Autovalori e diagonalizzabilità di una matrice a coefficienti complessi

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Autovalori e diagonalizzabilità di una matrice a coefficienti complessi #83859

avt
Roggi
Punto
Salve, ho difficoltà con un esercizio sugli autovalori e sulla diagonalizzazione di una matrice complessa.

Sia

A(z)=\left[\begin{matrix}1 & i & i\\ i & 0 & -i\\ 1+i & i & 0\end{matrix}\right]

calcolare gli autovalori di A\overline{(A^t)} e discuterne la diagonalizzabilità. Determinare la sua diagonalizzazione.


Innanzitutto ho determinato la matrice coniugata di A e poi l'ho trasposta. Ho moltiplicato A per \overline{(A^t)} e ho ottenuto:

\left[\begin{matrix}3 & -2i & 2i\\ 2i & 2 & 1+i\\ 2+i & 1-i & 3\end{matrix}\right]

Ho determinato il polinomio caratteristico di A:

k^3-8k^2+10k-2=0

A questo punto non sono riuscito a trovare gli autovalori quindi ho usato il Criterio di Cartesio ed ho visto che ammette 3 radici positive.

Quindi a questo punto essendo le radici distinte e dello stesso ordine della matrice allora ho dedotto che la matrice fosse diagonalizzabile.

Qui mi sono fermato in quanto non riesco a determinare la matrice diagonale.

Grazie per l'attenzione
 
 

Re: Autovalori e diagonalizzabilità di una matrice a coefficienti complessi #83880

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Roggi emt

Data la matrice (a coefficienti complessi)

A=\begin{pmatrix}1 & i & i \\ i & 0 & -i \\ 1+i & i & 0 \end{pmatrix}

dobbiamo trovare gli autovalori della matrice A \overline{A^T} e stabilire se tale matrice è diagonalizzabile.

A^T indica la trasposta della matrice A che è data da

A^T=\begin{pmatrix} 1 & i & 1+i \\ i & 0 & i \\ i & -i & 0 \end{pmatrix}

Mentre \overline{A^T} indica la matrice complessa coniugata della matrice A^T, ossia la matrice che si ottiene da A^T sostituendo ogni elemento con il suo complesso coniugato. Si ha, quindi

\overline{A^T}=\begin{pmatrix} 1 & -i & 1-i \\ -i & 0 & -i \\ -i & i & 0 \end{pmatrix}

Non ci rimane altro da fare se non calcolare il prodotto riga per colonna tra le due matrici A \mbox{ e } \overline{A^T}.

Ti invito a prendere visione della lezione del link dal momento che la matrice da te scritta non corrisponde a quando dovresti ottenere. Abbiamo infatti

A \overline{A^T} = \begin{pmatrix}1 & i & i \\ i & 0 & -i \\ 1+i & i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -i & 1-i \\ -i & 0 & -i \\ -i & i & 0 \end{pmatrix} =

=\begin{pmatrix} 1\cdot 1 + i\cdot (-i) + i\cdot (-i) & 1 \cdot (-i) + i \cdot 0 + i \cdot i & 1 \cdot (1-i) + i \cdot (-i) + i \cdot 0 \\ i \cdot 1 + 0 \cdot (-i) + (-i) \cdot (-i) & i \cdot (-i) + i\cdot 0 + (-i) \cdot i & i \cdot (1-i) + 0 \cdot (-i) + (-i) \cdot 0 \\ (1+i)\cdot 1 + i \cdot (-i) + 0 \cdot (-i) & (1+i) \cdot (-i) + i \cdot 0 + 0 \cdot i & (1+i) \cdot (1-i) + i \cdot (-i) + 0 \cdot 0 \end{pmatrix}

Lascio a te il compito di eseguire i (semplici) conti algebrici. Tieni però ben presente come si eseguono i prodotti con l'unità immaginaria - click!

Alla fine otterrai la matrice (che per comodità chiamerò B):

B=\begin{pmatrix} 3 & -1-i & 2-i \\ -1+i & 2 & 1+i \\ 2+i & 1-i & 3\end{pmatrix}.

