Convergenza di una serie con termine integrale e parametro

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Convergenza di una serie con termine integrale e parametro #83823

avt
Andrea.snooker
Punto
Gentili master!
Sono un giovane tutor di matematica e il professore mi ha detto di spiegare questo esercizio ai ragazzi. Volevo prima un vostro parere per cortesia. In bocca al lupo!

\sum_{n}^{+\infty}n^\alpha\left[e^{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}-e-\frac{e}{2n}\right]\left[\int_{n}^{\frac{n^6+1}{n^5+5}}\frac{t^3\arctan(t)}{1+\arctan(t)}dt\right]
 
 

Convergenza di una serie con termine integrale e parametro #83825

avt
Omega
Amministratore
Ciao Andrea.Snooker emt

Per quanto il termine generale della serie sia orripilante, come vedremo tra poco l'utilizzo del criterio del confronto asintotico ci permetterà di ricondurci agevolmente ad una famiglia di serie ben note.

\sum_{n}^{+\infty}n^\alpha\left[e^{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}-e-\frac{e}{2n}\right]\left[\int_{n}^{\frac{n^6+1}{n^5+5}}\frac{t^3\arctan(t)}{1+\arctan(t)}dt\right]

Dobbiamo ragionare fattore per fattore, ricordando che ci interessa il comportamento definitivo del termine generale, vale a dire da un certo n_0\in\mathbb{N}.

Il primo fattore è n^{\alpha}, e non richiede un grande lavoro.

Il secondo fattore è

e^{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}-e-\frac{e}{2n}

e qui dobbiamo sporcarci un po' le mani, alla ricerca di una stima asintotica per la successione in esame. La strategia più conveniente prevede di ricorrere agli sviluppi di Taylor. Per inciso, della liceità e delle modalità di utilizzo degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin con le successioni ne parliamo nella lezione del link.

La necessità dell'utilizzo di Taylor per determinare una stima asintotica, in particolare, nasce dal fatto che in

\lim_{n\to +\infty}e^{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}-e-\frac{e}{2n}

ci troveremmo di fronte ad una differenza tra infinitesimi che coincidono al primo ordine. Questo perché, raccogliendo un fattore e tra i primi due termini

e\left(e^{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1}-1\right)-\frac{e}{2n}

e considerando la stima asintotica del limite notevole della successione esponenziale, ci ritroveremmo con

e\left(e^{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1}-1\right)-\frac{e}{2n}\sim_{n\to +\infty}e\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}\right)-\frac{e}{2n}

Un'analisi al primo ordine di infinitesimo si rivela dunque insufficiente.

Consideriamo lo sviluppo del termine e^{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} al terzo ordine:

e^{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=e+\frac{e}{2n}+\frac{e}{48n^3}+o\left(\left(\frac{1}{n}\right)^3\right)

Se posso permettermi un consiglio, insisti sulla necessità di uno sviluppo agli ordini superiori con gli studenti. emt

Ora riprendiamo l'intero fattore e deduciamo la stima asintotica

e^{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}-e-\frac{e}{2n}=e+\frac{e}{2n}+\frac{e}{48n^3}+o\left(\left(\frac{1}{n}\right)^3\right)-e-\frac{e}{2n}

in altri termini

e^{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}-e-\frac{e}{2n}\sim_{n\to +\infty}\frac{e}{48n^3}


Ok. È il momento del fattore

\left[\int_{n}^{\frac{n^6+1}{n^5+5}}\frac{t^3\arctan(t)}{1+\arctan(t)}dt\right]

è qui dobbiamo innanzitutto osservare (anche se si tratta di un'osservazione ininfluente) che definitivamente risulta che

\frac{n^6+1}{n^5+5}>n

per vederlo è sufficiente portare tutto al membro di sinistra e ricordare che n\in\mathbb{N} è un numero naturale. Per essere pignoli dovremmo invertire gli estremi di integrazione e anteporre un segno meno all'integrale, ma poco importa... In fin dei conti ci importa l'andamento quantitativo del termine generale.

