Massimi e minimi vincolati da più condizioni

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Massimi e minimi vincolati da più condizioni #83641

avt
cyp
Cerchio
Ciao, vorrei chiarimenti per un esercizio sui massimi e minimi vincolati con più condizioni.

In particolare posto la seguente funzione:

f(x,y)=x^4y^2-3x

devo determinare i punti di massimo e minimo della funzione nell'insieme formato dai punti verificanti le seguenti condizioni: xy\leq 1,\ y\geq 1,\ x\geq 0

Ho provato a svolgerla ma non mi convincono i risultati o comunque non mi sono chiari alcuni punti.

Da quanto ho capito anche grazie alle vostre lezioni, è necessario:

1) capire se sono presenti massimi e minimi all'interno del dominio/vincoli e per fare ciò devo applicare il metodo classico per trovare massimi e minimi relativi (annullamento del gradiente e matrice hessiana); se il punto stazionario trovato rientra nel dominio allora è un massimo o un minimo o un punto di sella, diversamente non è accettabile.

2) capire se sono presenti punti di massimo o minimo sulla frontiera (e qui ho parecchi dubbi).
 
 

Massimi e minimi vincolati da più condizioni #83645

avt
Omega
Amministratore
Eccomi emt

Ancor prima di cominciare, premetto che le tue considerazioni sono corrette. Vediamo come metterle in pratica.

Abbiamo la funzione

f(x,y)=x^4y^2-3x

con vincolo

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ xy\leq 1,\ y\geq 1,\ x\geq 0\}

Iniziamo con lo studio della regione piana individuata dal vincolo, facendo riferimento agli estremi. Abbiamo due rette, di cui una orizzontale (y=1), una verticale (x=0) ed un'iperbole equilatera (xy=1).

Tenendo a mente il significato grafico delle disequazioni nel piano, è facile intuire che la regione descritta dal vincolo è quella che giace al di sopra della retta y=1, a destra della retta x=0 e a sinistra del ramo di iperbole equilatera che sale dal punto (1,1).

Tieni a mente che le virgole nella definizione del vincolo equivalgono a degli et, in parole povere definiscono un'intersezione.

problema max min vincolati


Come hai correttamente osservato, dobbiamo partire con lo studio dei massimi e minimi liberi in due variabili, per poi limitarci a considerare gli estremanti appartenenti alla regione del vincolo.

Per riuscirci dobbiamo calcolare il gradiente della funzione e cercare i punti stazionari di f.

Calcoliamo le derivate parziali della funzione

\\ f_x(x,y)=4x^3y^2-3\\ \\ f_y(x,y)=2x^4y

e consideriamo il sistema relativo all'annullamento del gradiente

\begin{cases}4x^3y^2-3=0\\ \\ 2x^4y=0\end{cases}

In accordo con la legge di annullamento del prodotto, la seconda equazione dà due possibilità, per cui possiamo riscrivere il sistema come unione di due sistemi

\begin{cases}4x^3y^2-3=0\\ \\ x=0\end{cases}\ \bigcup\ \begin{cases}4x^3y^2-3=0\\ \\ y=0\end{cases}

Per sostituzione

\begin{cases}-3=0\\ \\ x=0\end{cases}\ \bigcup\ \begin{cases}-3=0\\ \\ y=0\end{cases}

e abbiamo scoperto che non ci sono punti stazionari. Trattandosi di una funzione continua e differenziabile su tutto \mathbb{R}^2 (ovvio, è una funzione polinomiale!) sappiamo altresì che essa non presenta alcun punto critico, per cui possiamo concludere che f non ammette estremanti liberi su \mathbb{R}^2.


È il momento di passare allo studio di f sulla frontiera del vincolo. A tal proposito ci servono le parametrizzazioni dei tre rami che lo delimitano

\\ (x=0,\ y\geq 1)\\ \\ (0\leq x\leq 1,y=1)\\ \\ \left(0<x\leq 1,\ y=\frac{1}{x}\right)

dopodiché passiamo a considerare le restrizioni sui singoli tratti della frontiera, riconducendoci così allo studio dei massimi e minimi per tre diverse funzioni in una variabile.

\\ f(x,y)=x^4y^2-3x\\ \\ A)\ \ f(x,y)|_{x=0,\ y\geq 1}=0\\ \\ B)\ \ f(x,y)|_{0\leq x\leq 1,y=1}=x^4-3x=:b(x)\\ \\ C)\ \ f(x,y)|_{0<x\leq 1,\ y=\frac{1}{x}}=x^2-3x=:c(x)

Per quanto riguarda la restrizione A) non c'è molto da dire.

Studiamo la restrizione B):

\\ b'(x)=4x^3-3\\ \\ b'(x)\geq 0\ \to\ 4x^3-3\geq 0\ \to\ x\geq \sqrt[3]{\frac{3}{4}}\in [0,1]

e ne deduciamo che x=\sqrt[3]{\frac{3}{4}} è un minimo relativo sul ramo di frontiera considerato.

