo lungo una qualsiasi curva chiusa.


Se io volessi dimostrarlo attraverso il teorema della caratterizzazione? Per far vedere che l'integrale viene uguale a 0 posso prendere una qualsiasi curva chiusa a mio piacere?

Vi ringrazio in anticipo!
 
 

Studio di una forma differenziale: chiusura, esattezza e potenziale #83911

avt
Galois
Coamministratore
Ciao cipessa19. emt

Iniziamo con lo studio della forma differenziale

\omega(x,y)=(y^2-2xy+1)dx + (2xy-x^2)dy

Poniamo, per semplicità di notazione, A(x,y):=y^2-2xy+1 \mbox{ e } B(x,y)=2xy-x^2.

Ovviamente, dal momento che le due funzioni (reali di due variabili reali) A(x,y) \mbox{ e } B(x,y) sono definite su tutto \mathbb{R}^2, il dominio della forma differenziale w(x,y) coincide con tutto \mathbb{R}^2.

Per approfondire ti lascio un link utile a determinare il dominio di una funzione in due variabili - click!

Passiamo ora allo studio della chiusura della forma differenziale che, come ben saprai, si riduce al calcolo ed al successivo confronto di due derivate parziali, ossia la forma differenziale

w(x,y)=A(x,y)dx + B(x,y)dy

è chiusa se e solo se, per definizione

\frac{\partial}{\partial y} A(x,y)= \frac{\partial}{\partial x} B(x,y)

Ora, avendo ben presente come si calcolano le derivate parziali, abbiamo

\frac{\partial}{\partial y} A(x,y)= \frac{\partial}{\partial y} [y^2-2xy+1] = 2y-2x

che coincide proprio con

\frac{\partial}{\partial x} B(x,y)= \frac{\partial}{\partial x} [2xy-x^2] = 2y-2x.

Possiamo così concludere che la forma differenziale data è chiusa e, dal momento che è definita su un insieme semplicemente connesso (qual è \mathbb{R}^2), possiamo affermare che la forma data è anche esatta e quindi procedere al calcolo del potenziale della forma differenziale - click!

Scegliamo quindi una delle due componenti della forma \omega(x,y); ad esempio B(x,y)=2xy-x^2 ed integriamo, ossia calcoliamo

\int \left[2xy-x^2\right] dy

Sfruttando le proprietà di linearità e additività dell'integrale di Riemann possiamo concludere che

\\ \int \left[2xy-x^2\right] dy = 2x \int [y] dy - x^2 \int[1] dy = \\ \\ = 2x \cdot \frac{y^2}{2} - x^2y + c(x) = xy^2-x^2y+c(x)

Deriviamo ora quanto ottenuto rispetto alla variabile x e poniamolo uguale a A(x,y), ossia

\frac{d}{dx}[xy^2-x^2y+c(x)] = y^2-2xy+1

da cui

y^2-2xy+c'(x) = y^2-2xy+1

Possiamo così ricavare c'(x)=1 e, di conseguenza, c(x)=x+k, k \in \mathbb{R}.

Il potenziale della forma differenziale di partenza è quindi dato da

f(x,y)=xy^2-x^2y+x+k, \ k \in \mathbb{R}

----------------

Veniamo ora alla seconda parte dell'esercizio. Abbiamo già stabilito che stiamo lavorando con una forma differenziale esatta, pertanto, per il teorema di caratterizzazione delle forme esatte, possiamo concludere che per ogni curva regolare a tratti e chiusa, l'integrale della forma lungo tale curva è nullo.

La traccia dell'esercizio (che riporto)

Dimostrare poi che l'integrale della forma differenziale risulta nullo lungo una qualsiasi curva chiusa

chiede di far vedere che, scelta una qualsiasi curva chiusa, l'integrale della forma lungo tale curva (scelta a nostro piacimento) è nullo.

Dal momento che conosci e quindi possiamo applicare il teorema di Gauss Green in realtà, non c'è molto da fare.

Scelta una qualsiasi curva chiusa, osserviamo che sono verificate tutte le ipotesi del teorema di Gauss Green; infatti la forma differenziale data ha come dominio tutto \mathbb{R}^2 il quale, indubbiamente, contiene la chiusura di un qualsiasi dominio regolare D avente come frontiera una qualsiasi curva chiusa e definita a tratti \partial D. Inoltre A(x,y) \mbox{ e } B(x,y) sono due funzioni di classe C^1 e quindi possiamo dormire tranquilli, ossia possiamo applicare il teorema di Gauss Green, per cui:

\oint_{\partial^{+} D}A(x,y)dx+B(x,y)dy=\iint_{D}\frac{\partial B(x,y)}{\partial x}- \frac{\partial A(x,y)}{\partial y}dxdy=0

in quanto, essendo la forma chiusa,

\frac{\partial B(x,y)}{\partial x}= \frac{\partial A(x,y)}{\partial y}

e, di conseguenza, l'integranda dell'integrale doppio è nullo.

È tutto! emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, cipessa19
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Os