Massimi e minimi vincolati da retta e circonferenza

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Massimi e minimi vincolati da retta e circonferenza #83683

avt
cyp
Cerchio
Ciao, devo determinare i massimi e i minimi assoluti della seguente funzione

f(x,y) = (x-y^2)^4

nell'insieme formato dai punti verificanti la seguente condizione

x+3 ≤ y ≤ √(16-x^2).

Ho già provato a svolgerla ma ne vorrei verificare la correttezza oltre che chiarire alcuni dubbi. Grazie anticipatamente
 
 

Massimi e minimi vincolati da retta e circonferenza #83699

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao cyp,

l'esercizio chiede di determinare i massimi e i minimi assoluti di una funzione di due variabili reali

f(x,y) = (x-y^2)^4

nell'insieme che per comodità chiameremo D

D = (x,y)∈R^2: x+3 ≤ y ≤ √(16-x^2)

La risoluzione di questa tipologia di esercizi avviene per piccoli step, il primo dei quali consiste nell'analisi dell'insieme D.

Analisi dell'insieme D

I punti che vivono nell'insieme D devono soddisfare la cosiddetta condizione di appartenenza, ossia

x+3 ≤ y ≤ √(16-x^2)

e sono quindi quei punti appartenenti alla parte di piano limitata inferiormente dalla retta di equazione

y = x+3

e superiormente dal grafico della funzione

y = √(16-x^2)

Esso non è altro che l'arco di circonferenza contenuto nel semipiano delle y non negative (primo e secondo quadrante), infatti da

y = √(16-x^2)

scopriamo che

-4 ≤ x ≤ 4: è il dominio della funzione

y = √(16-x^2)

e inoltre che y ≥ 0, infatti tieni a mente che le radici sono funzioni non negative, dunque forniscono in output quantità maggiori o uguali a zero.

Eleviamo al quadrato membro a membro

y = √(16-x^2)

così da ottenere

y^2 = 16-x^2 con y ≥ 0 e -4 ≤ x ≤ 4

Portiamo -x^2 al primo ricordandoci di cambiare segno:

x^2+y^2 = 16

Questa è l'equazione della circonferenza di centro (0,0) e raggio r = √(16) = 4

Avendo a disposizione tutte queste informazioni possiamo rappresentare l'insieme D.

Ti invito a leggere la lezione sul significato grafico delle disequazioni nel piano.

Rappresentazione grafica dell'insieme D

vincolo per problema di massimo e minimo


Dal grafico appena fatto si evince che l'intervallo in cui varia la variabile x non è tutto [-4,4] ma un suo sottoinsieme.

Per ottenere l'intervallo di variazione della x è sufficiente risolvere la disequazione irrazionale

x+3 ≤ √(16-x^2)

che ha per soluzione

-4 ≤ x ≤ (-3+√(23))/(2)

Dunque l'insieme in cui varia la variabile x è

[-4, (-3+√(23))/(2)]

Proprietà topologiche dell'inseme D

Dalla rappresentazione grafica dell'insieme D è chiaro che è un insieme limitato, inoltre esso è chiuso perché contiene la sua frontiera. La sua chiusura e la sua limitatezza ci assicurano che D è un insieme compatto.

Esistenza dei massimi e dei minimi assoluti

Osserviamo che

f(x,y) = (x-y^2)^4

è una funzione polinomiale in due variabili, pertanto è continua nel compatto D. Sia l'insieme D che la funzione f soddisfano le ipotesi del teorema di Weierstrass che assicura l'esistenza dei massimi e dei minimi assoluti in D.

Massimi e minimi liberi della funzione f

A questo punto inizia tutta la tiritera per il calcolo esplicito dei punti critici della funzione, partendo con lo studio dei massimi e minimi liberi in due variabili.emt

Determiniamo quindi il gradiente della funzione e cercare i punti stazionari di f.

Calcoliamo le derivate parziali di f.

f_(x)(x,y) = 4 (x-y^2)^3

f_(y)(x,y) = -8 y(x-y^2)^3

e costruiamo il sistema imponendo che esse siano contemporaneamente nulle

f_(x)(x,y) = 0 ; f_(y)(x,y) = 0

se e solo se

4 (x-y^2)^3 = 0 ;-8 y(x-y^2)^3 = 0

Concentriamoci sulla seconda equazione per la quale interviene la legge di annullamento del prodotto.

