Continuità e differenziabilità in due variabili in presenza di un parametro

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Continuità e differenziabilità in due variabili in presenza di un parametro #83828

avt
cyp
Cerchio
Devo risolvere un esercizio in cui bisogna studiare continuità e differenziabilità in due variabili con un parametro.

Data la funzione

f(x,y)=\begin{cases}\frac{\arctan(y^4)\sin(xy)}{\alpha (x^2+y^2)^{\frac{\alpha}{2}}}\mbox{ se }(x,y)\neq 0\\ 0\mbox{ se }(x,y)=0\end{cases}

- per quali valori di \alpha\in\mathbb{R} è continua?

- per quali valori di \alpha\in\mathbb{R} è differenziabile?

Grazie in anticipo
 
 

Re: Continuità e differenziabilità in due variabili in presenza di un parametro #83834

avt
Omega
Amministratore
Ok, eccoci emt

A discapito delle apparenze, la funzione non è così indomabile come sembra

f(x,y)=\begin{cases}\frac{\arctan(y^4)\sin(xy)}{\alpha (x^2+y^2)^{\frac{\alpha}{2}}}\mbox{ se }(x,y)\neq 0\\ 0\mbox{ se }(x,y)=0\end{cases}

dove chiaramente dobbiamo richiedere \alpha\neq 0.

Notiamo subito che per (x,y)\neq(0,0) il ramo di definizione non presenta problemi né in termini di continuità, né in termini di differenziabilità, in quanto rapporto e composizione di termini continui e differenziabili.

I nostri sforzi dovranno rivolgersi all'origine degli assi (0,0).


Studio della continuità

Per far sì che f sia continua in (0,0) deve verificarsi la seguente condizione

\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0

quindi lo studio della continuità si riduce allo studio del limite in due variabili al variare del parametro \alpha\in\mathbb{R}

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\arctan(y^4)\sin(xy)}{\alpha (x^2+y^2)^{\frac{\alpha}{2}}}

Se \alpha<0 possiamo riscrivere il limite come

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\arctan(y^4)\sin(xy)(x^2+y^2)^{-\frac{\alpha}{2}}}{\alpha}

con -\frac{\alpha}{2}>0. In questo caso è chiaro che, a prescindere dalla direzione di avvicendamento per (x,y)\to(0,0), risulti

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\arctan(y^4)\sin(xy)(x^2+y^2)^{-\frac{\alpha}{2}}}{\alpha}=0

Il caso \alpha>0 richiede uno studio più approfondito. Passiamo in coordinate polari

\lim_{r\to 0}\frac{\arctan(r^4\sin^4(t))\sin(r^2\cos(t)\sin(t))}{\alpha (r^2)^{\frac{\alpha}{2}}}

dove x^2+y^2=r^2 in forza dell'identità fondamentale (vedi formule trigonometriche).

L'utilizzo dei limiti notevoli ci permette di passare ad un limite equivalente, per semplice applicazione delle equivalenze asintotiche (come usare i limiti notevoli)

\lim_{r\to 0}\frac{r^4\sin^4(t)\cdot r^2\cos(t)\sin(t))}{\alpha (r^2)^{\frac{\alpha}{2}}}

ossia

\lim_{r\to 0}\frac{r^6\cos(t)\sin^5(t))}{\alpha\cdot r^{\alpha}}

ossia

\lim_{r\to 0}\frac{r^{6-\alpha}\cos(t)\sin^5(t))}{\alpha}

Ora, se 6-\alpha>0 è chiaro che il limite non dipende dall'angolo t, dunque non dipende dalla direzione considerata, e vale zero. Ne deduciamo che la funzione è continua in (0,0) se 0<\alpha<6.

In caso contrario, se \alpha\geq 6, il limite non esiste e dunque la funzione non è continua nell'origine.


Studio della differenziabilità

Ci sono diversi aspetti teorici da prendere in considerazione quando si parla della differenziabilità in un punto, tutti ampiamente dibattuti e snocciolati nella lezione del link.

Quel che sappiamo di per certo dalla teoria è che senza continuità non si può parlare di differenziabilità, per cui per i valori del parametro \alpha\geq 6 la funzione non è differenziabile.

Quale tecnica di studio possiamo adottare per i casi dubbi? Potremmo avere la tentazione di buttarci sul teorema del differenziale totale, ma ci ritroveremmo a dover studiare la continuità delle derivate parziali e francamente data l'espressione della funzione... non è il caso.

Il metodo più semplice nel nostro caso prevede di ricorrere alla definizione: la funzione è differenziabile nel punto (0,0) se e solo se valgono entrambe le seguenti condizioni:

1) esistono le derivate parziali prime in (0,0);

2) il limitone è nullo

\lim_{(h, k)\to (0,0)}\frac{f(0+h,0+k)-f(0,0)- f_{x}(0,0)h- f_{y}(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}= 0

Procediamo e valutiamo l'esistenza delle derivate parziali con la definizione

\\ f_{x}(0,0):=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\\ \\ =\lim_{h\to 0}\frac{\frac{0\cdot 0}{\alpha (h^2+0)^\frac{\alpha}{2}}-0}{h}=0\\ \\ \\ \\ f_{y}(0,0):=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\\ \\ =\lim_{k\to 0}\frac{\frac{\arctan(k^4)\cdot 0}{\alpha (0+k^2)^\frac{\alpha}{2}}-0}{k}=0

Nota che in entrambi i casi abbiamo il rapporto tra uno zero preciso e una quantità che tende a zero, quindi il limite vale zero (non abbiamo alcuna forma indeterminata).

Le due derivate parziali esistono nel punto in esame e sono entrambe nulle.

Impostiamo il limitone di cui al punto 2):

\lim_{(h, k)\to (0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)- f_{x}(0,0)h- f_{y}(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=\\ \\ \\ =\lim_{(h, k)\to (0,0)}\frac{\frac{\arctan(k^4)\sin(hk)}{\alpha (h^2+k^2)^{\frac{\alpha}{2}}}}{\sqrt{h^2+k^2}}=\\ \\ \\ =\lim_{(h, k)\to (0,0)}\frac{\arctan(k^4)\sin(hk)}{\alpha (h^2+k^2)^{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{h^2+k^2}}=\\ \\ \\ =\lim_{(h, k)\to (0,0)}\frac{\arctan(k^4)\sin(hk)}{\alpha (h^2+k^2)^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{2}}}

Ora possiamo ripercorrere il procedimento di calcolo utilizzato nello studio della continuità, perché il limite è del tutto analogo.

Si vede subito che il limite vale zero per \alpha<0, valori del parametro per i quali la funzione è differenziabile.

Passando alle coordinate polari, arriviamo a

\lim_{r\to 0}\frac{r^{6-(\alpha+1)}\cos(t)\sin^5(t)}{\alpha}

per cui abbiamo differenziabilità se 6-\alpha-1>0, ossia se \alpha<5.

In caso contrario il limite non vale zero (non esiste) e quindi la funzione non è differenziabile.
Ringraziano: CarFaby, cyp
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