Integrale di un campo vettoriale con Gauss Green

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Integrale di un campo vettoriale con Gauss Green #83811

avt
cipessa19
Punto
Ciao, ecco un esercizio in cui devo calcolare l'integrale di un campo vettoriale lungo una curva con il teorema di Gauss Green.

Ho il campo vettoriale F=(y^{2},x^{2}) e la curva formata dai tratti

\\ \gamma_1 = (t,0)\mbox{ con }t\in [0,2]\\ \\ \gamma_2= (1+\cos(t),\sin(t))\mbox{ con }t\in [0,\pi ]

Calcolare integrale con il teorema di Gauss Green e disegnare la figura risultante.
 
 

Integrale di un campo vettoriale con Gauss Green #83814

avt
Omega
Amministratore
Ciao Cipessa19 emt

Il primo passo per metterci in condizione di applicare il teorema di Gauss-Green consiste nel dare un volto alle curve considerate. Trattandosi di un problema da risolvere con Gauss-Green, ci aspettiamo di dover lavorare con una curva chiusa.

Qui abbiamo una curva definita da due tratti:

- il tratto \gamma_1 = (t,0)\mbox{ con }t\in [0,2], che individua al variare del parametro il segmento sull'asse delle x percorso dal punto (0,0) al punto (2,0);

- il tratto \gamma_2= (1+\cos(t),\sin(t))\mbox{ con }t\in [0,\pi ], che individua la semicirconferenza di raggio 1 percorsa dal punto (2,0) al punto (0,0).

Attenzione: ho enfatizzato il verso di percorrenza non a caso, e tra un istante vedremo perché. emt

Vale la pena di spendere una piccola parola riguardo al riconoscimento delle curve coinvolte. Nel primo caso non c'è molto da dire (abbiamo a che fare con la parametrizzazione di un segmento molto semplice), mentre nel secondo caso la memoria è d'aiuto soprattutto se ci ricordiamo come sono definite le coordinate polari traslate.

A titolo di cronaca, in generale di fronte a questa tipologia di esercizi ci ritroveremo sempre a lavorare con parametrizzazioni più o meno note. Quindi niente paura! emt

Complessivamente la curva è la semicirconferenza di centro (1,0) e raggio 1 situata nel primo quadrante del piano cartesiano

curva per integrale con gauss green

e a tuo uso e consumo, ti lascio il link per il tool per disegnare le curve parametriche online.


Il campo vettoriale è

F(x,y)=(A(x,y),B(x,y))=(y^2,x^2)

indichiamo la curva come frontiera del dominio da essa racchiuso: \partial D.

L'integrale da calcolare è

\oint_{\partial^{+} D}A(x,y)dx+B(x,y)dy

dove la notazione \partial^{+}D indica che dobbiamo calcolare l'integrale con verso di percorrenza antiorario. La scelta del verso è arbitraria, ho convenuto di scegliere l'orientamento antiorario perché:

- è esattamente quello espresso dalla parametrizzazione fornita;

- è il verso di percorrenza richiesto dal teorema di Gauss Green.

In caso di dubbi ti invito a leggere la lezione del precedente link, in cui la questione è ampiamente dibattuta.

Il teorema di Gauss Green ci permette di passare da un integrale curvilineo ad un integrale doppio, secondo la formula

\oint_{\partial^{+} D}A(x,y)dx+B(x,y)dy=\iint_{D}\left[\frac{\partial B(x,y)}{\partial x}- \frac{\partial A(x,y)}{\partial y}\right]dxdy

Nel nostro caso l'unico passaggio per la trascrizione consiste nel calcolo delle derivate parziali delle singole componenti

\oint_{\partial^{+} D}y^2dx+x^2dy=\iint_{D}(2x-2y)dxdy

Perfetto! Ci siamo ricondotti al calcolo di un semplice integrale doppio

\iint_{D}(2x-2y)dxdy

con dominio di integrazione dato dal semicerchio di raggio 1 e centro nel punto (1,0), situato nel primo quadrante.

Per calcolare tale integrale conviene ovviamente ricorrere ad un cambio di variabili, e passare ad un sistema di coordinate polari traslate

\begin{cases}x=1+r\cos(\theta)\\ y=r\sin(\theta)\end{cases}

In questo riferimento il dominio di integrazione si riscrive come

D=\{(r,\theta)\ :\ 0\leq r\leq 1,\ 0\leq\theta\leq \pi\}

e lo Jacobiano associato alla trasformazione è r, per cui

dxdy\ \to\ rdrd\theta

In definitiva dobbiamo calcolare l'integrale

\\ \int_0^\pi\int_0^{1}[2(1+r\cos(\theta))-2r\sin(\theta)]rdrd\theta=\\ \\ \\ =2\int_0^\pi\int_0^{1}[r+r^2\cos(\theta)-r^2\sin(\theta)]drd\theta=

Qui non abbiamo alcun problema perché le variabili sono disaccoppiate

\\ =2\int_0^\pi \left[\frac{r^2}{2}+\frac{r^3}{3}\cos(\theta)-\frac{r^3}{3}\sin(\theta)\right]_0^1d\theta=\\ \\ \\ =2\int_0^\pi\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cos(\theta)-\frac{1}{3}\sin(\theta)\right]d\theta=\\ \\ \\=2\left[\frac{\theta}{2}+\frac{1}{3}\sin(\theta)+\frac{1}{3}\cos(\theta)\right]_0^\pi= \\ \\ \\ =2\left[\frac{\pi}{2}+0-\frac{1}{3}-0-0-\frac{1}{3}\right]=\pi-\frac{4}{3}

Ecco fatto emt
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, cipessa19

Integrale di un campo vettoriale con Gauss Green #83819

avt
cipessa19
Punto
Grazie, non potevi essere più chiaro ed esaustivo di così!
Ringraziano: Omega
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Os