La corrispondente valutazione per la funzione in due variabili è

f\left(\sqrt[3]{\frac{3}{4}},1\right)=\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{4}{3}}-3\sqrt[3]{\frac{3}{4}}\simeq -2,04

Studiamo la restrizione C):

\\ c'(x)=2x-3\\ \\ c'(x)\geq 0\ \to\ 2x-3\geq 0\ \to\ x\geq \frac{3}{2}\not\in [0,1]

per cui ne deduciamo che sull'intervallo 0< x\leq 1 la restrizione decresce fino a raggiungere il minimo in x=1, che corrisponde al punto (1,1), in cui la funzione a due variabili vale

f(1,1)=1-3=-2


Ok emt abbiamo quasi finito. Intanto abbiamo scoperto che il minimo assoluto sul vincolo assegnato è

\left(\sqrt[3]{\frac{3}{4}},1\right)

dedotto per semplice confronto tra gli estremanti determinati sulla frontiera. Da notare che (1,1) non è un minimo relativo per f(x,y) perché, per essere tale, deve comportarsi da minimo in un intorno bidimensionale. Le restrizioni B) e C) dimostrano che da un lato il punto è di minimo su C) ma non lo è su B), quindi non può essere di minimo relativo in un suo intorno.

Riguardo ai massimi, se consideriamo la restrizione C), vediamo che la funzione assume valori crescenti al decrescere di x\in (0,1]

c(x)=x^2-3x

e che

\lim_{x\to 0^+}c(x)=0^-

D'altra parte la funzione è non-positiva sul vincolo. Per vederlo basta considerare la disequazione

f(x,y)> 0

che è

x^4y^2-3x> 0

riscriverla come

x(x^3y^2-3)> 0

e ragionare sul vincolo. Essendo x\geq 0, essa equivale a

x^3y^2-3> 0

poi, riscrivendola come

x\cdot x^2y^2-3> 0

basta tenere conto che 0\leq x\leq 1 e che xy\leq 1, dunque x^2y^2\leq 1, dunque

x\cdot x^2y^2\leq 1

e quindi

x\cdot x^2y^2-3> 0

non è verificata per alcun (x,y) nel vincolo.

Concludiamo così che tutti i punti in cui la funzione si annulla sono di massimo assoluto sul vincolo.
Ringraziano: CarFaby

Re: Massimi e minimi vincolati da più condizioni #83659

avt
cyp
Cerchio
Ciao Omega, grazie per questo svolgimento dettagliato che mi permette di capire ciò che non mi è chiaro e di conseguenza di porti le seguenti domande specifiche per chiarire i miei dubbi.

La prima parte chiarissima, mi ha dato conferma della correttezza di quanto avevo svolto!

Cominciamo con i dubbi...

...e abbiamo scoperto che non ci sono punti stazionari.

se avessi trovato dei punti stazionari, avrei dovuto verificarne l'appartenenza al vincolo...giusto? (ad esempio non avrei potuto accettare il punto (0,0) perchè non appartenente alla regione delimitata dal vincolo...)

Trattandosi di una funzione continua e differenziabile su tutto \mathbb{R}^2 (ovvio, è una funzione polinomiale!) sappiamo altresì che essa non presenta alcun punto critico, per cui possiamo concludere che f non ammette estremanti liberi su \mathbb{R}^2.

qual'è esattamente la differenza tra punto stazionario e punto critico? generalmente, con l'annullamento del gradiente, vado alla ricerca di punti stazionari (se non erro); in questo caso, la ricerca di punti critici, è una condizione aggiuntiva dovuta alla presenza del vincolo o in generale un punto critico è un punto escluso dal dominio?

...A tal proposito ci servono le parametrizzazioni dei tre rami che lo delimitano

da cosa capisco quando usare la parametrizzazione piuttosto che i moltiplicatori di Lagrange?


\\ (x=0,\ y\geq 1)\\ \\ (0\leq x\leq 1,y=1)\\ \\ \left(0<x\leq 1,\ y=\frac{1}{x}\right)

il metodo della parametrizzazione non mi è perfettamente chiaro: da quanto ho capito, consiste nel considerare ciascun vincolo come una funzione in una variabile, la cui derivata del primo ordine posta uguale a zero fornisce gli estremanti. Ammesso che le mie considerazioni siano corrette, ciò che non mi è chiaro (o che comunque mi è chiara la logica ma non il procedimento analitico da applicare in generale) sono le condizioni/disequazioni che poni per ogni vincolo...

La corrispondente valutazione per la funzione in due variabili è

f\left(\sqrt[3]{\frac{3}{4}},1\right)=\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{4}{3}}-3\sqrt[3]{\frac{3}{4}}\simeq -2,04

a cosa corrisponde graficamente e/o analiticamente tale valutazione?

