Limite con coseno iperbolico e logaritmo

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Limite con coseno iperbolico e logaritmo #83743

avt
gcappellotto47
Cerchio
Buongiorno, devo calcolare questo limite con coseno iperbolico e logaritmo

\lim_{x \to 0} {\frac{\cosh(\sin(x))-1}{\log^2(1+x)}}

Pensavo di utilizzare il limite notevole

\lim_{x \to 0}\frac{\cosh (f(x))-1}{f(x)^2}=\frac{1}{2}

ma ho qualche difficoltà...

Grazie e saluti
Giovanni C.
 
 

Re: Limite con coseno iperbolico e logaritmo #83746

avt
Omega
Amministratore
La tua intuizione è corretta, vediamo come metterci nella condizione di applicare il limite notevole che hai citato.

Dobbiamo calcolare il limite

\lim_{x \to 0} {\frac{\cosh(\sin(x))-1}{\log^2(1+x)}}

e, per riuscirci, faremo abbondante uso dei limiti notevoli. Eventualmente tieni la tabella del link a portata di mano, e negli altri esercizi procedi così fino a che non rimarranno impressi automaticamente nella tua memoria.

Quando si parla dei limiti notevoli si può procedere sempre in due modi:

- con opportuni passaggi del tipo "moltiplica e dividi", in modo da riscrivere il limite in una forma equivalente che però ci permetta di avere di fronte il limite notevole che intendiamo applicare. Questo metodo è da considerare come transitorio.

- con le equivalenze asintotiche, che è il metodo maturo per l'applicazione dei limiti notevoli. Questo metodo prende il posto del precedente quando si è acquisita sufficiente dimestichezza con il primo, il quale dopo un po' si rivela eccessivamente meccanico e stucchevole.

Qui procediamo con il secondo metodo perché andando a memoria mi pare che tu non sia nuovo nel circuito dei limiti.

\lim_{x \to 0} {\frac{\cosh(\sin(x))-1}{\log^2(1+x)}}=(\bullet)

Il limite è per x\to 0, e sappiamo che c'è un bellissimo limite notevole per il coseno iperbolico

\lim_{f(x)\to 0}\frac{\cosh(f(x))-1}{[f(x)]^2}=\frac{1}{2}

il quale si traduce nell'equivalenza asintotica

\cosh(f(x))-1\sim_{x\to 0}\frac{1}{2}[f(x)]^2

Nel nostro caso

\cosh(\sin(x))-1\sim_{x\to 0}\frac{1}{2}\sin^2(x)

e il limite pertanto si riscrive come

(\bullet)=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}\sin^2(x)}{\log^2(1+x)}=(\bullet\bullet)

Ok. Sappiamo anche che c'è un bellissimo limite notevole per il logaritmo

\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+x)}{x}=1

che nel linguaggio delle equivalenze asintotiche diventa

\log(1+x)\sim_{x\to 0}x

Attenzione! Non abbiamo un \log(1+x) al denominatore, bensì un elevamento al quadrato. Nessun problema, perché ci basta riscrivere il limite come

(\bullet\bullet)=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}\sin^2(x)}{\log(1+x)\log(1+x)}=

e dunque passare a considerare il limite equivalente

=\lim_{x \to 0}\frac{1}{2}\frac{\sin^2(x)}{x\cdot x}=

ossia

=\lim_{x \to 0} \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin^2(x)}{x^2}=

E abbiamo finito! Ora infatti è sufficiente osservare che c'è un limite notevole anche per il seno il quale ci permette di scrivere quanto segue

\\ =\frac{1}{2}\lim_{x \to 0}{\frac{\sin^2(x)}{x^2}}= \\ \\ \\ = \frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2=\frac{1}{2}\cdot 1= \frac{1}{2}

per cui concludiamo che il limite proposto originariamente vale \frac{1}{2}.

Per qualsiasi dubbio, mi trovi qui.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby, gcappellotto47

Re: Limite con coseno iperbolico e logaritmo #83762

avt
gcappellotto47
Cerchio
Ho visto che hai usato le equivalenze asintotiche, però nei testi è riportato che è un metodo che, se applicato in modo scorretto, può portare a degli errori. Qualcuno, addirittura, sconsiglia di usarlo se non si è sufficientemente sicuri sul loro uso; gradirei le tue osservazioni.
Grazie.

Re: Limite con coseno iperbolico e logaritmo #83768

avt
Omega
Amministratore
Tieni conto del fatto che qualsiasi metodo, se applicato in modo scorretto, porta sicuramente a degli errori.

Qualcuno, addirittura, sconsiglia di usarlo se non si è sufficientemente sicuri sul loro uso

Io propendo più per

Qualcuno, addirittura, sconsiglia di usarlo finché non si è sufficientemente sicuri sul loro uso

il finché dipende dal fatto che buona parte dei limiti che si affrontano ad Analisi 1, da un certo punto in poi, non possono essere calcolati senza equivalenze asintotiche. Di conseguenza la mancanza di sicurezza è una lacuna che va colmata quanto prima.

Nel caso del nostro esercizio ho convenuto di guidarti passo passo nella risoluzione, mettendo in evidenza come i limiti notevoli si traducano in equivalenze asintotiche.

Se vuoi in queste schede:

- esercizi risolti sui limiti notevoli;

- esercizi risolti sui limiti con le equivalenze asintotiche;

puoi apprezzare il passaggio da una tecnica (quella che ho definito transitoria) all'altra (quella matura).
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois
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Os