-8 y (x-y^2)^3 = 0 ⇔ y = 0 oppure x = y^2

Sostituendo y = 0 nella prima equazione del sistema avremo:

4x^3 = 0 ⇒ x = 0

Otteniamo il primo punto che si candida come punto stazionario, (0,0) che però non vive nell'insieme D per cui va scartato.

Sostituendo x = y^2 nella prima equazione otteniamo l'uguaglianza 0 = 0, di conseguenza tutti i punti del piano della forma:

(y^2, y) con y∈R

sono punti stazionari per la funzione f, ma nessuno di essi rispettano il vincolo. Per comprenderlo è sufficiente disegnare la parabola, con asse di simmetria coincidente con l'asse y, di equazione

x = y^2

e osservare che non invade il dominio D.

punti stazionari vincolo per problema di massimo minimo


Esiste un metodo algebrico (che comunque generalmente sconsiglio perché calcolotico) grazie al quale puoi escludere questi punti. Consiste nell'utilizzare la condizione di appartenenza

x+3 ≤ y ≤ √(16-x^2)

e sostituire x con y^2, proprio perché x = y^2. La precedente catena di disuguaglianze diventerà quindi:

y^2+3 ≤ y ≤ √(16-y^4)

equivalente al sistema di disequazioni:

y^2+3 ≤ y ; y ≤ √(16-y^4)

La prima disequazione del sistema non ha soluzioni, pertanto l'intero sistema è impossibile. Questo ci assicura che nessun punto (y^2, y) soddisfa la condizione di appartenenza dell'insieme D.

Tirando le somme, i punti stazionari liberi della funzione f non sono interni al dominio D, conseguentemente i punti di massimo e di minimo assoluti non sono punti interni a D, devono necessariamente trovarsi sulla frontiera.

Analisi della frontiera di D

Ora entriamo nel vivo dello svolgimento, studiando il comportamento della funzione sulla frontiera del vincolo come spiegato nella lezione su massimi e minimi vincolati.
La frontiera dell'insieme D può essere partizionata in tre parti che puoi determinare aiutandoti con la rappresentazione grafica dell'insieme D:

frontiera per studio dei massimi minimi di una funzione in due variabili


D_1 = (x,y)∈R^2: x∈ [-4, (-3+√(23))/(2)], y = √(16-x^2)

D_2 = (x,y)∈R^2: x∈[-4, (-3+√(23))/(2)], y = x+3

e

D_3 = (x,y)∈R^2: x = -4,-1 ≤ y ≤ 0

partial D = D_1 U D_2 U D_3

Continueremo lo studio, restringendo la funzione f(x,y) su ciascuno degli insiemi appena definiti, ottenendo tre funzioni di una variabile reale, di conseguenza possiamo avvalerci delle tecniche viste in analisi 1 per scovare i massimi e minimi assoluti.

Studio della restrizione di f su D1

La funzione f ristretta a D1 risulta essere:

g_1(x) = f(x,√(16-x^2)) = (x^2+x-16)^4

con x∈ [-4, (-3+√(23))/(2)]

Una raccomandazione, non perdere mai di vista l'intervallo in cui varia la variabile x.

In sostanza, dobbiamo determinare i massimi e minimi della funzione di una variabile reale g1(x) nell'intervallo

[-4, (-3+√(23))/(2)].

Calcoliamo la derivata prima della funzione e studiamone il suo segno:

g_1'(x) = 4 (1+2x)(x^2+x-16)^3

g_1'(x) ≥ 0 ⇔ -4 < x ≤ -(1)/(2)

La derivata prima di g1 è

- positiva in (-4,-(1)/(2))

- nulla per x = -(1)/(2)

- negativa in (-(1)/(2), (-3+√(23))/(2))

pertanto g1

- è crescente in (-4,-(1)/(2))

- ha un punto di massimo per x = -(1)/(2), il massimo associato è

M_1 = g_1(-(1)/(2)) = (17 850 625)/(256) ≃ 69 729

- decrescente in (-(1)/(2), (-3+√(23))/(2)).

Agli estremi dell'intervallo [-4, (-3+√(23))/(2)] la funzione g1 assume i valori:

g_1(-4) = 256 g_1((-3+√(23))/(2)) = (-(19)/(2)-√(23))^4 ≃ 41 767.4

Il minimo assoluto della restrizione g1 è

m_1 = g_1(-4) = 256

Mi raccomando, tieni a mente i valori m1 e M1, serviranno dopo per trovare i massimi e minimi assoluti associati alla funzione f.