...per cui ne deduciamo che sull'intervallo 0\leq x\leq 1 la restrizione decresce fino a raggiungere il minimo in x=1, che corrisponde al punto (1,1), in cui la funzione a due variabili vale...

che x\geq \frac{3}{2} non appartiene all'intervallo è evidente, ciò che non mi è chiaro è come e perchè giungi alla conclusione successiva!

L'ultima parte mi è più o meno chiara...credo che lo sarà ancora di più in seguito a queste delucidazioni emt

Re: Massimi e minimi vincolati da più condizioni #83665

avt
Omega
Amministratore
Se avessi trovato dei punti stazionari, avrei dovuto verificarne l'appartenenza al vincolo...giusto?

Esatto emt

Qual'è esattamente la differenza tra punto stazionario e punto critico? generalmente, con l'annullamento del gradiente, vado alla ricerca di punti stazionari (se non erro); in questo caso, la ricerca di punti critici, è una condizione aggiuntiva dovuta alla presenza del vincolo o in generale un punto critico è un punto escluso dal dominio?

La questione è dibattuta nelle pagine degli omonimi link presenti nel mio precedente post.

In sintesi, un punto stazionario è per definizione un punto che annulla il gradiente della funzione.

Un punto critico è un qualsiasi punto di massimo, di minimo o di sella.

Nel caso di una funzione continua e differenziabile le due nozioni coincidono; nel caso di funzioni non differenziabili, invece, possono esserci punti critici che non sono stazionari, per cui in generale:

- un punto stazionario è sempre un punto critico;
- un punto critico non è necessariamente un punto stazionario.

da cosa capisco quando usare la parametrizzazione piuttosto che i moltiplicatori di Lagrange?

Quando i vincoli sono espressi sotto forma di equazioni, puoi usare Lagrange. Quando i vincoli sono espressi sotto forma di disequazioni, non puoi usare Lagrange.

il metodo della parametrizzazione non mi è perfettamente chiaro: da quanto ho capito, consiste nel considerare ciascun vincolo come una funzione in una variabile, la cui derivata del primo ordine posta uguale a zero fornisce gli estremanti. Ammesso che le mie considerazioni siano corrette, ciò che non mi è chiaro (o che comunque mi è chiara la logica ma non il procedimento analitico da applicare in generale) sono le condizioni/disequazioni che poni per ogni vincolo...

Hai capito bene, ma attenzione al linguaggio: qui non hai più vincoli, hai un solo vincolo, che è la regione piana individuata dalle tre disequazioni.
Questo vincolo è una figura piana delimitata da una frontiera.
Nel nostro caso, la frontiera è costituita da tre parti, come si evince facilmente dalla rappresentazione grafica.

Non c'è modo di studiare il comportamento di f(x,y) sull'intera frontiera in un colpo solo. L'unica possibilità consiste nel:

- rappresentare parametricamente ciascuna singola parte che costituisce la frontiera;
- limitarsi a considerare la funzione su ciascuna singola parte (restringere la funzione), ottenendo così tre diverse funzioni di una variabile;
- studiare i massimi e i minimi delle tre restrizioni come si suol fare in un classico problema di Analisi 1.

Da quel che ho capito il problema riguarda la parametrizzazione dei singoli tratti che costituiscono la frontiera. Devi aiutarti con la rappresentazione grafica e trovare:

- una funzione di una variabile tra x e y che descriva il tratto;
- limitare la variabile indipendente su un opportuno dominio in modo che la funzione di una variabile, su quel dominio, abbia come grafico il tratto considerato.

Prova a rileggere le parametrizzazioni che ho scritto con il grafico a portata di mano. emt

a cosa corrisponde graficamente e/o analiticamente tale valutazione?

Ad un punto nello spazio cartesiano.

che x\geq \frac{3}{2} non appartiene all'intervallo è evidente, ciò che non mi è chiaro è come e perché giungi alla conclusione successiva!

La funzione c(x) decresce per 0<x\leq 1. Ciò significa che la restrizione c(x), percorrendo il tratto curvilineo del ramo di iperbole, assume valori sempre più piccoli. Le valutazioni si arrestano nell'ultima ascissa utile dell'intervallo di definizione, quindi x=1, in cui c(x) deve necessariamente assumere il proprio valore minimo su (0,1].

Il punto del piano che corrisponde a tale ascissa, tenendo a mente che ci troviamo sul ramo di iperbole, è (1,1).
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby, cyp

Re: Massimi e minimi vincolati da più condizioni #83667

avt
cyp
Cerchio
Grazie sei stato chiarissimo e hai chiarito parecchi dubbi in maniera semplicissima! Alla prossima emt
Ringraziano: Omega
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Os