Parametrizzazione superficie di rotazione e calcolo volume

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Parametrizzazione superficie di rotazione e calcolo volume #83835

avt
Roggi
Punto
Salve, ho un problema con un esercizio sulla parametrizzazione di una superficie di rotazione e sul calcolo del volume da essa racchiuso. È tratto da un esame di Analisi 2.

Determinare l'equazione parametrica della superficie attraverso la rotazione della curva

z = cos(y)+2, (-π < y < π)

intorno all'asse y e calcolare il volume del solido da essa racchiuso.

Allora innanzitutto ho calcolato le parametrizzazioni per x=0 ed ho determinato [0,u,cos(u)+2] con -π < u < π.

A questo punto ho calcolato la matrice di rotazione dell'asse y data da

[cos(v) 0 -sin(v) ; 0 1 0 ; sin(v) 0 cos(v)]

con -π < v < π.

Quindi svolgendo il prodotto tra le 2 ho ottenuto

[-sin(v)(cos(u)+2), u, cos(v)(cos(u)+2)]

con -π < u,v < π.

Ora devo calcolare il volume del solido. Inizierei impostando l'integrale doppio su D = [-π,π] di z = cos(y)+2, ma non so se è il procedimento corretto.

Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione.
 
 

Re: Parametrizzazione superficie di rotazione e calcolo volume #83842

avt
Omega
Amministratore
A occhio e croce il procedimento che hai seguito va bene: abbiamo una curva nel piano Oyz, ossia nel piano di equazione x = 0, definita come grafico della funzione

z = cos(y)+2 con y∈[-π,+π]

La tua idea prevede di scrivere la parametrizzazione naturale di tale curva

(u,cos(u)+2) con u∈[-π,+π]

per poi passare alle tre dimensioni

(0,u,cos(u)+2) con u∈[-π,+π]

e, considerando la matrice di rotazione attorno all'asse y, della forma

R_y = [cos(v) 0 -sin(v) ; 0 1 0 ; sin(v) 0 cos(v)]

con angolo di rotazione libero v∈ [-π,π), descrivere tutti i punti della superficie di rotazione in un colpo solo

[cos(v) 0 -sin(v) ; 0 1 0 ; sin(v) 0 cos(v)][0 ; u ; cos(u)+2] = [-sin(v)(cos(u)+2) ; u ; cos(v)(cos(u)+2)]

dove u∈ [-π,+π], v∈ [-π,+π).

Vorrei farti notare che l'imposizione sull'angolo di rotazione prevede che uno dei due angoli estremi sia incluso (in modo da comprendere l'ultimo "tratto" della superficie di rotazione) e che l'altro estremo sia escluso (in modo da non ripetere l'ultimo "tratto").

Vorrei anche farti notare che, per chi ha un gusto prettamente analitico, esiste un'altra possibilità semplice ed immediata per descrivere parametricamente la superficie di rotazione.

Essa prevede di invertire la funzione z = z(y) come

y = arccos(z-2)

] dove però la funzione arcocoseno impone una restrizione con 1 ≤ z ≤ 3 (e conseguentemente 0 ≤ y ≤ π).

A questo punto si può descrivere agevolmente la porzione di superficie per y ≥ 0 con la parametrizzazione

x = ucos(θ) ; y = arccos(u-2) ; z = usin(θ) con 1 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ θ < 2π

In buona sostanza ci si sdraia sul piano Oxz, si guardano le ordinate raggiunte dalla funzione lungo l'asse y e si fa girare la giostra. emt

Per chiudere la parametrizzazione alle ordinate negative il passo è breve

x = ucos(θ) ; y = - arccos(u-2) ; z = usin(θ) con 1 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ θ < 2π

Beh, non voglio divagare. Era giusto per fornirti un punto di vista alternativo...


In riferimento al volume possiamo appellarci con successo ai teoremi di Pappo-Guldino, e calcolare il volume di rotazione attorno all'asse y come

V = π∫_(a)^(b)[f(y)]^2dy

formula che ho mutuato da qui: formule per il volume dei solidi di rotazione.

Notiamo che la semplicità della formula ha dello strabiliante: si integra lungo y una misura d'area, precisamente l'area del cerchio

A = π r^2 = π [f(y)]^2

con raggio variabile al variare dell'ordinata.

In questo modo abbiamo

V = π∫_(-π)^(+π)[cos(y)+2]^2dy =

sviluppiamo il quadrato del binomio

= π∫_(-π)^(+π)(cos^2(y)+4cos(y)+4)dy =

L'unica difficoltà (se tale si può definire) è il calcolo dell'integrale del coseno al quadrato, questione ampiamente dibattuta nella pagina del precedente link.

Possiamo passare senza indugi a

= π∫_(-π)^(+π)((1)/(2)+(1)/(2)cos(2y)+4cos(y)+4)dy = π[(9)/(2)y+(1)/(4)sin(2y)+4sin(y)]_(-π)^(+π) = π[(9)/(2)π+0+0-(9)/(2)(-π)-0-0] ; = 9π^2

ed ecco fatto. emt
Ringraziano: CarFaby

Re: Parametrizzazione superficie di rotazione e calcolo volume #83843

avt
Roggi
Punto
Grazie mi è abbastanza chiaro ma ho ancora un piccolo dubbio.
Se la rotazione fosse stata intorno all'asse z cosa sarebbe cambiato?

Re: Parametrizzazione superficie di rotazione e calcolo volume #83844

avt
Omega
Amministratore
In riferimento all'integrale, ti dico per sicurezza (magari non l'hai visto) che ci sono altre formule ed altri ragionamenti, esposti nel prosieguo della pagina sui solidi di rotazione. emt

Re: Parametrizzazione superficie di rotazione e calcolo volume #83845

avt
Roggi
Punto
Si l'ho vista e ho letto la discussione ma ancora non mi è chiara questo quesito.

Provo a dare una risoluzione: se la rotazione avvenisse intorno all'asse z dovremmo impostare l'integrale

∫_a^b f^(-1)(z)dz

ossia

∫_a^b arccos(z-2)dz

È corretto o ho sbagliato qualcosa?

Re: Parametrizzazione superficie di rotazione e calcolo volume #83846

avt
Omega
Amministratore
Nessuna delle due formule che hai scritto è corretta.

Tutto dipende da quale parte del grafico vuoi far ruotare attorno all'asse z.

Se vuoi far ruotare l'area sottesa dal grafico di z = cos(y)+2, cioè l'area compresa tra il grafico di z = f(y) e l'asse y, allora devi considerare

V = 2π∫_(a)^(b)yf(y)dy

Se invece vuoi far ruotare l'area compresa tra il grafico di z = f(y) e l'asse z

V = π∫_(z_1)^(z_2)[f^(-1)(z)]^2dz

dove y = f^(-1)(z) = arccos(z-2) è la funzione inversa e z_1,z_2 sono le quote che delimitano il grafico.
Ringraziano: CarFaby

Re: Parametrizzazione superficie di rotazione e calcolo volume #83850

avt
Roggi
Punto
Grazie mille..

Quindi se non mi sbaglio per determinare i valori di z_1 e z_2 devo sostituire nella funzione di partenza z = cos(y)+2 i valori di -π e π per determinare rispettivamente z_1 e z_2.

Re: Parametrizzazione superficie di rotazione e calcolo volume #83851

avt
Omega
Amministratore
Esattamente emt
Ringraziano: Roggi
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Os