Studio della restrizione di f su D2

Su D2 la funzione ristretta sarà

g_2(x) = f(x, x+3) = (-x^2-5x-9)^4 = (x^2+5x+9)^4

dove x∈ [-4,(-3+√(23))/(2)]

Come prima, calcoliamo la derivata prima e studiamone il segno per determinare gli intervalli di monotonia e quindi i punti stazionari.

g_(2)'(x) = 4 (2x+5) (x^2+5x+9)^3

g_2'(x) ≥ 0 ⇔ -(5)/(2) ≤ x < (-3+√(23))/(2)

Dallo studio del segno della derivata si evince che

x = -(5)/(2)

è punto di minimo assoluto per g2(x), il minimo associato vale:

m_2 = g_2(-(5)/(2)) = (14 641)/(256) ≃ 57.2

Agli estremi dell'intervallo, la funzione g2 assume i valori

g_2(-4) = 625

g_2((-3+√(23))/(2)) = ((19)/(2)+√(23))^4 ≃ 41 767.4

In tal caso il massimo assoluto per la funzione g2 nell'intervallo dato è

M_2 = g_2((-3+√(23))/(2)) = ((19)/(2)+√(23))^4 ≃ 41 767.4

Studio della restrizione di f su D3

La funzione f ristretta a D3 si riscrive semplicemente come

g_3(y) = f(-4, y) = (-4-y^2)^4 = (y^2+4)^4

con y∈ [-1,0]

La derivata prima (rispetto ad y) della funzione g3 è:

g_3'(y) = 8 y (4+y^2)^3

Nell'intervallo [-1,0], la derivata prima è negativa infatti che il fattore y<0 mentre il fattore y^2+4 è positivo perché somma di quadrati. Il prodotto è pertanto negativo.

La funzione g3 è decrescente in [0, 1], pertanto avrà massimo assoluto nel primo estremo, e minimo assoluto nel secondo:

M_3 = g_3(-1) = 625

m_3 = g_3(0) = 256

A questo punto non rimane che confrontare tra loro i massimi assoluti associati alle funzioni g_1(x), g_2(x), g_3(x) e prendere il più grande: esso sarà il massimo assoluto della funzione di partenza f.

M_(assoluto) = M_1 = (17 850 625)/(256)

Dualmente, il minimo assoluto per la funzione f è il più piccolo dei minimi assoluti delle varie restrizioni.

m_(assoluto) = m_2 = (14 641)/(256)

Per questioni di completezza riporto il grafico della funzione di due variabili ristretta all'insieme D.

grafico di funzione di due variabili ristretto ad un compatto
Ringraziano: CarFaby

Massimi e minimi vincolati da retta e circonferenza #83700

avt
cyp
Cerchio
Ciao Ifrit, intanto ti ringrazio per lo svolgimento. Come avevo accennato, ho già svolto l'esercizio... non mi convincevano quegli enormi valori finali ma vedo che risultano anche a te quindi già mi consolo!

Ho commesso però qualche errore, provo quindi a chiarirlo:

Per ottenere l'intervallo di variazione della x è sufficiente risolvere la disequazione irrazionale

x+3 ≤ √(16-x^2)

che ha per soluzione

-4 ≤ x ≤ (-3+√(23))/(2)

Per ottenere tale intervallo, io ho pensato di mettere a sistema l'equazione della retta e quella della circonferenza... ma in questo modo ho ottenuto l'intervallo
(-3-√(23))/(2) < x < (-3+√(23))/(2)

dove sta il mio errore?

D_3 = (x,y)∈R^2: x = -4,-1 ≤ y ≤ 0

Chiarissime le condizioni D_(1) e D_(2), non ho considerato la D_(3), e comunque non capisco perchè consideri la D_(3) e non la D_(4) del rispettivo punto di intersezione nel primo quadrante?

Forse mi sfugge qualche condizione...

Massimi e minimi vincolati da retta e circonferenza #83702

avt
Ifrit
Amministratore
Hai commesso un errore di interpretazione geometrica dell'insieme D.

Esso è definito attraverso la condizione

x+3 ≤ y ≤ √(16-x^2)

che individua tutti i punti del piano (x,y) che soddisfano contemporaneamente le relazioni:

x+3 ≤ y et y ≤ √(16-x^2)

La prima relazione è facile da rappresentare. Sono tutti i punti del piano che giacciono sopra la retta y=x+3.

y ≤ √(16-x^2)

è la relazione più delicata da trattare. Sono i punti che stanno sotto il grafico della funzione

y = √(16-x^2)

Attento ora: il grafico di questa funzione coincide con la semicirconferenza di centro (0,0) e raggio r=4 che vive nel primo e secondo quadrante, non con l'intera circonferenza.