Ora la parte interessante: al tendere di n\to +\infty abbiamo due fattori, nell'integranda

f(t)=\frac{t^3\arctan(t)}{1+\arctan(t)}

che si riducono asintoticamente ad una costante. Basta tenere conto del comportamento dell'arcotangente per n\to +\infty

f(t)=\frac{t^3\arctan(t)}{1+\arctan(t)}\sim_{t\to+\infty}\frac{\frac{\pi}{2}}{1+\frac{\pi}{2}}t^3

Quindi, a meno di un coefficiente, l'integranda è asintoticamente equivalente a

g(t)=t^3

In buona sostanza la precedente osservazione ci permette, a meno di un coefficiente, di considerare come equivalente asintotico del termine integrale l'integrale

\left[\int_{n}^{\frac{n^6+1}{n^5+5}}t^3dt\right]

Questo integrale è molto più abbordabile, possiamo addirittura determinarne il valore

\left[\int_{n}^{\frac{n^6+1}{n^5+5}}t^3dt\right]=\left[\frac{t^4}{4}\right]_{n}^{\frac{n^6+1}{n^5+5}}=

un paio di conticini

=\frac{\left(\frac{n^6+1}{n^5+5}\right)^4}{4}-\frac{n^4}{4}\sim_{n\to+\infty}

Ricordiamoci che non dobbiamo fare un miliardo di conti. A noi interessa solamente una stima asintotica per n\to+\infty. In particolare possiamo limitarci a considerare gli infiniti di ordine superiore.

Qui gli infiniti di ordine superiore si cancellano nella differenza, per cui con un semplice conticino passiamo a considerare il più alto ordine rimanente. Ci ritroviamo così con l'infinitesimo equivalente

\sim_{n\to+\infty}-\frac{5}{n}


Ok emt abbiamo finalmente tutti gli ingredienti. Il termine generale della serie

\sum_{n}^{+\infty}n^\alpha\left[e^{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}-e-\frac{e}{2n}\right]\left[\int_{n}^{\frac{n^6+1}{n^5+5}}\frac{t^3\arctan(t)}{1+\arctan(t)}dt\right]

è asintoticamente equivalente, per n\to+\infty, a

n^{\alpha}\cdot \frac{e}{48n^3}\cdot \frac{-k}{n}=\tilde{k}\frac{1}{n^{4-\alpha}}

dove in particolare ho inglobato tutti i coefficienti, irrilevanti ai fini della stima asintotica, in un unico coefficiente \tilde{k}.

Abbiamo finito, perché abbiamo ricondotto la serie alla serie armonica generalizzata, che converge se

4-\alpha>1

ossia \alpha<3.
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby, Andrea.snooker

Re: Convergenza di una serie con termine integrale e parametro #83871

avt
Andrea.snooker
Punto
Ciao! Non riesco a comprendere lo sviluppo dell'esponenziale, e anche l'equivalenza asintotica a (-5/n)...

Re: Convergenza di una serie con termine integrale e parametro #83876

avt
Omega
Amministratore
Si tratta di passaggi tutto sommato elementari, a fronte del livello previsto dall'esercizio. emt

In riferimento allo sviluppo, dobbiamo calcolare lo sviluppo di una funzione composta

f(x)=e^{\sqrt{1+x}}

centrato in x=0 al terzo ordine. Per riuscirvi dobbiamo comporre due sviluppi di Taylor

\\ f(x)=g(h(x))\\ \\ \mbox{dove}\\ \\ h(x)=(1+x)^{\frac{1}{2}}\mbox{ con centro }x=0\\ \\ g(x)=e^{x}\mbox{ con centro }x=1

entrambi al terzo ordine. Eventualmente all'occorrenza puoi servirti della tabella degli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari

\\ h(x)=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+o(x^3)\\ \\ g(x)=e+e(x-1)+\frac{e}{2}(x-1)^2+\frac{e}{6}(x-1)^3+o(x-1)^3

Ora devi procedere per sostituzione

\\ f(x)=e+e\left(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+o(x^3)-1\right)+\\ \\ +\frac{e}{2}\left(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+o(x^3)-1\right)^2+\\ \\ +\frac{e}{6}\left(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+o(x^3)-1\right)^3+\\ \\ +o\left(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+o(x^3)-1\right)^3

nello sviluppo del quadrato e del cubo devi limitarti a considerare solo e solamente i termini con potenza non superiore a 3, dal momento che ci interessa uno sviluppo del terzo ordine. Tutti gli ordini successivi non devi nemmeno calcolarli e puoi inglobarli direttamente in un o(x^3).

