Integrale doppio con parabola e integranda con valore assoluto

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Integrale doppio con parabola e integranda con valore assoluto #83894

avt
cyp
Cerchio
Devo svolgere il seguente integrale doppio su un dominio di integrazione T, la parte di piano determinata dalla parabola di equazione y=1-x^2 con la condizione y\geq 0.

\iint_{T}^{ }\frac{3-6x^2}{1+2y}dxdy


Provando a calcolarlo, mi ritrovo ferma al seguente punto:

-\frac{9}{2}\int_{-1}^{1}\left (x^2ln\left | 3-2x^2 \right |  \right )dx

Come faccio a proseguire? Devo utilizzare il metodo di integrazione per parti? Non so come comportarmi in presenza di questo valore assoluto...
 
 

Integrale doppio con parabola e integranda con valore assoluto #83898

avt
Omega
Amministratore
Eccomi Cyp emt

Alla fine di questa risposta ti darò tutti i ragguagli del caso per risolvere gli integrali con valori assoluti nell'integranda, simili per lo meno a quello che genera i tuoi dubbi.

Intanto vogliamo calcolare l'integrale doppio

\iint_{T}^{ }\frac{3-6x^2}{1+2y}dxdy

dove T è la porzione di piano delimitata dalla parabola y=1-x^2 e situata nel semipiano ad ordinate non negative.

dominio integrazione integrale doppio


Il primo passo consiste nello scrivere il dominio di integrazione in forma normale rispetto ad uno dei due assi. Qui non è difficile. Per come è definito il dominio conviene scriverlo in forma normale rispetto all'asse x, ossia nella forma

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ -1\leq x\leq +1,\ 0\leq y\leq 1-x^2\}

per cui possiamo riscrivere l'integrale doppio nella forma

\int_{-1}^{+1}\int_{0}^{1-x^2}\frac{3-6x^2}{1+2y}dxdy

Integriamo rispetto ad y, però prima semplifichiamoci il lavoro

\int_{-1}^{+1}\left[(3-6x^2)\int_{0}^{1-x^2}\frac{1}{1+2y}dy\right]dx

L'integranda in y ha evidentemente una primitiva logaritmica (tabella degli integrali notevoli). Dobbiamo solo aggiustare un coefficiente

\\ \int_{-1}^{+1}\left[\frac{3-6x^2}{2}\int_{0}^{1-x^2}\frac{1}{1+2y}\cdot 2dy\right]dx=\\ \\ \\ =\int_{-1}^{+1}\frac{3-6x^2}{2}\left[\log(|1+2y|)\right]_{0}^{1-x^2}dx=

Valutiamo la primitiva agli estremi

\\ =\int_{-1}^{+1}\frac{3-6x^2}{2}[\log(|1+2(1-x^2)|-\log(|1|)]dx=\\ \\ \\ =\frac{1}{2}\int_{-1}^{+1}(3-6x^2)\log(|3-2x^2|)dx=

È evidente che il valore assoluto dà noia, però possiamo sbarazzarcene: basta osservare che la funzione integranda è una funzione pari, ed in accordo con il significato geometrico dell'integrale di Riemann possiamo equivalentemente calcolare

\\ =\frac{1}{2}\cdot 2\int_{0}^{+1}(3-6x^2)\log(|3-2x^2|)dx=\\ \\ \\ =\int_{0}^{+1}(3-6x^2)\log(|3-2x^2|)dx=(\bullet)

Avere un segno ben definito sulle ascisse di integrazione ci permette di eliminare il valore assoluto specificando il segno dell'argomento

\\ 3-2x^2>0\mbox{ per }x\in [0,1]\mbox{ quindi}\\ \\ |3-2x^2|=3-2x^2\mbox{ per }x\in [0,1]\\ \\ \\ (\bullet)=\int_{0}^{+1}(3-6x^2)\log(3-2x^2)dx=

Ora possiamo integrare per parti prendendo 3-6x^2 come derivata e \log(3-2x^2) come primitiva

\\ =[(3x-2x^3)\log(3-2x^2)]_0^1-\int_{0}^{+1}(3x-2x^3)\frac{1}{3-2x^2}\cdot (-4x)dx=\\ \\ \\ =-\int_{0}^{+1}\frac{-4x(3x-2x^3)}{3-2x^2}dx=

Effettuiamo un raccoglimento totale

=-\int_{0}^{+1}\frac{-4x^2(3-2x^2)}{3-2x^2}dx=

e semplifichiamo

=-\int_{0}^{+1}(-4x^2)dx=\left[\frac{4}{3}x^3\right]_0^1=\frac{4}{3}

e abbiamo finito. emt


In riferimento agli integrali definiti con valori assoluti, l'idea di base prevede sempre di lavorare sugli estremi di integrazione in modo da:

- sfruttare le proprietà degli integrali;

- eventualmente sfruttare le proprietà dell'integranda (come nel nostro caso)

- ricondursi a intervalli in cui è possibile eliminare il valore assoluto specificando il segno dell'argomento.

Ecco un esempio: integrale definito con arcoseno e valore assoluto.

Se vuoi consultare altri esercizi svolti, puoi effettuare una ricerca qui su YM con la chiave "integrali valore assoluto".
Ringraziano: Galois, CarFaby
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Os