I punti che soddisfano la relazione y ≤ √(16-x^2) sono pertanto

ipografico di una funzione irrazionale


Intersecando le due regioni, ottieni la rappresentazione corretta dell'insieme D.

Vediamo ora cosa fai tu. Determini i punti di intersezione tra la retta y=x+3 e l'equazione dell'intera circonferenza

x^2+y^2 = 16

arrivando a determinare le ascisse dei punti ossia:

x_(1,2) = (-3±√(23))/(2)

Se consideri però

[(-3-√(23))/(2), (-3+√(23))/(2)]

come intervallo di variazione della x la rappresentazione dell'insieme diventa

rappresentazione dominio problema max min


Se osservi bene, non è esattamente la stessa cosa dell'insieme D, perdi tutti i punti di D che hanno ascissa

x∈ [-4, (-3-√(23))/(2))

invalidando l'intero studio di funzione.

Come puoi evitare questo tipo di errori? Aiutati molto con la rappresentazione grafica dell'insieme, disegnando una alla volta le condizioni che lo definiscono.


L'errore che hai commesso, inoltre, ti ha impedito di vedere il pezzo della frontiera D[sub]3[/sub], quella che nel disegno è rappresentato dal segmento verticale di colore nero.

I punti che appartengono a tale segmento hanno ascissa costante, ossia x = -4, mentre le loro ordinate variano tra -1 e 0, y∈ [-1,0].
Ringraziano: CarFaby, cyp

Massimi e minimi vincolati da retta e circonferenza #83707

avt
cyp
Cerchio
Grazie sei stato chiarissimo!

Chiedo scusa se continuo a disturbarti ma un problema (sicuramente stupidissimo) nella risoluzione del seguente passaggio:

Calcoliamo la derivata prima della funzione e studiamone il suo segno:

g_1'(x) = 4 (1+2x)(x^2+x-16)^3

g_1'(x) ≥ 0 ⇔ -4 < x ≤ -(1)/(2)

Massimi e minimi vincolati da retta e circonferenza #83709

avt
Ifrit
Amministratore
Eccomi

4(1+2x)(x^2+x-16)^3 ≥ 0

è una disequazione che si risolve con la regola dei segni.

Come funziona? Semplicissimo, studi il segno di ciascun fattore del prodotto che trovi al primo membro dopodiché costruisci la tabella dei segni:

Per il primo fattore:

4(1+2x) ≥ 0 ⇔ x ≥ -(1)/(2)

è una semplice disequazione di primo grado.

Per il secondo fattore

(x^2+x-16)^3 ≥ 0 ⇔ x^2+x-16 ≥ 0

Ricorda infatti che un cubo è non negativo se la base è non negativa.

Quella ottenuta è una disequazione di secondo grado ed ha per soluzioni:

x^2+x-16 ≥ 0 ⇔ x ≤ (-1-√(65))/(2) (≃ -4.5311) ∨ x ≥ (-1+√(65))/(2) (≃ 3.5311)

pertanto

x^2+x-16 è

- maggiore o uguale a zero se x ≤ (-1-√(65))/(2) ∨ x ≥ (-1+√(65))/(2)

- minore di zero se (-1-√(65))/(2) < x < (-1+√(65))/(2)

Attento ora: non perdere mai di vista l'intervallo di variazione della variabile x.

Poiché l'intervallo di riferimento

[-4, (-3+√(23))/(2)]

è contenuto nell'insieme in cui il polinomio x^2+x-16 è negativo allora lo sarà anche il fattore

(x^2+x-16)^3

In definitiva, limitando lo studio all'intervallo di variazione, si ha la seguente tabella dei segni:

(x^2+x-16)^3 : (-4)---(-1/2)---(-3+√(23))/(2) ; 4(1+2x) : (-4)---(-1/2)+++(-3+√(23))/(2) ; tot : (-4)+++(-1/2)---(-3+√(23))/(2)

da cui si evince che

4(1+2x)(x^2+x-16)^3 ≥ 0 ⇔ -4 < x ≤ -(1)/(2)

Forse hai perso di vista l'intervallo di riferimento.
Ringraziano: cyp

Massimi e minimi vincolati da retta e circonferenza #83713

avt
cyp
Cerchio
Grazie Ifrit, non mi era chiaro lo studio del cubo. Sei stato gentilissimo questa volta non tornerò a disturbarti...Almeno per questo esercizio emt
Ringraziano: Ifrit
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