Con un paio di semplici calcoli, ricaviamo

\\ f(x)=e+\frac{e}{2}x-\frac{e}{8}x^2+\frac{e}{16}x^3+o(x^3)+\\ \\ +\frac{e}{2}\left(\frac{x^2}{4}-\frac{x^3}{8}+o(x^3)\right)+\\ \\ +\frac{e}{6}\left(\frac{x^3}{8}+o(x^3)\right)\\ \\ +o(x^3)

ossia

f(x)=e+\frac{e}{2}x-\frac{e}{8}x^2+\frac{e}{16}x^3+o(x^3)+\frac{e}{8}x^2-\frac{e}{16}x^3+\frac{e}{48}x^3+o(x^3)

Semplificando i termini simili, rimane

f(x)=e+\frac{e}{2}x+\frac{e}{48}x^3+o(x^3)

A questo punto basta tornare alla successione

e^{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=e+\frac{e}{2n}+\frac{e}{48n^3}+o\left(\left(\frac{1}{n}\right)^3\right)


In riferimento alla stima asintotica

\frac{\left(\frac{n^6+1}{n^5+5}\right)^4}{4}-\frac{n^4}{4}\sim_{n\to+\infty}-\frac{5}{n}

come ho anticipato, bastano un paio di conticini

\\ \frac{(n^6+1)^4}{4(n^5+5)^4}-\frac{n^4}{4}=\\ \\ =\frac{(n^6+1)^4-n^4(n^5+5)^4}{4(n^5+5)^4}=

Se vuoi puoi sviluppare tutti i calcoli, aiutandoti con la regola per la potenza di un binomio

=\frac{n^{24}+4n^{18}+6n^{12}+4n^6+1-n^4(n^{20}+20n^{15}+150n^{10}+500n^5+625)}{4(n^5+5)^4}\sim_{n\to +\infty}

a questo punto consideri solamente gli infiniti di ordine superiore e, dopo aver constatato che si cancellano, consideri anche gli infiniti inferiori immediatamente inferiori a numeratore

\sim_{n\to+\infty}\frac{n^{24}+4n^{18}-n^{24}-20n^{19}}{4n^{20}}\sim_{n\to +\infty}\frac{-20n^{19}}{4n^{20}}=-\frac{5}{n}

Ti faccio notare che il passaggio dello sviluppo delle potenze è evitabile con un po' di furbizia, perché ci si può limitare a calcolare i termini di grado massimo ed i termini immediatamente inferiori, tralasciando tutto il resto.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby

Re: Convergenza di una serie con termine integrale e parametro #83878

avt
Andrea.snooker
Punto
Ti scrivo meglio i miei dubbi: una volta trovata la derivata

-\frac{e^{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}}{2 \sqrt{1+\frac{1}{n}}n^{2}}

per n tendente a più infinito come trovo lo sviluppo al primo ordine positivo e uguale a \frac{e}{2n}\ ?

Re: Convergenza di una serie con termine integrale e parametro #83879

avt
Omega
Amministratore
Non so se hai avuto modo di leggere la mia precedente risposta, ad ogni modo non devi proprio procedere con il calcolo della derivata come hai scritto. Anche perché non puoi derivare una funzione definita su un insieme discreto.

Devi procedere, per l'appunto, come ho indicato nella mia precedente risposta.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby

Re: Convergenza di una serie con termine integrale e parametro #83881

avt
Andrea.snooker
Punto
Esatto, chiaro. Perché lo sviluppo dell'esponenziale è proprio centrato in x=1?

Grazie per i chiarimenti

Re: Convergenza di una serie con termine integrale e parametro #83882

avt
Omega
Amministratore
Perché, per avere lo sviluppo complessivo, devi considerare l'immagine nel centro di sviluppo x_0=0 mediante la funzione h(x), che è per l'appunto

h(0)=\sqrt{1+0}=1

Tale immagine è il centro di sviluppo per la seconda funzione in ordine di composizione, ossia g(x).

In questo modo lo sviluppo mediante composizione è coerente con lo sviluppo di f(x) in x=0.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby
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