Dobbiamo ora calcolare gli autovalori della matrice B. Come puoi leggere nella lezione dell'ultimo link tali autovalori si ottengono calcolando gli zeri del polinomio caratteristico, ossia trovando le radici del determinante della matrice B-I\lambda, dove con I indichiamo la matrice identica di ordine 3. Pertanto:

P(\lambda)=\mbox{det}\left[B-I\lambda\right]=\mbox{det}\begin{pmatrix} 3-\lambda & -1-i & 2-i \\ -1+i & 2-\lambda & 1+i \\ 2+i & 1-i & 3-\lambda\end{pmatrix}=

(procedendo con la regola di Sarrus)

=-\lambda^3 + 8\lambda^2 -12 \lambda

Al fine di trovare gli zeri di tale polinomio possiamo effettuare un raccoglimento totale del termine -\lambda

P(\lambda)=-\lambda(\lambda^2 - 8\lambda + 12 )

che, per la legge di annullamento del prodotto, si annulla per

\lambda=0

oppure per

\lambda^2 - 8\lambda + 12 = 0

Quella appena scritta è un'equazione di secondo grado che ha come zeri

\lambda_1=2 \mbox{ e } \lambda_2 = 6

Pertanto gli autovalori della matrice B := A \overline{A^T} sono

\lambda_0=0, \ \lambda_1=2, \ \lambda_2 = 6.

Ti invito ora a leggere con molta attenzione la nostra lezione sulle matrici diagonalizzabili - click!

Siamo di fronte ad una matrice a coefficienti complessi, di ordine 3, che ammette tre autovalori distinti. Possiamo quindi, senza fare alcun altro conto, concludere che la matrice B è una matrice diagonalizzabile.

Ora, la matrice diagonale D a cui è simile la matrice B è quella matrice che ha sulla diagonale gli autovalori che abbiamo appena calcolato, ossia

D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{pmatrix}

La matrice diagonalizzante è invece quella matrice che ha come colonne gli autovettori associati a ciascun autovalore. Procediamo col trovare lo spazio degli autovettori associati all'autovalore  \lambda_0 = 0 .

Dobbiamo risolvere il sistema lineare omogeneo

(B-I\lambda_0)\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}

ossia

\begin{pmatrix} 3 & -1-i & 2-i \\ -1+i & 2 & 1+i \\ 2+i & 1-i & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}

che possiamo scrivere in forma estesa come

\begin{cases}3x+(-1-i)y+(2-i)z=0 \\ (1+i)x + 2y + (1+i)z \\ (2+i)x + (1-i)y + 3z=0\end{cases}

Quasi inutile dire che, a questo punto, è indispensabile saper approcciare e risolvere i sistemi lineari. La matrice incompleta associata al sistema corrisponde alla matrice B la quale ha rango uguale a 2. Basta infatti osservare che il suo determinante è nullo e che il minore di ordine 2 che si ottiene eliminando terza riga e terza colonna ha determinante non nullo.

Per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette \infty^1 soluzioni date da:

(x,y,z)=(-a,-a,a) \mbox{ con } a\in \mathbb{R}

che si scrivono, sotto forma di combinazione lineare, come a(-1,-1,1).

Possiamo così concludere che [-1,-1,1] genera tutti e soli gli autovettori relativi all'autovalore  \lambda_0 = 0 e che quindi costituisce la prima colonna della matrice diagonalizzante.

Procedendo allo stesso modo, ossia calcolando gli autovettori relativi agli altri due autovalori, troverai le altre le due colonne della matrice diagonalizzante che è data da:

P=\begin{pmatrix}-1 & i & 4-3i \\ -1 & 1-i & 1+3i \\ 1 & 1 & 5\end{pmatrix}

È tutto! Per non lasciare spazio a dubbi ti invito a leggere con estrema attenzione teoria ed esempi presenti nelle lezioni che ti ho linkato, soprattutto in quelle sul calcolo di autovalori ed autovettori e sulle matrici diagonalizzabili. emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby, Roggi
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