Potenziale di un campo vettoriale e circuitazione

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Potenziale di un campo vettoriale e circuitazione #83813

avt
cipessa19
Punto
Ciao ragazzi, in questo esercizio devo calcolare il potenziale di un campo vettoriale e dimostrare che la circuitazione lungo una qualsiasi curva chiusa è nulla.

\omega=(2xy-2y,\ x^2-2x-1)

Mi potreste spiegare come procedere?
 
 

Potenziale di un campo vettoriale e circuitazione #83816

avt
Omega
Amministratore
Ciao Cipessa19 emt

Un potenziale di un campo vettoriale F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definito come

F(x,y)=(A(x,y),B(x,y))

è una qualsiasi funzione G(x,y):\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tale da avere le derivate parziali che coincidono, per omonimia, con le componenti del campo vettoriale

\frac{\partial G}{\partial x}=A(x,y)\ \ ;\ \ \frac{\partial G}{\partial y}=B(x,y)

In particolare, se un campo vettoriale ammette un potenziale, allora viene chiamato per definizione campo vettoriale conservativo.

In parole povere, un campo vettoriale è conservativo per definizione se è il gradiente di una funzione.

\nabla G=F

Esiste una caratterizzazione alternativa che calza a pennello: un campo vettoriale è conservativo se e solo se qualsiasi integrale di linea del campo lungo una curva chiusa è nullo.

In altri termini, un campo vettoriale è conservativo (ammette potenziale) se e solo se ha circuitazione nulla lungo una qualsiasi curva chiusa nel proprio dominio.


In riferimento al nostro esercizio, se individuiamo un potenziale del campo vettoriale assegnato

F(x,y)=(2xy-2y,\ x^2-2x-1)

allora la seconda richiesta verrà automaticamente esaudita dal teorema che ho enunciato poco sopra.

Cerchiamo una potenziale del campo vettoriale, che è chiaramente definito su tutto \mathbb{R}^2 perché tali sono le sue componenti. La strategia risolutiva discende direttamente da una rilettura della stessa definizione di potenziale: integriamo la prima componente del campo vettoriale rispetto ad x

\int A(x,y)dx=\int (2xy-2y)dx=

qui naturalmente dobbiamo trattare y come una costante

=x^2y-2yx+c(y)

Attenzione: di norma quando calcoliamo un integrale indefinito dobbiamo tenere conto di tutte le possibili primitive, e a tal proposito si somma una costante arbitraria al risultato dell'integrale.
Nel nostro caso, dal momento che abbiamo integrato rispetto a x, dobbiamo tenere conto che la costante additiva può dipendere da y, il che la rende a tutti gli effetti una funzione della sola variabile y.

Il gioco è quasi fatto: dobbiamo confrontare la derivata rispetto a {tex}y{} della famiglia di potenziali con la seconda componente del campo vettoriale

\frac{\partial }{\partial y}(x^2y-2yx+c(y))=B(x,y)

vale a dire

x^2-2x+c'(y)=x^2-2x-1

da cui ricaviamo

c'(y)=-1

Una semplice integrazione di entrambi i membri ci permette di individuare la funzione c(y), o meglio la famiglia di funzioni papabili

c(y)=-y+k

dove k è una costante numerica arbitraria. Ne deduciamo che il campo vettoriale assegnato ammette come famiglia di potenziali

G(x,y)=x^2y-2yx-y+k

La verifica della correttezza del risultato è immediata:

\begin{cases}\frac{\partial G}{\partial x}=2xy-2y\\ \frac{\partial G}{\partial y}=x^2-2x-1\end{cases}\ \Rightarrow\ \nabla G=F

Nota bene: una famiglia di potenziali, non un singolo potenziale. Tutti i potenziali differiscono tra loro a meno di una costante additiva!

Abbiamo così dimostrato che il campo vettoriale è conservativo, e dunque ha circuitazione nulla lungo qualsiasi curva chiusa contenuta nel dominio \mathbb{R}^2.


***

A titolo di cronaca, ci tengo a sottolineare lo stretto legame che sussiste tra i campi vettoriali e le forme differenziali.

Come esercizio con finalità puramente teoriche puoi provare a determinare potenziale della forma differenziale

\omega=(2xy-2y)dx+(x^2-2x-1)dy

non prima di aver dimostrato che si tratta di una forma differenziale esatta.

Essendo in particolare esatta, il teorema di caratterizzazione garantisce che l'integrale della forma differenziale lungo un qualsiasi cammino chiuso e regolare a tratti è nullo.
Ringraziano: CarFaby, cipessa19
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Os