Limite di una successione esponenziale con base variabile

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Limite di una successione esponenziale con base variabile #83544

avt
gcappellotto47
Cerchio
Buongiorno, ho delle difficoltà con questo limite di una successione esponenziale con base variabile:

\lim_{n \to \infty} \left (\frac{n^2-n^{\frac{3}{2}}+1}{n^2-5n}  \right )^{n(3+\sin(n))}

Non ho ancora capito se esistono dei metodi per individuare il percorso migliore per arrivare alla soluzione...

Grazie e saluti
Giovanni C.
 
 

Limite di una successione esponenziale con base variabile #83559

avt
Omega
Amministratore
Ciao GCappellotto47 emt

Una rapida analisi del limite ci permette di notare che siamo di fronte ad una forma indeterminata [1^{\infty}]

\lim_{n \to \infty} \left (\frac{n^2-n^{\frac{3}{2}}+1}{n^2-5n}  \right )^{n(3+\sin(n))}

In un caso del genere le tecniche di risoluzione più gettonate consistono, di norma, nel:

- usare il limite notevole neperiano, oppure

- ricorrere all'identità log-exp y=e^{\log(y)}\mbox{ con }y>0.

Il primo metodo non è sempre efficace e può richiedere svariati calcoli; il secondo invece è molto efficace in generale, e vale la pena di provare a usarlo. emt

Per una panoramica sui metodi di risoluzione per le forme di indecisione - click!

Procediamo.

\lim_{n \to \infty} \left (\frac{n^2-n^{\frac{3}{2}}+1}{n^2-5n}  \right )^{n(3+\sin(n))}

Come osservazione preliminare, notiamo che l'esponente n(3+\sin(n)) al tendere di n\to+\infty è il prodotto tra un infinito e una costante. La funzione seno è infatti limitata e a valori in [-1,+1], per cui

2\leq (3+\sin(n))\leq 4

Non facciamoci distrarre dall'esponente, a discapito delle apparenze è innocuo.

Ora applichiamo l'identità log-exp, la quale si basa semplicemente sulla definizione di logaritmo

\lim_{n \to \infty} e^{\log\left[\left(\frac{n^2-n^{\frac{3}{2}}+1}{n^2-5n}\right)^{n(3+\sin(n))}\right]}

Applichiamo una nota proprietà dei logaritmi

\lim_{n \to \infty} e^{n(3+\sin(n))\log\left(\frac{n^2-n^{\frac{3}{2}}+1}{n^2-5n}\right)}

Per comodità (e per agevolare la lettura) ci concentriamo sul limite dell'esponente, il che è lecito dal momento che l'esponenziale è una funzione continua

\lim_{n \to \infty} n(3+\sin(n))\log\left(\frac{n^2-n^{\frac{3}{2}}+1}{n^2-5n}\right)

Lavoriamo sull'argomento del logaritmo e cerchiamo di applicare il corrispondente limite notevole, per cui ci serve un argomento della forma 1+a_n con a_n\to_{n\to +\infty}0.

Per ricondurci alla forma desiderata è sufficiente sommare e sottrarre 5n al numeratore

\lim_{n \to \infty} n(3+\sin(n))\log\left(\frac{n^2-5n+5n-n^{\frac{3}{2}}+1}{n^2-5n}\right)

da cui

\\ \lim_{n \to \infty} n(3+\sin(n))\log\left(\frac{n^2-5n}{n^2-5n}+\frac{5n-n^{\frac{3}{2}}+1}{n^2-5n}\right)\\ \\ \\ \lim_{n \to \infty} n(3+\sin(n))\log\left(1+\frac{5n-n^{\frac{3}{2}}+1}{n^2-5n}\right)

Un semplice confronto tra infiniti ci permette di vedere che il secondo addendo tende a zero, come richiesto dal limite notevole del logaritmo, per cui possiamo usare la corrispondente equivalenza asintotica (come usare i limiti notevoli) e passare al limite equivalente

\lim_{n \to \infty} n(3+\sin(n))\frac{5n-n^{\frac{3}{2}}+1}{n^2-5n}

Effettuiamo un raccoglimento totale sul denominatore

\lim_{n \to \infty} n(3+\sin(n))\frac{5n-n^{\frac{3}{2}}+1}{n(n-5)}

Ci siamo quasi, non ci resta che effettuare un riordinamento

\lim_{n \to \infty} (3+\sin(n))\frac{-n^{\frac{3}{2}}+5n+1}{n-5}

e ricordare che il primo fattore è una quantità limitata e positiva. Per confronto tra infiniti di ordine principale deduciamo che

\lim_{n \to \infty} (3+\sin(n))\frac{-n^{\frac{3}{2}}+5n+1}{n-5}=-\infty

dunque se torniamo al limite complessivo, per il comportamento della funzione esponenziale a -\infty si conclude che il limite vale zero

\lim_{n \to \infty} e^{(3+\sin(n))\frac{-n^{\frac{3}{2}}+5n+1}{n-5}}=0
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby, gcappellotto47, ShinyPhoenix
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